Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Используя главные члены формул со средними аргументами для разности

координат (26.34), (26.35), дифференцируя по переменным: а и сх (или е), после

преобразований и некоторых упрощений, получим:

Полученные формулы дифференциальных поправок второго рода не явля­ ются точными. Если длины сторон триангуляции не превышают 40-50 ю\I, то формулы обеспечивают точность поправок порядка 0,001-0,002 ".

Но дифференциальные формулы второго рода нужны и при составлении уравнений градусных измерений для вывода размеров эллипсоида и установле­

ния исходных геодезических дат, а также при уравнивании триангуляции

1 класса. Однако дляэтих целей точность выведенных выше формул недосfаточна.

Вполне пригодны для этих целей новые дифференциальные формулы :Кра­

совского [31]. В них устанавливается зависимость изменений коор­

динат от изменений большой полуоси, сжатия и высоты геоида над референц-

триангуляции за изменение координат исходных пунктов, азимута и длины

исходной стороны, то применяют дифференциальные формулы только первого

рода и поправки нужно вычислять последовательно, так как поправки каждого

последующего пункта - функции поправок координат предыдущего. Несколько

иначе нужно вычислять поправки при перенесении координат на новый эллип­

соид; при этом если даже координаты исходного пункта не изменились, поправки

за переход на новый эллипсоид вычисляют по ди:фференциальным формулам

второго и первого рода.

Например, необходимо вычислить поправки за переход на новый эллип­ ·СОИД в координаты пунктов ряда, изображенного на рис. 70 по ходовой линии

АСЕ, причем координаты исходного пункта не изменяются.

Очевидно, для нахождения поправок координат пункта С достаточно вычи­

слить поправки второго рода за изменение разности координат пунктов А и С.

160

у'

'

·_:,::{fc':

'1;

Но после введения поправок в координаты пункта С для нахождения поправок

в координаты пункта Е и всех последующих возникает необходимость вычи­

сления, кроме поправок второго рода, еще поправок первого рода, так как на

новом эллипсоиде координаты пункта С ·изменились.

Таким образом, при перевычислении координат на новый эллипсоид не­ обходимо применять формулы обоих видов. В отличие от дифференциальных

формул первого рода поправки второго рода в разности координат пунктов

можно вычислить одно в реме н но для многих сторон триангуляции.

Взаключение приведем дифференциальные формулы для совместного

вычисления поправок за изменение координат и параметров эллипсоида, при­

годные для использования вплоть до триангуляции 1 класса *:

-t.E:!!.. - t sin2 Втda

а

В приведенных формулах поправки выражены в функции средних аргу­ ментов Вт и Ат. Формулы пригодны для вычисления на счетных машинах.

Результаты вычислений округляют до 0,001 ", что соответствует точности формул.

* См. [2, стр. 240].

11 П. С. За:натов

-

Гл а в а VI

ПЛОСКИЕ

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ГАУССА - КРЮГЕРА

§ 35. Общие сведения

Конечная практическая цель триангуляционных и полигонометрических работ - определение положения геодезических пунктов на поверхности при­

нятого референц-эллипсоида. Положение этих пунктов можно определить

вразличных системах координат. Необходимо вычислять координаты пунктов

втакой системе, которая была бы проста и обеспечивала бы наиболее удобное и легкое использование координат в разнообразных практических целях.

Такой системой является с ист ем а пл о с к их прям о у r о льны х к о ординат. В этой системе вычисляют координаты пунктов съемочного обоснования, для которых координаты триангуляционных пунктов являются

исходными, производят различного рода расчеты при проектировании и строи­

тельстве разнообразных инженерных сооружений и перенос проектов в натуру. Использование топографических планов существенно облегчается, если на них нанесена сетка координатных линий в прямоугольной плоской системе коор­ динат. Прямоугольные координаты геодезических пунктов необходимы при испольsовании геодезических данных для оборонных целей.

Система геодезических координат имеет ряд достоинств; она наиболее )7добна для решения научных задач высшей геодезии и в этой системе координат

обычно обрабатывают триангуляцию 1 класса, однако она неудобна для широ­

кого использования в указанных практических целях. Действительно, взаим­ ное положение пунктов в этой системе определяется в угловых единицах (гра­ дусах, минутах и секундах широты и долготы), причем линейное значение

этих единиц различно в зависимости от широты места; направления меридианов,

от которых отсчитываются азимуты, не параллельны между собой; вычисления

при помощи геодезических координат, даже при малых расстояниях, сложны,

трудоемки и требуют известной подготовки вычислителя.

Таким образом, для практического использования наиболее удобна си­

стема плоских прямоугольных координ t r.

Известно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на пло­ скость без искажений, поэтому и не может быть предложена система плоских прямоугольных координат, в которой без искажений было бы выражено взаим­ ное положение точек земной поверхности. Поставленная задача сводится к :изо­ бражению поверхности эллипсоида на плоскости по некоторому определенному закону. Математически такой закон (или проекция) в общем виде :может быть

выражен уравнениями

В этих уравнениях х и у - плоские прямоугольные координаты изобра­

жаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических коорди­ нат той же точки на поверхности эллипсоида. Если выбрать под тем или иным

условием закон изображения точек эллипсоида на плоскости, то можно, поль­

зуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний

162

и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам:

па плоскости.

Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть

бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется

видом функции / 1 и / 2 в уравнениях (35.1).

При выборе закона изображения эллипсоида на плоскости, т. е. функций

/ 1 и / 2, приходится иметь в виду, что желательно обеспечить единой системой

плоских прямоугольных координат всю территорию государства, так как этим:

самым будет создана основа для единообразного вычисления результатов по­ следующих геодезических работ и получения топографических планов в единой

системе.

Конкретные требования, которые следует поставить при выборе функций f 1 и / 2 : минимальное искажение изображаемых на плоскости элементов поверх­ ности эллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя бы за счет неко­ торого, конечно сравнительно небольшого. увеличения самого размера этих искажений. П р о с т о т а и л е г к о с т ь п р и м е н е н и я п р о е к ц и и и учет а и с к аж е ни й - весьма важный показатель достоинства проекции,

. особенно когда необходимо переходить от числовых значений геодезических ноординат пунктов к числовым значениям координат на плоскости. Поправки

за искажения или за перенос элементов триангуляции с эллипсоида на пло­

скость и обратно должны вычисляться с ошибками, в 5-10 раз меньшими ошибок непосредственных измерений.

Если координаты опорных геодезических пунктов даны в проекции, то

топографические планы не требуют какой-либо укладки: на плоскость путем:

соответствующего их редуцирования. Графические материалы съемок полу­ чаются в принятой проекции и лишь ч и с л о в ы е данные съемок в виде

длин сторон и углов теодолитных и тахеометрических ходов, измеряемых не­

посредственно на местности, должны быть исправлены за переход к проекции.

Но в этом случае целесообразно учитывать только искажения длин с тем, чтобы

в пределах определенной зоны масштаб изображений можно было считать п о с т о я н н ы м. Это обусловливает выбор равноугольной или конформной проекции, для которой угловые искажения при переходе с эллипсоида на плос­ кость отсутствуют, а масштаб линейных ИСI{ажений одинаков по всем напра­ влениям. Этим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических

данных с эллипсоида на плоскость.

Но системы прямоугольных плоских координат с единым началом. позво­ ляющей отобразить точки всей поверхности эллипсоида на плоскости, практи­

чески быть не может, так как искажения становятся слишком большими. По-

. этому неизбежно разделение земной поверхности на части или зоны, I{оторые изображаются на плоскости одна независимо от другой, каждая со своим на­ чалом координат. Если примем определенные условия в отношении величины и характера искажений, то возникнут определенные требования к размерам и конфигурации этих зон. При выборе проекции следует стремиться к мини­ мальному числу зон на территории данного государства. Кроме того, проекция

должна обеспечивать легкость перехода из зоны в зону и возможное едино­

Qбразие при вычислениях в разных зонах.

-Указанным выше требованиям из числа существующих проекций наилуч­

шим образом удовлетворяет конформная проекция Гауеса - Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825-1830 гг.; в 1912 r. Крюгер разработа;;~ детали применения и дал рабочие формулы для вычислений в этой проекции, поэтому ее называют проекцией Гаусса - Крюгера.

164

~

9';1!,;',· ',

зоне имеется свое начало координат - пересечение осевого меридиана с эква­

тором.

В проекции Гаусса - Крюгера осевой меридиан изображается без иска­

жения.

На рис. 72, а показана зона с номером п; кривые РЕР' и РЕ1Р 1 - гранич­ ные меридианы; пунктирная кривая РР' - осевой меридиан, долгота которого

1

рр

ется показанными на рис. 72 прямоугольными плоскими координатами х и у.

Проекция Гаусса - Крюгера конформна. Понятие об условиях и свойствах

конформного изображения одно,й поверхности на другой дано в § 28 главы IV. Напомним основные условия и свойства конформного изображения: бесконечно

малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему на плоскости; угло­ вые искажения отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной точки и не зависит от направления.

В проекции Гаусса - Крюгера поверхность шестиили трехградусной

зоны изображается с заметными искажениями, но достоинство проекции -

сравнительная простота и высокая точность учета искажений в пределах шести­ градусной зоны, чем и обусловлен выбор этой проекции в геодезии.

Пусть на эллипсоиде (рис. 73) дана некоторая триангуляция, состоящая из треугольников АВС, BCD, CDE; РО -- осевой меридиан зоны, в которой

расположена данная триангуляция. Пусть долгота этого осевого меридиана

L 0 ; АР - меридиан, проходящий через точку А; АТ - касательная к эллип­

соиду и параллельная плоскости осевого меридиана.

165

"Угол между направлением меридиана АР и касательной АТ называется r е о д е з и ч е с к и м с б л и ж е н и е м м е р и д и а н о в в А и обозна­

чается буквой"/'· "Угол в А между направлением меридиана АР и геодезической

линией АС есть азимут стороны АС; обозначим его через Але; угол в А между

направлением касательной АТ и направлением А С есть r е о д е з и ч е с к и й д и ре к ц ионный угол; обозначим его через Тле• Очевидно, для эллип­

соида получится равенство

Пусть на плоскости (рис. 74) в проекции Гаусса - Крюгера изображение тех же элементов будет: точка а - изображение точки А; линия ор - изобра­

жение осевого меридиана ОР; кривая ап-изображение меридиана, проходящего

п t,

I

рп t tr

't\\ 1

/

/

/

/k

через точку А; кривая at - изображение касательной АТ; точки Ь и с - соот­

ветственно изображения точек В и С; кривые аЬ, ас, сЬ ... - изображения гео­

дезических линий АВ, АС, СВ и т. д.

Так как проекция конформна, то углы между изображениями линий эллип­

соида на плоскости не исказятся и будут соответственно равны Але, Т'л.с, 1'.

Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого мери­ диана, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через at 1 • "Угол между кривой, изобража­

ющей меридиан точки а, т. е. ап, и этой прямой, параллельной оси абсцисс, называется с б л и ж е н и е м м е р и д и а н о- в н а п л о с к о с т и и обозначается буквой у.

Вследствие конформности проекции углы треугольников триангуляции также перенесутся с эллипсоида на плоскость без искажений, но эти углы,

перенесенные на плоскость, относятся к треугольникам, соединенным кривыми

аЬ, ас, сЬ и т. д·, что практически неудобно. Для последующих вычислений

соединим точки а, Ь, с с прямыми линиями - хордами. Тогда триангуляция

на плоскости представится сетью плоских прямоугольных треугольников; ре­

шение треугольников и другие вычисления можно производить по формулам

прямолинейной тригонометрии. Но для этого необходимо осуществить пере­

ход от углов между изображениями на плоскости геодезических линий, явля­ ющимися кривыми, к углам, образованным прямыми линиями, соединяющими точки а, Ь, с. Иначе говоря, для каждой стороны триангуляции, точнее для каж­ дого направления, должна быть определена поправка, представляющая собой малый угол между кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая akb (рис. 75) - изображение стороны АВ на плоскости,

1.66

а аЬ - хорда, соединяющая точки а и Ь, то угол между направлением кривой akb (т. е. касательной к ней в точке а) и прямой аЬ будет искомой поправкой,

называемой п о п р а в 1-. о й з а к р и в п з н у и з о б р а ж е н и я г е о д е -

з и ч е с к о й л и н и и н а п л о с к о с т и и обозначаемой буквой б. Эти

поправки и вводятся в измеренные направления для образования на плоскости треугольников с прямолинейными сторонами.

Вследствие малой кривизны линии ak Ь эти редукции малы и их вычисление, как увидим далее, не представляет особого труда; при работах малой точности

ими можно пренебрегать. "Угол между прямой at 1 , параллельной оси абсцисс,

Далее будет доказано, что различие в длинах кривой akb и хорды аЬ всегда пренебрегаемо мало.

Пусть на эллипсоиде исходной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической линии, соединяющей точки А и В, обозначим: s0 • Очевидно, при

переходе на плоскость расстояние между точками а и Ь не будет равно s O вслед­

ствие искажений проекции. Для перехода от расстояния АВ = s0 к расстоянию на плоскости между точками а и Ь необходимо ввести поправку, называемую

р е д у к ц и е й р а с с т о я н и й.

Числовые величины поправок за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого мери­

диана возрастают. Следовательно, для вычисления указанных поправок необ­

хQдимо знать координаты вершин треугольников, причем вследствие малости

поправок эти координаты достаточно знать приближенно.

Изложенные сведения позволяют установить следующий порядок действий для перехода с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса - Крюгера, если

исходными данными являются длина sO, азимут А выходной стороны триангу­ ляции и геодезические координаты В и L одного из начальных ее пунктов.

1. Переход от геодезических координат - широты В и долготы L началь­

ного пункта - к прямоугольным координатам х и у этого же пункта в проекции

Гаусса - Крюгера и вычисление для этого же пункта сближения меридианов

на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекциопного угла исходной стороны по формуле

2. Приближенное вычисление сторон треугольников и предварительных

координат их вершин с использованием вычисленных координат исходного

пункта х и у и приближенного значения дирекционного угла, полученного по

формуле (36.3).

3. Вычисление редукции длины исходной стороны за переход с эллипсоида

на плоскость и поnраво1t за кривизну изображения геодезической линии на пло­ скости для каждого измеренного направления в триангуляции*.

* Изложенный порядоR вычислений применяется при обработRе результатов наблюде­ ний в триангуляции 2 Rласса; в триангуляции 1 класса вычисление поправоR производят

двумя приближениями. В первом приближении поправки выбирают из таблиц, а аргументы -,

::tпачепия ординат п разностп абсцисс - определяют по чертежу сети.

167

--

Вводя в длину исходной стороны и в измеренные направления эти поправки, получаем длину и дирекционный угол исходной стороны и направления, редуци­

рованные на плоскость. После выполнения этих вычислений сеть становится

подготовленной к уравниванию и окончательному вычислению координат

пунктов на плоскости.

4. -Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненным углам окон­

чательное вычисление сторон треугольников и окончательных прямоугольных

координат всех пунктов триангуляции.

никла необходимость иметь координаты опорной геодезической сети в прямо­

угольной системе, причем единообразно выбранной. Плоские прямоугольные

координаты применялись и до указанного времени; в землеустройстве - ко­

ординаты 3ольднера при частных началах координат в различных районах; в крупных маркшейдерских геодезических сетях - свои системы координат

при самостоятельно выбранных началах (например, системы координат Бау­ мана в триангуляции Донбасса). Естественно, такой разнобой в применении

системы плоских прямоугольных координат затруднял использование материа­

лов топографо-геодезических работ в общих целях, создавал неудобства при смы­ кании съемок на граничных линиях районов, имеющих свои системы координат, вызывал необходимость различного рода перевычислений.

В связи с этим третье геодезическое совещание при Госплане СССР в 1928 г. вынесло решение о необходимости введения системы координат Гаусса - Крю­

гера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, определило поло­

жение осевых меридианов каждой зоны (как это указано выше) и наметило мероприятия для введения новой системы координат.

В 1930 г. были изданы составленные под руководством Ф. Н. Красовского

<<Рук.оводство, формулы и таблицы по применению прямоугольных координат Гаусса - Крюгерю>, что и способствовало введению этой системы координат в практику геодезических работ. После этого координаты Гаусса - Крюгера получили в СССР всеобщее распространение, и в настоящее время во всех

каталогах геодезических пунктов обязательно помещают плоские прямоуголь­ ные координаты в этой системе.

Искажение длин на краю mестиградусной зоны может достигать величины

масштабов - 1 : 100 ООО, 1 : 50 ООО - эти искажения во взаимном положении точек при съемках не ощущаются. -Учитывать эти искажения: необходимо при постановке топографических работ указанных масштабов лишь при раз­ витии съемочного обоснования в виде малых триангуляций, теодолитных ходов

и т. n. Измеренные длины линий исправляют путем введения поправок, выбира­ емых из специальных таблиц.

При крупномасштабных съемках, если они к тому же производятся не гра­

фическим, а числовым методом, в пределах небольших участков изменение

масштаба становится заметным и его нельзя считать постоянным даже при не­

больших расстояниях (20-50 км) от осевого меридиана. При проектировании

по карте или перенесении проектов в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров искажения. Значи­ тельно больший объем непосредственных измерений, требующих учетR искаже­ ний с большой точностью, не позволяет применять mестиградусную зону для съемок крупного масштаба без того, чтобы не осложнить производство съемок

168

и использование их результатов. Поэтому наиболее просто и практически

удобно в такого рода работах не применять шестиградусные зоны. Для примера

приведем описание применения этой системы координат в городских геодезиче­ ских работах.

Известно, что городские съемки, ведущиеся, как правило, числовыми

методами, включают создание топографических ·планов масштабов от 1 : 5000 до 1 : 2000 и крупнее. При этом целесообразно применять систему координат

вследующем общем плане.

Вкачестве исходного принимают пункт городской триангуляции 1 класса,

расположенный, по возможности, посередине города и являющийся в то же время пунктом государственной триангуляции или имеющий с последней наиболее надежную и короткую связь. Меридиан, проходящий через этот пункт, принимается за осевой. Этим достигается то, что все пункты городской опорной геодезической сети располагаются в непосредственной близости от

осевого меридиана, поэтому искажения проекции, а следовательно, и поправки

малы; это позволяет пренебрегать ими, а в особо точных работах учитывать не

по полным формулам. Следовательно, опорная сеть при таком выборе осевого

меридиана будет редуцирована на плоскость с минимальными искажениями, в большинстве случаев пренебрегаемыми. Для обеспечения близости в значениях координат между этой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного вычисления координат пунктов следует брать те координаты начального пункта, которые заданы из государ­

ственной триангуляции. С этой же целью следует ориентировать городскую

триангуляцию по дирекционному углу одного из направлений с местного исход­ ного пункта, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шести­ градусной зоны. Различия в значениях координат, вычисленных в общегосу­ дарственной и местной системах, будут независимо от порядка их вычислений, так как базисы городских триангуляций приходится редуцировать на среднюю уровенную поверхность города. Но при таком выборе и порядке вычисления координат, который описан, неизбежные различия между значениями коор­ динат, вычисленными в общегосударственной и местной системах, будут мини­ мальными, а материалы топографических съемок масштаба 1 : 5000 легко могут

быть использованы для государственного картографирования.

Этот пример показывает, как можно применить проекцию Гаусса -

Крюгера на отдельном участке территории, на котором производят точные

съемки крупного масштаба и который используется под строительство разно­

образных инженерных сооружений.

Целесообразно применять шестиградусные зоны для вычисления координат rосударственных триангуляций, если сплошные топографические съемки rосударственного значения ставятся в масштабе 1 : 100 ООО и 1 : 50 ООО. В настоя­

щее время приступили к сплошным аэрофототопографическим съемкам в мас­

штабах 1 : 25 ООО, 1 : 10 ООО и 1 : 5000. Для съемок в этих масштабах искажения

при применении шестиградусных зон получаются значительными. Для районов этих съемок целесообразно применять трехrрадусные зоны.

§ 37. Основные формулы

Перейдем к выводу основных формул проекции Гаусса - Rрюгера. Задача заключается в определении функций / 1 и f 2 из уравнений (35.1)

х == /i (В, L) } •

(37.1)

y=f2(B, L)

169