Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Гл а в а IV

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ШИРОТ, ДОЛГОТ И АЗИМУТОВ

§ 22. Общие ·сведения

Конечная цель основных геодезических работ - определение координат rеодезических пунктов. Так как в геодезических вычислениях фигура Земли

принимается за эллипсоид вращения, то, следовательно, задача сводится к вы­

числению координат отдельных точек поверхности эллипсоида вращения. Поло­

жение геодезических пунктов может быть определено в различных системя.х

координат; каждой системе координат соответствуют

о

свои методы и формулы вычислений.

В этой главе рассмотрены методы вычисления гео­

дезических координат, т. е. геодезических широт, долгот

и азимутов.

Характерная особенность геодезических измерений

исходные данные, устанавливающие положение этой си­

стемы пунктов на эллипсоиде и ее ориентировку относительно параметрических

линий меридианов и параллелей.

В качестве исходных данных, необходимых для вычисления геодезических

координат пунктов, должно быть задано положение на поверхности эллипсоида

двух каких-либо пунктов данной сети. Положение этих двух пунктов может

быть задано: а) геодезическими координатами одного пункта, рассто~нием

иазимутом на второй пункт или б) rеодезичаскими координатами обоих

пунктов.,

Вычисление координат пунктов триангуляционного ряда (сети или поли­

гонометрического хода) заключается в последовательном решении прямой геодезической задачи по некоторой ходовой линии геодезического ряда; npF каждом решении такой задачи по данной стороне искомые коордиюны и ази­ муты предыдущей задачи становятся исходными для решения задачи по данной

стороне.

Во втором случае, когда по данным геодезическим координатам пунктов А

и. В вычисляют расстояние :м:ежпv этими пунктами, прямой и обратный i:iЗимуты

линии А - В. Такая задача называется об р ат но й г е о де з и ч е с к о й з а - дачей. Так, например, после уравнивания отдельных звеньев триангуляции 1 класса для полигонального уравнивания необходимо вычислять длины, прямой и обратный азимут геодезической линии, соединяющей конечные точки звена. В этом случае решается обратная геодезическая задача.

Прямую и обратную геодезические задачи называют гл а в н ы ми г е о -

д е з и ч е с к и м и 3 а д а ч а м и.

Приведенное выше описание главных геодезических задач дано примени­

тельно к случаю вычисления геодезических координат пунктов государственной

геодезической сети.

Этот случай характерен тем, что вычисление геодезических координат приходится вести на расстояния, не превышающие, как правило, 30-40 км, а требуемая точность вычисления координат достаточно высока. Иногда возни­ кает необходимость вычисления прямой и обратной геодезических задач при

расстояниях между пунктами в несколько сот, а в ряде случаев и в несколь:ко

тысяч :километров. Необходимость решения таких задач возникает в различных целях. Например, при передаче координат на другие континенты при изучении

их движения. Разнообразие в расстояниях, по которым возникает необходи­

мость решения главных геодезических задач, различные требования к точности не позволяют рекомендовать какой-либо единый метод и единые формулы.

Поэтому, в зависимости от указанных условий, целесообразно применЯ')_'Ь

различные методы и формулы решения задач.

Условно расстояния можно подразделить на четыре группы:

в пределах небольших расстояний и площадей, то, конечно, наиболее целесо­

образно использовать геодезические данные в прямоугольной системе коорди­

нат. Но когда геодезичес:кие вычисления должны быть выполнены между точ­ :ками земной поверхности, расположенными на значительных расстояниях,

то здесь в полной мере проявляются преимущества и достоинства системы

геодезичес:ких координат, как единой для всей Земли и отнесенной непосред­

ственно к ее поверхности.

Вот почему обязательно для инженера-геодезиста знать пути и методы решения прямой и обратной задач в системе геодезичес1шх :координат при раз­ ных расстояниях, если он хочет быть подготовленным для ответа на определен­ ный круг вопросов теории высшей геодезии и ее практического применения.

§ 23. Общие соображения о решении прямой и обратной геодезических задач

Существует два основных пути решения прямой и обратной геодезических

задач, называемых прямым, или непосредственным путем решения геодезиче­

ской задачи и косвенным путем решения задачи.

П р я м о й, или непосредственный путь решения главной геодезической

задачи заключается в решении сфероидическоrо треугольника АРВ (рис. 43).

82

Таким образом, для прямого пути решения главной геодезической задачи характерно непосредственное определение элементов треугольника АВР, явля­

ющихся искомыми величинами.

R о с в е н н ы й п у т ь решения главной геодезической задачи заклю­ чается в выводе разностей широт, долгот и азимутов данного и определяемого,

пунктов.

Следовательно, для косвенного пути решения задачи характерен вывод

А2.1 = А1•2 ± 18()8 + (А2.1-А1•2).

Формулы для решения обратной геодезической задачи обычно получаютсm из формул для решения прямой задачи путем соответствующих математических

же обратной задачи будут даны с соответствующим обосно­

ванием только наиболее употребительные формулы. Возвращаясь к прямому пути решения главной геоде­

зической задачи, необходимо указать, что решение тре­ угольника АРВ, как треугольника сфероидического, не может быть выполнено в элементарных функциях в замкнутой форме. Это, конечно, понятно: стороны упо­

ментарных функциях. Поэтому при решении глав-

ной геодезической задачи с применением прямого

пути поступают следующим образом: от сфероидического треугольника АРВ

переходят к треугольнику некоторой вспомогательной сферы и устанавливают

одновременно аналитическую или геометрическую связь между элементами обоих треугольников. Этот методический прием решения задачи прямым путем,

конечно, может считаться достаточно целесообразным и обоснованным для

соответствующих случаев, если учесть, что земной эллипсоид имеет сравни-

тельно малое сжатие а ~ 3~0, вследствие чего при удачном выборе способа

перехода на сферу различие в элементах обоих треугольников при не очень

больших расстояниях будет незначительно и легко учитываемо.

щ;

После перехода от эллипсоидального треугольника к сферическому опре­

деляют все элементы последнего, затем, пользуясь теми же законами связи

е.фероидическоrо и сферического треугольников, осуществляют обратный пере­ ход на сфероид, т. е. определяют элементы сфероидическоrо треугольника, являющиеся искомыми, в прямой геодезической задаче: широта второго пункта, разность долгот обоих пунктов и обратный азимут.

Во всех способах прямого пути решения главной геодезической задачи

сферическая поверхность используется как промежуточная инстанция; она

может быть использована и при выводе формул, и в процессе практических

вычислений. Решение треугольника на сфере производят по замкнутым форму­

.лам; переход же от элементов сфероидическоrо треугольника к сферическому

и обратно - по разомкнутым формулам.

Остановимся в общих чертах на принципиальной стороне рассматриваемой

.задачи.

В § 13 получены дифференциальные уравнения

Формулы (23.2) дают в общем виде решение прямой геодезической задачи.

Однако в общем виде уравнения (23.2) проинтегрировать нельзя, так как подын­ тегральная функция зависит от аргументов А и В, выразить н.оторые в функ­

ции переменной интегрирования s в замкнутом виде не представляется возмож­

ным; сложность задачи увеличивается также и вследствие того, что функции V

и с зависят и от эксцентриситета е.

Поэтому неизбежным становится использование рядов или применение описанного выше приема с переносом элементов сфероидическоrо треугольника на сферу, решением задачи на ней и обратным переходом на поверхность эллип­

соида. Заметим попутно, что при переходе на сферу стороны сфероидических треугольников должны изображаться дугами больших кругов; в этом случае

решение задачи на сфере производится по элементарным формулам сферической

тригонометрии.

Возвращаясь к использованию рядов для решения геодезической задачи,

-отметим следующее. При интегрировании уравнений (23.2) возможно разложе­ ние в ряды по возрастающим степеням s или е2• При сравнительно малых рас-

84

стояниях по сравнению с радиусом Земли (25-50 км, но не свыше 400 км)

выгоднее использовать ряды по степеням s; в этом случае будет иметь мест<;> хорошая сходимость членов рядов. При больших расстояниях, вследствие

слабой сходимости рядов, разложение по возрастающим степеням s практи-

чески непригодно. При; > 1 ряды расходятся. В этом случае при интегриро­

вании уравнений (23.2) используется разложение по степеням е2• При решении геодезической задачи на сравнительно малые расстояния

целесообразно применять косвенный путь решения задачи и использовать ряды

по возрастающим степеням s.

Пусть даны координаты начальной точки А (В 1 , L 1) и азимут А 1 . 2 эле­

мента геодезической линии ds, тогда искомые координаты конечной точки гео­

Вторые производные получатся путем дифференцирования выражений

(23.6). При этом не будем принимать во внимание сфероидичность Земли, т. е.

при:ме:м радиусы кривизны N и М постоянными, что допустимо при s ~ 30 км.

Будем иметь

86

формулы, определяющие искомые разности координат и пригодные для реше­

ния задачи при любых расстояниях между пунктами.

На этот метод обратил внимание М. С. Молоденский. Заметим, что фор­

мулы Молоденского позволяют вести вычисления координат точек физической

поверхности Земли. Формулы для вычисления координат точек поверхности эллипсоида получаются из формул Молоденского как частный случай при

Н= О.

§ 24. О точности вычисления геодезических координат

широт, долгот, азимутов

1. Общие соображения

При вычислении геодезических координат должно выполняться условие

необходимой и достаточной точности вычислений. Для этого следует:

а) обеспечить уверенное получение в конечных результатах вычислений тех долей принятых единиц, которые соответствовали бы исходным данным и установленным требованиям;

б) производить вычисления с удержанием необходимого и достаточного числа десятичных знаков (натуральных или логарифмических); при недостаточном

числе знаков не выполняются требования к точности вычислений, а при избы­

точном числе излишне затрачиваются силы и средства;

в) применять для вычислений координат методы и формулы, наиболее

соответствующие условиям поставленной задачи.

Особо приходится считаться с тем, что для вычислений геодезических координат применяются формулы в виде рядов, поэтому необходимо при использовании тех или иных формул правильно ограничивать число членов

этих рядов.

2. О точности вычисления окончательных значений координат

Методическая основа расчета необходимой точности вычисления оконча­ тельных значений геодезических координат остается такой же, как в других

геодезических вычислениях. Она состоит в выполнении условия, чтобы сум­ марные ошибки различных этапов вычислений искомых величин были в 5- 10 раз меньше влияния ошибок исходных данных. Это требование понятно -

точность координат пунктов должна определяться только ошибками исполь­ зуемых исходных данных для вычислений, но отнюдь не должна зависеть от

недостаточной строгости вычислительных действий. Это условие должно соблю­

даться и при решении обратной геодезической задачи.

Рассмотрим некоторые типичные случаи. Установим требуемую точность вычислений геодезических координат пунктов государственной опорной гео­ дезической сети. Точность вычисления окончательных значений геодезических

координат должна соответствовать в указанном выше смысле точности полевых

измерений. Ставя условие, чтобы ошибки вычислений были в 5-10 раз меньше

влияния ошибок полевых измерений, мы можем считать, что ошибки в коорди­ натах будут зависеть только от ошибок полевых измерений.

Поскольку вычисление координат пунктов геодезичес1{0Й сети распадается

на последовательное раздельное решение зя.дач между каждыми двумя смеж­

ными пунктами сети, то достаточно рассмотреть вопрос о точности вычислений

на примере решения отдельно взятой задачи. В качестве типичного случая

.рассмотрим равносторонний треугольник триангуляции.

Положение третьей вершины такого треугольника относительно двух

других его вершин определится с линейной ошибкой т, которую для наших целей достаточно вычислить по формуле

µ - средняя квадратическая ошибка иsмеренного угла,

р" =- 206 265.

Обоsначая составляющие этой ошибки по осям координат череs тх и ту•

, :можем написать

т

mx=my= -V2.

Рассчитаем числовые sначения этих ошибок, приняв точность триангу-

ляции:

Конечно, пункты триангуляции 2 и 3 классов определяются в системе плоских прямоугольных координат. Однако приведенный выше расчет поsво­ ляет сделать общий вывод, что порядок влияния ошибок полевых иsмерений

на взаимное положение пунктов триангуляции одинаков для всех классов,

поэтому координаты пунктов государственной триангуляции всех классов

должны вычисляться с одной и той же точностью, т. е. с сохранением одинако­

вого числа знаков.

Итак, принимая ошибку во взаимном положении смежных пунктов триан­ гуляции по осям координат в 6 см, мы должны потребовать, чтобы ошибки

вычисления разности широт, долгот исходного и определяемого пунктов нахо­

дуги в 1 " большого круга земного шара равна приблизительно 30 м, получаем

для тх = ту = 1 см

mi = 0,0003" sec В,

или для широты В = 56°

тъ = 0,0005".

Rак увидим далее, разность координат двух смежных пунктов получается как сумма двух-трех слагаемых. Поэтому приходим к выводу, что вычисление

широт и долгот пунктов триангуляции следует вести с надежным удержанием

десятитысячных долей секунды; в этом случае вычисление геодезических коор­

динат определяемого пункта относительно исходного будет определяться

с ошибкой порядка 0,0002-0,0003" по широте и 0,0002 sec В - 0,0003" sec В

по долготе, что близко к крайнему пределу точности вычисления, т. е. к 1 см. Остановимся на точности вычисления азимутов при вычислении координат

пунктов триангуляции. При уравнивании триангуляции 1 класса поправки

направлений вычисляют до тысячных долей секунды и окончательные резуль-

88

-таты при составлении каталогов округляют до сотой доли секунды. Иначе rоворя, при округлении значений уравненных направлений допускается ошибка

до 0,005 ". С этой точностью уравненные значения углов треугольников должны

,соответствовать разности азимутов направлений, образующих данный угол.

' Так как разность прямого и обратного азимутов вычисляется почти всегда как

,сумма трех слагаемых, то при вычислении азимутов в триангуляции 1 класса

цеобходимо сохранять тысячные доли секунды.

Смещение одного конца линии длиной в 25 км на 0,0003" дуги нормального ,с,е11ения или в линейной мере 1 см соответствует изменению ее азимута на вели­

-чину порядка 0,07". Поэтому при вычислении азимутов направлений по коор­

динатам конечных точек линии (обратная геодезическая задача), при указанной -точности вычислений, полного совпадения вычисленного азимута с его значе­ нием, которое использовалось при вычислении прямой геодезической задачи

по данной стороне, может и не быть. Здесь возможны расхождения до 0,02- {),03" (если координаты взяты с указанной точностью).

Таким образом, полного соответствия между точностью вычисления коор­ динат пунктов (широт и долгот) и азимутов направлений нет; это понятно,

так как установленная выше точность вычисления азимутов определена исходя

из иного условия.

Накопление ошибок вычислений координат вдоль триангуляционного ряда '6удет значительно слабее, чем накопление ошибок в передаче координат, вы­

.званных ошибками измерений углов. В этом нетрудно убедиться, сравнивая

.законы накопления указанных ошибок. Rак известно, продольный или попе­ речный сдвиг ряда, обусловленный ошибками углов триангуляции, возрастает

,образом, высокие требования к точности вычисления координат, установленные

выше, должны обеспечить практическое исключение ошибок вычислений во

взаимном положении смежных пунктов, как основы для развития сетей триан­ rуляции низших классов.

Р а с с м о т р и м п р и м е р. Триангуляционный ряд протяженностью

400 км состоит из звеньев триангуляции со сторонами треугольников 25 км.

Сторон, участвующих в передаче координат, будет 16. Полагая продольный

я поперечный сдвиг звена триангуляции 1 класса ±0,7 м, получаем, что конеч­

-ный пункт ряда относительно начального определится: по осям координат

·С Ошибкой ±0,7 •V2 = ± 1 м, ИЛИ, В единицах дуги нормального сечения,

±0,03". Накопление же ошибок вычислений координат будет ±О,ОООЗ"V16=

= 0,0012, т. е. в 25 раз меньше.

Пусть требуется решить обратную геодезическую задачу между конечными

11унктами указанного ряда. Длина геодезиqеской линии в таком ряде опре­ делится с ошибкой 1 : 400 ООО, что составляет 10 единиц 7-го знака логарифма, а азимут этой линии - с ошибкой около 0,5". Отсюда можно сделать вывод, что достаточно вычислить логарифм длины геодезической линии с удержанием ~диницы 7-го знака, а азимута - до 0,01 ". Необходимо при установлении точ­

ности вычислений учитывать значения погрешностей в исходных данных.

Возьмем такой случай.

Требуется вычислить длину геодезической линии между двумя пунктами

11 азимут с одного пункта на друг()й; н.оординаты пунктов определены по картам.

Но оба пункта расположены в районах, где в качестве геодезической основы

Rартографирования использованы геодезические сети, построенные в разных

89