Исходные условия для полученияu этих функций: а) конформ
ность проекции, б) выбор зон и осеи координат описанным выше
способом, в) изображение осевого меридиана и экватора на плоскости пря мыми линиями, г) масштаб изображения по осевому меридиану равен единице.
Пусть на рис. 76: ОЕ -.экватор эллипсоида, а РО - осевой меридиан.
Дана точка А, имеющия геодезические координаты - широту В и долготу L;
точка А 1 расположена на бесконечно малом расстоянии от точки А в произволь ном направлении от нее; координатами точки А 1 будут В + dB и L + dl. Через Х назовем длину дуги осевого меридиана от экватора до параллели
сширотой В.
Пусть прямые Ох и Оу - ось абсцисс и ось ординат соответственно (рис. 77), расположенные перпендикулярно одна к другой, суть изображения экватора
р |
|
|
|
|
JлпuпcouiJ |
|
|
|
|
Осе8ой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мериоuан |
|
х |
|
|
|
д |
B+dB |
|
|
а, |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
~dx |
|
х |
а |
dy |
с |
|
|
|
|
|
|
|
Jо |
|
Е |
|
|
|
о |
о |
|
|
у |
Рис. 76 |
Рис. 77 |
|
Рис. 78 |
и осевого меридиана на плоскости. Пусть точка а - |
|
изображение на плоскости |
точки А; точка а1, |
находящаяся на бесконечно малом: расстоянии от точки а, |
соответствует точке А 1 • Обозначим прямоугольные координаты точки а на пло |
скости через х и у, а точки а1 - через х + dx и у + dy. Обозначим расстояние |
АА 1 (рис. |
76) на эллипсоиде через ds, а расстояние аа1 на плоскости - через dS. |
Построим |
вспомогательный треугольник АА 1С и будем рассматривать его |
как элементарный, тогда найдем, что А 1С равно элементу дуги меридиана MdB,
АС - элементу дуги параллели N cos Bdl. Отсюда
ds = V (М dB)2 + (N cos В dl)2 ,
или |
-V(; с:sвВ ) 2 |
|
|
ds=NcosB |
+(dl)2 • |
(37 .2) |
Введем обозначение |
|
|
|
|
М |
dB |
- d |
|
|
N |
cosB |
- q, |
|
|
тогда |
|
|
|
|
ds = N cosBV(dq)2 +(dl)2 • |
(37.3) |
Для плоскости |
|
|
|
|
dS= l/(dx)2 + (dy)2 .. |
|
(37.4) |
Масштаб изображения выразится· так:
dS
m=ds,
или
т = |
Y(dx)2+(dy)2 |
(37.5) |
|
N cos В У(dq)2 +(dl)2 |
|
|
Перепишем уравнение |
(37.5) |
в виде |
|
т2 |
= |
(dx+i dy) (dx-i dy) |
(37.6) |
|
N2 cos2 В (dq+i dl) (dq-i dl) ' |
|
|
rде
i=V -1.
Уравнение (37.6) выражает :масштаб изображения для произвольного за кона изображения. Для обеспечения конформности изображения масштаб т
по всем направлениям должен быть одинаков и зависеть только от координат данной точки, но не от направления элемента ds. Следовательно, вид функции, определяющий зависимость между координатами на плоскости и геодезиче скими координатами на эллипсоиде, должен быть таков, чтобы выражение
(37.6) для масштаба не зависело от отношения дифференциалов : или:,,
которые определяют направление отрезков dS или ds.
В теории функции комплексного переменного доказывается, что Р + iQ
тогда является аналитической |
... |
d (Р + iQ) |
не зависит от |
когда= |
d (р + tq)I |
функцией комплексного переменного
dp. |
наоборот, чтобы |
cl (P+iQ) |
dq' |
d (PZ+ iq) не зави- |
село от ~:, необходимо, чтобыР+iQ было аналитическойфункциейкомплексного
|
переменного р + iq. Имея |
это |
в |
виду, переписываем уравнение (37.6) так: |
|
2 _ |
|
1 |
|
d(x-tiy)d(x-iy) 1 |
(37. 7) |
|
т - |
N"2 |
cos2 В |
d (q+il) d (q-il) • |
|
|
Согласно изложенному выше свойству функций комплексного переменного, для того чтобы масштаб изображения не зависел от направления отрезка ds
или от ~i, необходимо, чтобы х + iy было некоторой аналитической фующией
от q + il или х - iy - аналитической |
функцией от (q - |
il), |
т. е. чтобы |
x+iy=f(q+il). |
|
(37.8) |
Справедливость и достаточность последнего условия можно еще доказать |
следующим образом. Если имеет место условие (37.8), то |
|
|
d (x+iy) = j"' ( |
q |
+ ·z) |
|
(37. 9) |
d (q+il) |
|
i • |
|
|
Заменив в (37 .8) + i на -i, получим: |
|
|
|
|
х- iy = f(q- il) |
|
(37.10) |
и |
|
|
|
|
|
d (x-iy) = , ( _ 'l) |
|
(37.11) |
d(q-il) |
1 q |
i . |
|
Следовательно, выражение (37.11) имеет место, если поставлено условие |
(37.8). На основании формул (37.9) и (37.11) |
выражение (37.7) |
примет вид |
|
|
|
|
|
(37 .12) |
Производные f' (q + il) и f' (q - il) при наличии условий (37.8) и (37.10)
зависят только от координат х, у или q, l, но не зависят от их дифференциалов,
поэтому не зависят от них и выражения (37.12) и (37.7), что и требовалось до
казать.
-Условие (37 .8) обеспечит конформность изображения при любом произволь ном виде аналитической функции f.
Для получения конформного изображения эллипсоида на плоскости по Гауссу вид функции f определяют путем введения следующих дополнительных условий:
1) осевой меридиан ОР (рис. 78) эллипсоида изображается на плоскости
прямой, являющейся осью |
абсцисс; следовательно, в уравнении (37 .8) при |
l = О ординаты у должны |
быть равны нулю; |
2) для точек осевого меридиана абсциссы х должны быть равны соответ ствующим дугам Х, т. е. дугам меридиана от экватора до данной точки с широ
той в. |
|
(37 .8) при у = О |
|
|
|
|
|
|
Отсюда в уравнении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=f(q)=X. |
|
|
|
|
|
(37.13) |
Разложим f (q + il} в ряд Тейлора, предполагая, что величина il сравни |
тельно невелика. Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d::~q) + ••• |
|
j (q + il) = f (q) + il |
dfd~) + ~ |
(il)2 |
ddq~q) + ~ |
(il)З |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_!__из dЗf (q) + |
|
х+ iy =Х + il |
df (q) |
_ |
_!__ |
z2 |
d2f (q) _ |
|
|
|
|
dq |
|
|
2 |
|
|
dq2 |
|
6 |
|
dq3 |
|
_1 z4 |
d4f (q) + - 1 - ·z 5 |
d 5f (q) __1_ zв d6f (q) + |
(37.14) |
+ 24 |
dq4 |
120 |
l |
|
|
dq5 |
|
720 |
dq6 |
•••• |
Производные в этом ряде должны быть вычислены при Z = О, вследствие |
чего они обращаются в производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
|
d2X |
|
|
dЗХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
' |
dq2 |
' |
|
|
dq3 |
' |
• • |
• ' |
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
il3 |
|
|
|
|
|
. |
|
. |
dX |
|
а2х |
|
азх |
l4 |
d4X . |
|
х+ iy = |
Х+ il |
dq |
- |
2 |
dq2 - |
|
Li |
dqз + |
24 |
dq 4 1 |
|
|
|
+ |
il5 |
dБХ |
- |
|
[6 |
d6X |
+ .... |
|
(37 .15) |
|
|
120 |
|
dq |
6 |
|
720 |
dq6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая порознь действительные и мнимые части в полученном |
выра |
жении, находим в общем виде |
основные |
уравнения, |
|
о п р е д е л я ю щи е |
закон изображения точек |
|
эллипсоида на плоек ости |
в проекции Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х - х- |
z2 |
d2X |
+ |
l4 |
d4X |
|
[6 |
|
авх |
+ ... ' |
(37.1fi) |
2 |
dq2 |
24 |
dq4 |
- |
72() |
dq 6 |
у = l |
dX |
|
zз |
d3X |
|
lБ |
dБХ |
|
|
|
|
dq |
- |
6 |
|
dq3 |
+ 120 |
dq5 |
- . |
• . |
• |
(37.17) |
Очевидно, чем больше l, тем больше должно быть удержано членов в урав
нениях (37.16) и (37.17), т. е. чем больше будут искажения на краях зоны, тем учет этих искажений сложнее.
Как указывалось выше, в настоящее время наибольшая протяженность
зон по долготе принята 6°. Таким образом, удаление пунктов от осевого мери диана по долготе не превосходит 3°, поэтому последующие рабочие формулы
для вычислений при применении проекции Гаусса - Крюгера и рассчитаны
на интервал в долготе l ~ 3°.
§ 38. ФормуJIЫ для определения
конформных плоских координат х и у
по геодезическим координатам В и L
Вывод рабочих |
формул для |
вычисления координат |
Гаусса - |
Крюгера |
по геодезиче- :ким: I{оординатам, очевидно, сводится :к нахождению производных |
dпх |
и подстанов:ке найденных их значений |
в |
уравнения |
(37.16) |
и (37.17). |
d,ti |
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
112 =е' |
2 |
|
1+112 =V2 • |
(38.1) |
|
|
|
С=т; tgB=t; |
cos2 B; |
|
Так |
как |
dX - |
дифференциал |
дуги |
|
меридиана, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX=MdB, |
|
|
|
|
или, |
согласно |
(5.9), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX= ; 3 |
dB. |
|
|
|
(38.2) |
|
При |
выводе основных |
формул проекции мы обозначили |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq=N coslJ' |
|
|
|
или, |
учитывая формулы |
(5.9) |
и (5.10), |
можно написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|
|
(38.3) |
|
|
|
|
|
|
|
dq= v2coslJ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
выражение |
для |
первой производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
с |
|
|
|
(38.4) |
|
|
|
|
|
|
|
dri = vcosB. |
|
|
|
Применяя правило дифференцирования сложной функции, пишем в общем |
виде выражение для второй |
производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2X |
d2X |
dB |
|
|
(38.5) |
|
|
|
|
|
|
|
dq2 = dq dB |
dq • |
|
|
Дифференцируем (38.4) по В, имея в виду, что V есть функция В, |
|
|
|
|
d'!.X |
|
|
с |
dV |
|
|
с . |
|
(38.6) |
|
|
|
|
dqdB |
= -72 dB cosB-vsшB. |
|
|
Для |
|
|
dV |
|
дифференцируем |
формулу |
v2 = 1 + e' 2cos2 В: |
|
нахождения dB |
|
2V dV = -2е'2 cosBsinBdB,
V dV = -е12 cos2 Btg BdB,
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- = -- t . |
|
|
|
(38. 7) |
|
|
|
|
dB |
|
|
V |
|
|
|
|
Подставляя последнее выражение в (38.6), получаем |
|
d2X |
= |
с |
|
2t |
cos |
В |
с |
. |
В |
= |
с . В |
. |
dq dB |
уз Т) |
|
|
-vsш |
|
-wsш |
Так как из формулы (38.3) |
dB |
= |
|
V2 cos В, то на основании формулы (38.5) |
dq |
|
получаем вторую производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2X |
= |
с |
sin 2В |
|
(38.8) |
|
|
|
|
dq2 |
- 2 |
--v-· |
|
с |
= |
N |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
имея в виду, что V |
1 |
значения первои и второи производных напишем |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-=NcosB |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(38.9) |
|
|
|
d2X |
|
|
N |
|
|
|
f • |
dq2= - 2 sin2B J
Пользуясь формулами (37.16), (37.17) и (38.9), находим главные члены
выражений для х и у как функций геодезических координат:
x=X+~l"2 sinBcosB+ .. · 1
2р"
l" • (38.10)
У=-,, NcosB+ . ..
р
Выражения (38.10) для х и у, полученные без учета второго и последующих членов рядов (37.16) и (37.17), для точных вычислений непригодны. Для полу чения формул, позволяющих /вести вычисления требуемой в триангуляции
dnx
точности, необходимо вычислить производные] dqn до шестого порядка включи-
тельно и после подстановки их значений в формулы (37 .16) и (37 .17) получить
выражения для х и у.
Не приводя выкладок, связанных с получением указанных производных
высшего порядка, и последующих преобразований при подстановке этих про
изводных в (37.16) и (37.17), напишем окончательный результат
Z"2 |
|
|
{ |
1+ |
1"2 cos2 В |
(5-t2 -L911i+4r1 4)+ |
|
х=Х + --2 NsinBcosB |
|
12р"2 |
|
|
2р" |
|
|
|
|
|
|
|
. . |
'I |
|
|
+ Z"4 cos44 |
в |
(6158t2 + t4 ) }J |
|
(38.11) |
|
|
360р" |
|
|
|
|
|
|
|
l" |
|
|
{ |
1+ |
Z"2 cos2 В |
(1-t2+ 11 2)+ |
|
у=-,, N cosB |
|
6р"2 |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
l"4 cos4 в |
(5-18t2+t4 + |
14Т)2 -58n2t |
2)}. |
(38.12) |
120р"4 |
|
|
|
|
|
|
|
'I |
|
§ 39. Формулы для вычисления
геодезических координат
по координатам Гаусса - Крюгера
Вывод настоящих формул дадим по методу, предложенному Г. В. Баг~
ратуни *. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q + il |
и q - il, |
|
Решая уравнения в общем виде относительно |
получаем |
q +~l = F (х+ ~у) } . |
|
|
(39.1) |
q- il =F (х- iy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя ряд Тейлора R (39.1), находим |
|
|
|
|
q+ il = F (x+iy) = F (х)+iyF1 (х)- ~ F 11 (х) |
|
- i у3 F III ( |
|
. |
|
. .!!!_рIV ( |
х |
) + |
• · |
|
|
6 |
|
|
х) |
+ |
24 |
|
|
|
• |
|
|
q- il =F (x-iy) =F (x)-iyF 1 (х)- у; рП (х)+ |
|
+ t~з рПI (х)+ ;: pIV (х)+ ... |
|
(39.2) |
Беря полусумму и полуразность выражений (39.2), |
получаем |
|
|
у2 |
|
|
11 |
|
|
У4 |
|
|
IV |
|
|
|
q=F(x)- 2 |
|
|
F |
|
(x)+uF |
|
(х)-.1,,, |
(39.3) |
L=yF |
I |
(x)- |
У3 |
F |
III |
(х)+ .•.. |
|
(39.4) |
|
6 |
|
|
|
Выражения (39.3) и (39.4) вытеRают из условия Rонформности проеRции
с:эллипсоида на плосRость.
Для вычисления рядов (39.3) и (39.4) по-прежнему вводим условия проеR
ции Гаусса - |
Rрюгера |
плосRости на |
эллипсоид: |
|
|
|
1) при у = О |
должно быть l |
= О и |
2) F (х) = |
х |
Ллоскость |
|
|
= q1. |
|
|
|
|
|
|
|
е, |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i -------- ,a |
На рис. 79 заданная |
абсцисса |
х точRи а опреде |
|
|
---- |
ляется прямой |
Ое |
1 |
, которая, |
согласно данному ус |
|
-- -~Lle |
|
|
|
|
|
|
|
|
-, нзобР0 |
:ели |
ловию, должна равняться длине дуги меридиана от |
|
парал |
|
эRватора до неRоторой точRи |
Е1 |
(рис. 78), широту |
х• |
|
|
Rоторой обозначим через |
В 1 ; |
следовательно, при |
|
х |
|
у = О и l = О выражение (39.1) должно |
обратиться |
|
|
|
|
|
вравенство
|
|
(39.5) |
НJображецие ж8а1:1ора |
где q1 |
вычисляется |
RaR фунRция широты В 1 ; ши |
-0""'"+-'-----------у |
|
рота В |
1 может быть |
сразу легRо получена по х из |
Рис. 79 |
таблиц длин дуг меридианов.
ТаRим образом, формула (39.5) выражает рассматриваемое второе условие проеRции Гаусса - Rpюrepa.
* Труды МИИГАиR. Вып. 24, стр. 57-59.
С учетом поставленных условий уравнения (39.3)
l = |
У |
(~) _.J!!.. (.!!:!.:L) . |
Далее вспомним, что |
dx |
1 |
6 |
dx3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
d _ |
|
MdB |
|
|
|
q - |
iV cos Li |
|
и
и (39.4) примут вид:
(39.6)
(39.7)
|
|
|
|
|
MdB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q= SNcosB • |
|
|
|
|
|
|
|
На основании последнего в |
общем виде можем написать |
|
|
|
|
В= ер (q) = <v [q1 +(q- q1)I, |
|
|
(39.8) |
|
|
|
|
В1 = <р (q1)· |
|
|
|
|
|
|
|
Применяя ряд Тейлора и заменяя (q - |
q 1), |
на основании (39.6) |
получаем |
|
В- В |
|
- [ у2 |
( d2q) |
_ |
yi |
( d4q) |
] |
dB |
( |
39 |
_ ) |
|
|
1 |
|
2 |
dx2 |
1 |
24 |
dx4 |
1 |
dq |
|
9 |
(при этом учтено, |
что всегда В1 |
> В). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (39.4) |
и (39. 9) в общем виде решают задачу перехода от прямо |
угольных координат Гаусса - Rрюгера к геодезическим.
Для получения рабочих формул находим необходимые производные.
Имеем
|
|
|
|
d |
_ |
MdB |
|
|
|
(39.10) |
|
|
|
|
|
q- N cos В' |
|
|
|
Имея в |
виду, что dx = JИdB, |
получаем |
|
|
|
|
|
(:;) |
|
'1 |
|
|
|
|
|
|
(39.11) |
или |
|
N CU.', jj' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
_ |
1. |
|
|
|
(~9.12) |
из (39.10) |
|
|
|
|
dx |
-,=-, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
ddl: ) |
= |
|
N1:;;B1 |
|
|
(39.13) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходим к вычислению вторых производных |
|
|
|
|
diq |
d |
( |
dq) |
dB |
|
d2q |
dB |
' |
|
|
|
dx2 |
= dii |
dx |
-;Jx = |
dB dx |
а;; |
(39.14) |
|
|
.!:_ (.!!:!L) |
- |
~ _!_ |
- |
- |
_1_ .!!:!._ |
|
(39.15) |
|
|
dB |
dx |
- |
dB |
r |
- |
|
r2 dB |
• |
|
Вычисляем |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ = _j_ ( N cos В)= - |
N sin В+ cos В...!:._ [а(1-- е2sin2 |
В)-1/ •] = |
dB |
dB |
|
|
|
. |
|
|
|
dB |
|
|
|
= -· N Slll• . В+ COS В r-----ае2 siп. ,,В..cos, ...В |
-l, |
( 1 -- ,,~ ~ i[l 2 в)8 / |
2 |
откуда после простых преобразований получаем
|
dr |
|
М. В |
. |
|
|
-ш=- |
|
sш |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
d2q _ _! М . В-1- |
|
sin В |
|
dx';. - r2 |
Slll |
М - |
r2 |
или |
|
|
|
|
|
|
d2q) |
sin В1 |
|
sin В1 |
|
t 1 |
( dx2 1 |
= Т = Ni cos2 В1 |
|
=: Nl cu~ 1:-1 |
Принимая во внимание (39.11), (39.13) и (3).16), искомые выражения (39.7),. (39.9) для координат В и l приближенно напиmР:м так:
l= |
у |
|
|
|
N 1 cos В1 |
|
|
В=В1- |
|
y2t1 |
+... |
(39.17) |
N M |
|
2 |
1 |
1 |
|
Вычисляя в выражениях (39.7) |
и (39.9) производные высшего |
порядка, |
получаем формулы, удовлетворяющие по точности все случаи практики.
Опустив вычисления этих производных и последующие преобразования, напишем точные формулы в окончательном виде:
l"= |
|
11 |
|
-"[t--Y2-(1+2t |
2 + |
2 ) |
+ |
|
|
|
N' cos |
Нi р |
|
|
6Ni |
|
|
1 |
111 |
|
|
|
ц4 |
4 |
(- |
|
28 2 |
+ |
2л 4 |
6 2 |
|
2 " ) ] |
|
(39.18}- |
+-·- |
~+ |
|
l1 |
It1 |
+ YJ1 |
+ 8r11ti |
|
|
120/v' 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
у2 |
л: |
t1P |
" [ 1 |
|
у2 |
|
(5 + 3 2 |
2 |
|
9 2 2) |
+ |
в= в1 - 2л1 |
|
|
---2 |
|
t1 + 111 - |
YJ1f1 |
|
"" |
1н |
1 |
|
|
12N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+~ (ы+ 90t~ + 45tf)] |
|
|
|
(39.19) |
|
|
|
|
OOON |
1 |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
§ 40. Формулы для вычисления сближения меридианов на плоскости
Сближение меридианов может быть выражено в функции геодезических
координат и в функции прямоугольных координат.
1. |
Сближение м р иди ан о в на |
пл о с к о ст и |
в фу н к - |
ц и и |
г е оде з и чес к их к о о р дин ат. |
Пусть точка а |
(рис. 80) - |
изображение на плоскости точки А эллипсоида; ns - изображение на плоско сти меридиана, проходящего через точку А; aw - изображение на плоскости параллели, проходящей через ту же точку А; аЬ - прямая на плоскости,
параллельная оси абсцисс; ае - прямая, параллельная оси ординат; v - сбли
жение меридианов на плоскости, равное углу при точке а между r~рямой аЬ
и кривой |
ап. |
|
|
|
Очевидно, |
угол равен |
таю±-.t;; углу между изображением |
параллели aw |
и щтмой |
ае. |
Возьмем на |
изображении параллели аи, точку |
а 1, бесконечно |
12 n. с. |
ЗаRатов |
|
177 |
'олизкую к точке а. Разности координат точек а и а1 будут равны dx и dy. Из эле ментарного треугольника аа1а2 (рис. 81) имеем
|
dx |
(40.1) |
|
tgy=dy, |
dz |
u |
u |
причем dy |
находится из уравнения кривои аш, для которои, как для дуги па- |
;раллели, широта В должна быть принята постоянной величиной (можно взять
элементарный треугольник, используя
:r |
|
элементы |
кривой |
ап |
и |
прямой аЬ; |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
однако |
это |
невыгодно, |
так как в этом |
|
|
случае |
широту В |
нельзя |
считать по |
|
|
стоянной величиной, что усложнило бы |
|
|
последующее дифференцирование). |
е |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о-+------- !J |
|
|
|
|
о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.80 |
|
|
|
|
Рис. 81 |
|
|
-Уравнение (40.1) можно |
переписать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
(40.2) |
|
tg"'=- |
• |
|
|
|
|
|
1 |
dy |
|
|
|
|
|
d[
Производные ;; и ~~ найдем путем дифференцирования выражений (38.11)
и (38.12). Из (38.11) с ошибками на величины второго порядка имеем
dx |
l"N sin В cos В |
|
dl = |
р"2 |
|
и из (38.12) |
|
NcosB |
|
|
dy |
|
|
dl = |
р |
|
На основании (40.2) с ошибкой на величину третьего порядка |
|
|
|
l" |
(40.3) |
|
tg '\' =-" sin В. |
|
|
р |
|
В результате дифференцирования формул (38.11) и (38.12) по l с учетом
всех членов и после подстановки в (40.2) получим |
|
tg '\' = |
Z" sin В |
l"3 |
|
+ 2ч•)+ |
р" |
+ 3р"3 sin в cos2 в (1 + t2 + 31)2 |
|
z"5 |
В cos• В (2 + 4t2 + 2t4). |
(40.4) |
|
+--.,. sin |
|
15р"" |
' |
|
Так как |
1 |
1 |
|
|
|
|
у = tg у - 3 |
tg3 у +5 tg5 1'' |
|
то из (40.4) имеем |
окончательно |
|
|
zз |
. |
zs |
2). (40.5) |
y"=l"sinB+ Зр2 |
sin_Bcos2 B(1+3Т)2 +2Т)4)+ 15Р4 sinBcos4 B(2-t |
2. С б л и ж е н и е м е р и д и а н о в н а п л о с к о с т и в ф у н к - |
ц и и пл о с к их |
к о ординат. Выражение для сближения меридианов |
в функции плоских координат получится путем замены в (40.5) l через прямо угольные координаты и замены аргумента В через В 1 . Последняя замена осу ществляется путем: предварительного разложения по строке Тейлора выражений:
sinB |
· {В |
|
(В |
|
|
В)} |
· В |
|
(В |
|
В) |
|
В |
|
sin В1 (В1-ВР |
Slll . 1 |
- |
|
1 |
- |
|
= SШ |
1 |
- |
1 |
- |
|
COS |
|
1 - |
2 |
|
1 |
|
2 |
В |
1 |
(1 + |
|
4 |
|
1 |
1 |
|
sin В=sin В |
- ~ sin |
|
rii) + ~ sin В |
|
|
|
|
|
2N1 |
|
|
|
:i |
24N5 |
1 |
|
(40.6) |
|
cos2 В=cos2 В1( 1 + |
ti) |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пос.пе указанных подстановок получим: окончательно |
|
|
|
"'"=...J!.__p"t |
{1-~(1+t2_..,2_2-n4)+.JL 2+sti+зt:} |
(40.7) |
r N1 1 |
3Ni |
1 |
|
|
·11 |
·11 |
N~ |
15 |
|
|
или в логариф:м:ическом виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg -v" = lg _]!_ p"t1 - |
|
µу2 |
(1- ri~ cos 2В1- |
2ri~ cos2 В1)+ |
|
N1 |
|
ЗN~ cos2 В1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
µу4 |
(13- 6 cos2В1). |
|
|
|
(40. 7') |
|
|
90N~ cos4 В1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что главные члены для у соответствуют разности прямого
и обратного азимутов в главной геодезической задаче, если у заменить через
· , sin А 1 , 1•
§ 41. Формулы для вычисления масштаба изображения
Для получения формул масштаба изображения в функции геодезических координат согласно формулам (37 .2) и (37 .4) напишем
т2 = (~)2 _ |
|
|
|
|
1+ ( ddyx )2 |
|
|
4 |
|
dx2+dy2 |
В dl2 |
= ( dy)2 ----,--~-=--=-----,- |
( |
i,i) |
ds - |
М2 dB2+№ cos2 |
dl |
В |
{ |
( |
МdB |
)2) • |
|
|
|
|
N2 cos2 |
1 + |
|
N cos В d l |
j |
|
|
|
На основании (40.1) будем иметь
