Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

определить положение меридиана FF 1 и параллели ЕЕ1 • Очевидно, задача сводится к определению положения точек F, F 1 , Е, Е1 •

Для определения точки F имеем абсциссу линии АВ и заданную долготу l меридиана, который должен быть нанесен на планшет. Требуется определить

ординату YF точки F. Не различая широт точек А и В, по х1, как по дуге мери­

диана от экватора до данной точки, находим из таблиц широту В 1 . Далее,

ординату у западной рамки планшета и широту В параллели ЕЕ1 • На основа­

нии формулы (39.12) находим широту В 1 точки пересечения ординатной линии точки Е с осевым меридианом

Искомую абсциссу ХЕ вычисляют по таблицам как дугу меридиана от эква­ тора до широты В 1 . Аналогично вычисляют абсциссу точки Е1 ; при этом вместо ординаты западной рамки должна быть взята ордината восточной рамки.

§ 47. Понятие о некоторых других проекциях и системах

плоских координат

В предыдущих параграфах было сказано о теории и практике применения

системы прямоугольных плоских координат Гаусса - Rpюrepa, применя­

ющейся в настоящее время в СССР и других странах.

До перехода к проекции Гаусса - Rpюrepa в СССР и в ряде других стран

использовались другие проекции, причем в некоторых странах они приме­

няются и по настоящее время.

Рассмотрим эти проекции и соответствующие системы плоских прямо­

угольных координат. Некоторые из них имеют историческое и в то же время методическое значение. При сравнении с ними проекции Гаусса - Rрюгера

наглядно выявляются преимущества последней.

Приведем краткие сведения о сущности этих проекций

1. Сферические прямоуголы-1,ые координаты Волъднера

В ]этой системе координат земная поверхность I считается сферической.

Пусть на сфере (рис. 94) точка О на осевом меридиане принята за начало r,оординат. Меридиан РОР 1 , проходящий через выбранное начало координат,

принимается за ось х.

200

Возьмем некоторую точку А и определим ее положение на сфере в системе

2.Большие круги ОА O и ОБ O изображаются прямыми, перпендикуляр­ ными R прямой Р'ОР{ и расположенными на расстоянии, равном разности абсцисс точек А и Б.

3.Малый круг сферы, параллельный осевому меридиану, изображается

прямой, параллельной изображению осевого меридиана Р'О'Р{ и расположен­

в:ой от него на расстоянии, равном ординате этого малого круга. Описанные

условия изображения сферичесн:их элементов системы на плоскости вполне определяют положение точек А и В на плоскости. Они изображаются точr{ами

А, и В' и будут иметь плосн:ие н:оординаты, равные сферическим *.

Но, конечно, взаимное положение этих точек на плоскости иное, чем на

сфере. Это легко усматривается из сопоставления рис. 94 и 95.

• Сферические координаты как плоские использовал французс1шй геодезист Кассиви,

Dоэто:му описываемые плоские координаты называются также Кассини ..,..... Золъднера.

2(}1

1

2. Стереографичеспая проепция

Напомним, что стереографическая проекция шара на плоскость пред­

ставляет собой частный случай перспективных проекций, когда точка зрения

находится на поверхности шара; картинная плоскость перпендикулярна диа­

Для последующей характеристики проекций применительно к геодезиче­ ским целям приведем без вывода основные формулы проенции в определении Гаусса.

Основное уравнение проенции

Из формулы (47.2) следует, что иснажение одинаковое в радиальных

направлениях от центра проенции. Отсюда можно сделать вывод, что проекцию

целесообразно применять для изображения частей поверхности эллипсоида,

имеющих нруглые очертания.

203

Формула (47.2) дает главный член поправки за переход с эллипсоида на плоскость в стереографической проекции, если для х и у взять их значения для средней точки линии, т. е.

следует, что масштаб изображения воврастает от центральной точки по всем направлениям. Поэтому применение стереографической проекции на большой территории вызывает необходимость введения зон, ограниченных как меридиа­ нами, так и параллелями. Вследствие наличия частных начал координат,

расположенных под разными широтами, вычисления не будут единообраз­ ными в разных зонах. Следовательно, если говорить о применении проекции на значительной территории, то за проекцией Гаусса - Крюгера сохраняется безусловное преимущество. Масштаб изображения в проекции Гаусса - Крю­

гера зависит только от ординаты, следовательно, каждая зона в этой проекции

охватывает полосу поверхности эллипсоида от северного полюса до южного.

Огромное достоинство этой проекции - полное однообразие и ·стандартиза­ ция вычислений независимо от зоны.

Тем не менее стереографическая проекция имеет некоторые преимущества,

которые в частных случаях могут быть использованы. К этим преимуществам

·м:ожно отнести:

1.Искажения возрастают равномерно 'ОТ, центральной зоны проекции,

'Тогда как в проекции Гаусса - Крюгера такой равномерности нет.

2.При одинаковом удалении от осевого меридиана искажения в длинах

линий в стереографической проекции в два раза меньше, чем в проекции

Гаусса - :Крюгера.

Мошно высказать предположение, что в частных случаях стереографиче­ ·СКая проекция момет найти практическое применение в геодезических работах. Очевидно, это может быть в тех случаях, когда размер искажений в проекции Гаусса - Н.рюгера в принятой системе зон недопустим и возникает необходи­ мость перехода ~ частной системе координат; это может случиться при исполь­

зовании координат для достаточно точных числовых расчетов при проектиро-

·204

вании и строительстве комплекса инженерных сооружений, при известном уда­

лении их от осевого меридиана. Как уже указывалось, ·стереографическая

проекция наиболее удобна для изображения территорий, имеющих круrлое

очертание.

Общее заключение по применению координат Гаусса - Крюгера в геодезических работах СССР

Система координат Гаусса - Крюгера отвечает требованиям, указанным

в § 35; переход с эллипсоида на плоскость осуществляется с точностью, удо­ влетворяющей самым строгим практическим требованиям. Полученные фор­

мулы хотя и не очень просты, все же не представляют существенных затруд­

нений при вычислении, если имеются вспомогательные таблицы. Проекция конформна, поэтому редукции направлений за кривизну изображения геодези­

ческой линии на плоскости малы и их легко вычислить; линейные искажения

учитывать просто.

Основное достоинство проекции Гаусса - Крюгера для построения системы

плоских прямоугольных координат на значительных и больших территориях -

деление на зоны, простирающиеся полосами от северного полюса до южного.

Такое деление на зоны равного протяжения по долготе и однородного по ши­

роте обеспечивает единообразие методов и средств вычислений во всех зонах.

Разные зоны отличаются от нулевого меридиана только номерами, не участву­ ющими в вычислениях и определяющими географическое положение той или иной зоны на поверхности земного эллипсоида.

Таким образом, проекция Гаусса - Крюгера имеет универсальный харак­ тер и наряду с геодезической системой координат может применяться для всех

стран и нонтинентов.

Достоинство проекции Гаусса - Крюгера заключается в том, что в рабо­ тах малой точности, например при развитии съемочного обоснования - про­

ложении теодолитных ходов, развитии аналитических сетей, можно не учиты­

вать редунций направлений. Действительно, в неблагоприятном случае (на краю mестиградусной зоны при Ут = 250 км, х2 - х1 = 1 км) значение редук­

ции будет меньше 1 ", т. е. пренебреrаемо мало по сравнению с ошибками изме­

рения углов.

При проложении теодолитных ходов между :пунктами триангуляции, координаты которых даны в системе Гаусса - Крюгера, в измеренные длины

сторон ходов необходимо вводить поправки за перРход на плоскость. На нраю mестиrрадусной зоны при у = 250 км эти поправки достигают величины по-·

искажения.

Конечно, при всяком заноне изображения эллипсоида на плоскости для

большой территории неизбежно разделение территории на зоны. В связи с

этим возникают неудобства главным образом на стыке двух смежных зон,

когда смежные геодезические пункты оказываются отнесенными к различным

системам координат. Однако для большинства случаев эти неудобства устра­ няются взаимным перекрытием зов при вычислении координат пунктов. Эти перекрытия в настоящее время в СССР установлены на 1° по долготе; западная

205

и восточная зоны перекрываются по 30' по долготе. Схематически это перекры­ тие показано на рис. 97.

Интервалы зон по долготе в 6° следует считать максимальными; при увели­

данные, вычисленные в проекции, отличаются от соответствующих данных

в натуре. Но нельзя требовать, чтобы инженер-проектировщик при использо­

вании топографа-геодезических данных для составления проекта или при пере­ несении его в натуру имел дело с какими-либо редукциями. Это приводило бы к различным недоразумениям и ошибкам. Линейные искажения на краю шести­ градусной зоны достигают величины порядка 1 : 1200; для проектирования различных инженерных сооружений такое масштабное искажение на плане или в геодезических данных не может считаться допустимым. С применением трех­

градусных зон (Z = 1°30') линейные искажения приблизительно равны 1 : 5000.

Этой величиной уже во многих случаях можно пренебрегать. Поэто:м:у в райо­ нах крупномасштабных съемок, результаты которых будут использоваться

для проектирования и инженерных расчетов, координаты пунктов следует

вычислять в трехградусной зоне с применением в отдельных случаях частных

осевых меридианов.

В издаваемых в настоящее время каталогах геодезических пунктов, по­ мимо прямоугольных координат х и у, приводятся, как правило, сближения меридианов и масштаб изображения.

Для всей территории СССР абсциссы х положительны, поэтому знак плюс обычно не ставится. Ординаты у могут иметь и положительные, и отрицатель­ ные значения. Чтобы избежать ошибок, которые могут возникнуть вследствие

неправильного учета знака ординат, начало счета последних сдвигают на запад

на 500 км, т. е. к значениям ординат алгебраически прибавляют 500 км и впе­ реди полученной суммы ставят номер зоны, к которой отнесены координаты данного пункта. Если, например, данная точка расположена в зоне No 7 и ее

ордината у = - 74,24 км, то преобразованное указанным образом значение ординаты будет 7 425,76.

Координаты Гаусса - Крюгера прочно вошли в практику геодезических работ в СССР, они обеспечивают простое использование результатов этих

работ в различных целях, о I{оторых было сказано в начале главы. В настоя-

2011

11.

ФИЗИЧЕСRАЛ ГЕОДЕЗИЯ

Гл а в а VII

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

§ 49. Предмет физической геодезии

Физическая геодезия - часть высшей геодезии, в которой рассматрива­

ются методы изучения фигуры Земли как физического и геометрического тела

на основе законов механики и опытных данных - результатов геодезических,

гравиметрических и астрономических измерений. Если в сфероидической гео­

дезии устанавливаются математические зависимости между элементами поверх­

ности эллипсоида, считая его параметры известными, то физическая геодезия

рассматривает методы определения параметров земного эллипсоида и методы

изучения_ действительной фигуры Земли обычно относительно выбранного

эллипсоида как поверхности относимости или сравнения.

Изучение фигуры Земли основано на определении действительного внеш­

него гравитационного поля Земли, поэтому в физической геодезии значительное внимание уделяется теории потенциала силы тяжести Земли и его определению

по результатам упомянутых измерений. К физической геодезии относится

также редукционная проблема высшей геодезии, под которой обычно пони­

мается совокупность задач по вычислению поправок в непосредствен­

но измеренные значения углов, линий и других элементов за переход к поверх­

ности относимости.

К физической геодезии отнесем вопросы использования ,геодезических данных для изучения деформации земной поверхности и внутреннего строения

Земли как физического тела.

Через физическую геодезию, в первую очередь, геодезия в целом входит

в состав науки о Земле как совокупности знаний, даваемых геофизикой,

геологией и другими науками.

Под общей фигурой Земли практически понимается эллипсоид вращения, максимально приближающийся к общему земному эллипсоиду.

Под действительной фигурой Земли будем понимать физическую поверх­

ность на суше и невозмущенную поверхность воды океанов и морей. При необ­

ходимости, из измерений глубин дна в океанах и морях всегда легко можно

определить поверхность океанического и морского дна.

Действительная фигура Земли - физическая земная поверхность - опре­ деляется координатами каждой ее точки в выбранной системе. Однако прак­ тически такого определения положения всех точек поверхности Земли мето­

дами высшей геодезии не требуется. Достаточно определять пространстве:яные

208