Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Что Rасается влияния уRлонений отЕесной линии и учета действительного гравитационного поля Земли в инженерно-rеодезичесних работах, то надо иметь в виду, что быстрое развитие науни и техники, наблюдающееся в совре­ менный период, резRо изменило масштабы инженерно-строительных сооруже­ ний и обусловило повышенные требования R точности и объему геодезических

работ, необходимых для проектирования и строительства этих сооружений. И если при прежних формах, масштабах и габаритах сооружений инженерно­ геодезические работы представляли собой измерительные действия, напра­

вленные, по существу, на решение чрезвычайно прос1ых по идее, чисто геометри­ ческих задач, притом обычно на плоскости, то сейчас становится необходимым в ряде случаев, при строительстве современных крупных сооружений, учиты­

вать влияние соответствующих элементов гравитационного поля Земли.

Современное строи1ельство больших гидротехничесних сооружений, свя­

зс1.нных с созданием или использованием водоемов большого протяжения,

требует учета непараллельности уровеввых поверхностей. При выполнении геодезических работ, связанных с nроложением тоннелей значительного про­ тяжения в горных районах, необходимо учитывать аномальные влияния, вы­ званные притяжением масс горного рельефа. В последнее время выявилась необходимость достижения точности конечных результатов инженерно-геодези­ ческих работ на один порядок выше, чем ранее, например при установке магни­

тов при строительстве больших ускорителей (синхрофазотронов). При опре­

деленных условиях некоторые редунции, считавшиеся ранее пренебрегаемыми,

уже должны учитываться.

Общее указание по учету гравитационного поля Земли при выполнении

точных инженерно-геодезических работ состоит в том, что необходимо анали­ зировать величины реду1щий и учи'Iывать их, сообразуясь с условиями задания,_

особенностями техники исполнения изме:рений и, конечно, гравиметрической

характеристикой района работ.

В среднем для всей Земли уклонения отвесных линий составляют величину

порядка ± 4 ". Однако в отдельных районах и при не вполне удачно выбранном референц-эллипсоиде они достигают нескольних десятков секунд. Значитель­

ные уклонения отвеса наблюдаются не тольно на территориях горного типа,.

но и в районах со спокойным и равнинным характером рельефа. Это надо учи­

тывать при использовании астрономических пунктов в качестве опорных точек

для топографических съемон.

§ 70. Тоnог11афичесние и топографо-изостатические. уRлонения отвесной линии

Изложенный выше метод позволяет с необходимой точностью вычислять

уклонения отвесной линии по результатам измерений; при этом ошибки опре­

деления зависят от полноты и точности самих измерений. Но может оказаться,

что один из видов измерений, например гравиметрические определения соот­

ветствующего радиуса в районе геодезических работ, отсутствует. В этом случае,

поскольку уклонения отвесных линий вызываются неравномерным распре­ делением масс в наружном слое Земли, естественно предположить, что непосред­

ственная причина у:клонений - притяжение избыточных масс на материках и недостаточность притягивающих масс в о:кеанах. Но изменчивость внешних форм Земли - не главная причина у:клонений отвесной линии; та:ковой является

изменение плотностей пород, образующих земную :кору. Тем не менее формы

наружноrо рельефа Земли о:казывают известное -елияние на зна:к и величину

310

}рлонений отвеса. Поэтому первоначально получим формулы для вычислений

,;.t уклонений отвесной линии, вызванных влиянием только внешнего топографи­

ческого рельефа, предполагая плотность вещества его одинаковой.

, Пусть имеем некоторую точку А на земной поверхности. Если бы окружа-

:ющая ее местность по рельефу совпадала с уровенной поверхностью точки А

(равнина, плоскогорье),·. то, очевидно, влияние топографического рельефа

_) отсутствовало бы.

· Но т~чку А окружают некоторые формы рельефа, не совпадающие с уро-

венной поверхностью, например горы, имеющие значительные высоты над

уровнем океана, или впадины, имеющие отрицательные высоты. Притяжение атих масс сказывается на направление отвесной линии. Определим величину

этого влияния.

- Возьмем в окружающем точку А рельефе в некоторой точке В элементарный объем d-r:, имеющий плотность б (рис. 129). Тогда элементарная масса dm этого

311

Вычисление Fx по формуле (70.9) или (70.10) производят методом числен­

ного интегрирования. Для этого вообразим вокруг точки А (рис. 130) вер­

меридиана азимуты А 1 , А 2 , А 3 и т. д. Таким образом, окружающая точку А

:местность разобьется на призмы. Высоту h каждой призмы будем считать по­ стоянной. Для определения притяжения какой-либо призмы, например а, В,

В результате интегрирования (70.9) получим притяжение Fx взятой призмы

(70.11)

Интегрируя (70.10), получаем

Продолжим вывод, взяв за исходное выражение (70.10).

Подберем азимуты радиальных плоскостей и радиусы цилиндрических

поверхностей таким образом, чтобы

(sin Ап - sin Ап_1) =пост.= L }

Тогда выражение для Fx примет вид

(70.14)

312

Составляющая притяжения, располагающаяся в плоскости меридиана

лежащих к северу от точки А, которую обозначим FГ], будет

(70.15)

тде ~hп - сумма высот всех призм, лежащих к:северу от точки А.

(( Аналогичное действие F~ призм, лежащих к югу от точки А, будет

От притяжения в меридиональном направлении F N s

окружающего точку А рельефа перейдем к составляющей

;;'уклонения отвесной линии в плоскости меридиана, вы­

313

так как 43 :Ro" = 0,00773. Формулу -для [влияния рельефа на слагающую

в первом вертикале получим аналогично

~ hE и ~ hw - суммы высот призм, расположенных соответственно в восточ­

ной и западной частях от меридиана точки А.

Для вычисления влияний масс рельефа на уклонения отвесных лию1й по

формулам (70.21) и (70.22) используется специальная диаграмма - палетка

и выполняется численное интегрирование, подробно разобранное в § 66. При

вычислениях плотность земной коры в среднем можно положить с\ = 2,7; плотность Земли D O = 5,52.

Значения h для возвышенностей будут положительными, а для впадин

(например, морей) - отрицат~зльными. В последнем случае необходимо учиты­

вать и массу воды.

Полученные формулы (70.21) и (70.22) соответствуют случаю, когда h

мало по сравнению с r. При определении влияния ближайшего к точке А рель­ ефа, при наличии значительных возвышений и обрывов в районе расположения точки А следует исходить из формулы (70.11). В этом случае влияние отдельной призмы на составляющие отвесной линии выр:1зится для s

Но попытки применить формулы вида (70.25) для вычислений уклоненпn

отвеса не дали ожидаемого результата. Выявилось, что вычисляемые по внеш­

нему рельефу Земли уклонения отвеса в районах с крупным горным рельефом.

в несколь:ко раз больше уклонений, получаемых по результатам измерений. Впервые с этим фактом столкнулись англичане при обработке материалов. астрономо-геодезических измерений в Индии. Можно было ожидать, что в Ин­

дии, на севере которой расположены массивы мощной и обширной системы Ги­

малайских гор, а на юге находится Индийский океан с большими глубинамиr должны быть большие уклонения отвесной, линии. Но в действительности это

предположение не подтвердилось. Так, например, на пункте Rалиана, распо­

ложеппом на севере Индии, вблизи подножия Гималайского хребта, аетроно-

314

·::мо-rеодезич:еское уклонение, полученное из измерений как ер - В, оказалось

равным ±5,2"; значение же уклонения отвеса за притяжения Гималайских гор, -вычисленное по формулам (70.25), оказалось ±27,9". Еще более это несоответ- -ствие проявляется вдоль береговых линий океанов, если к ним примыкают

. районы с горным рельефом. Если, например, на берегу океана расположены горные образования с высотами -800 м, а глубина океанического дна равна 4000 м, то для такого внешнего рельефа Земли для береговой полосы по форму­ лам (70.25) получаются уклонения отвеса величиной порядка 30-40", в то

JJремя как фактически, по данным измерений, его величина, как правило, ко­

леблется в пределах 5-8". :Картина изменений уклонений отвеса в общем хотя

и соответствует рельефу, но получается сильно сглаженной. Для объяснения

А

s

Рпс. 132

:этого явления была выдвинута г и п о т е з а и з о с т а т и ч е с к о й к о м -

11- е нс а ц и и, ил и г и п от е з а из о ст а з и и* (рис. 132).

Схем гипотез изостазии несколько; изложим в общих чертах гипотезу,

предложенную в середине XIX в. англичанином Джоном Праттом.

~огласно этой гипотезе, масса вертикальных блоков земной коры с равными

основаниями одинакова и постоянна в любой части Земли. Блоки, и меющие

:меньший объем и соответствующие впадинам земной поверхности, должны иметь

-большую плотность и, наоборот, блоки, имеющие большой объем и соответ­

,ствующие возвышенностям на материках, должны иметь меньшую плотность.

1Ц ест в а, из которого они состоят.

Подобная компенсация происходит в пределах постоянной глубины зем­

ной коры Т, ниже которой располагаются слои одинаковой плотности. Поверх­

&ость, выше которой происходит указанная компенсация и давление на которую

над поверхностью изостазии, имеющих равные основания, одинаковы и по­

стоянны.

На рис. 132 показаны три столба А, В, В, имеющие в основании одинаковую

площадь. Столб А соответствует некоторому району, в котором поверхность

геоида проходит вблизи земной поверхности; столбы В и В - океанической

• Изоставия - греческое слово, означающее равновеспе.

315

впадине и возвышенности на материке. По гипотезе изостазии столбы А, В, В,

расположенные выше поверхности изостазии S S, должны иметь одинаковую

массу. Разница в объемах этих столбов номпенсируется t:,~:()ту~nтствующим раз­

личием плотностей пород. составляющих эти столбы. Если плотность cтo:1f5::i А,.

имеющего некоторый средний объем, обозначить через б, то плотность столбов:

Б и В будет б + Лб и б - Лб соответственно.

Следовательно, основное уравнение гипотезы Пратта для всех частей

н а л ь н а и х т о л щ и н е.

Для определения постоянной в уравнении (70.26) возьмем точку, имеющую h = о.

Глубина изостатической поверхности должна быть получена из опытных

данных. Поясним в самых общих чертах путь ее определения. Принципиально

видно, 3а глубину поверхности изоста3ии следует

принять то 3начение, при котором вычисленные уклонения отвесных линий

окажутся наиболее близкими :к определенному их значению из астроном:о-гео­

дезических измерений. Аналогично можно определить глубину поверхности

изостазии, если известны для ряда пунктов измеренные значения силы тяжести.

Определяемая таким путем величина Т получается равной примерно 100 км.

При выводе размеров эллипсоида R.расовсRого для части астрономо-геодезиче­ ской сети уклонения отвесной линии определялись на основе гипотезы изоста­

зии Пратта; при этом глубина изостатической компенсации принята 96 :км.

Применение изостатического метода для вывода уклонений отвеса в этом случае было вызвано отсутствием веобходимых гравиметрических данных.

316

Изложим один из методов вывода уклонений отвесных линий, основанныw

использовании гипотезы изостазии Пратта.

Представим себе три столба, имеющие одинаковую площадь в основании

1

·и построенные между поверхностью изостатической компенсации и физической

веиной поверхностью (рис. 133). Первый столб соответствует материку, второй­

.поверхности, для которой высота h равна нулю, и третий - океанической

JJiадиве.

Положим, что плотность пород, расположенных над уровнем моря, везде

одинакова и равна б O = 2,67. Тем самым принимаем, что массы гор компенси­

руются только в той части столба, которая расположена ниже уровня моря,

т. е. от Ь до с. Такое исходное положение гипотезы соответствует следующей

ф:р:зической трактовке: те массы, которые возвышаются над уровнем моря,

в~винуты из глубины Немли; они образуют излишек, который в точности равен

ведостатку, образовавшемуся внизу - ниже уровня моря. Поэтому вес стол­

бов остается прежним и земная кора находится в равновесии.

, В таком случае основное уравнение гипотезы изостазии примет несколько,

ийой вид, чем в (70.28), т. е.

Первые два члена полученного выражения соответствуют некомпенсиро-

. вав:ной земной коре. Поэтому изостатичеоки уравновеm~нную земную кору

можно рассматривать как однородную массу плотности б 0 , в которой дополни­

_тельно равномерно размещено (ниже уровня моря) вещество отрицательной

317

·откуда следует, что компенсированную земную кору под океаном можем рас­

сматривать как вещество, имеющее нормальную плотность б0 , к которому при­

бавлено вещество с массой Л = б - бо·

Из изложенного следует, что для вычисления изостатического уклонения

отвесной линии необходимо вычислить влияние на уклонение отвесной линии:

а) топографического рельефа по формулам (70.25),

б) компенсирующих масс части земной коры, расположенной между уров­

нем океана и поверхностью изостатической компенсации.

Сумма полученных таким образом величин и будет изостатическим уклоне­

нием отвеса.

Влияние некоторой призмы топографического рельефа на уклонение отвес-

ной линии, согласно (70.24), выражается формулой (при ;~ = О).

rk+ Vrk+т2 ln---~~~~~

ri+ Vr; +т2

(70.43)

Обозначая

(70.44)

.318

319