Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

системах. Uрежде чем приступать к вычислению ИСI{омых величин, т. е. к реше­

нию обратной геодезической задачи, необходимо сделать расчет влияния на

взаимное положение пунктов, определенных указанными координатами, раз­

личия систем координат (разные начала координат, различные размеры и ори­ ентировки эллипсоида); искажений проекций; ошибок графического определе­ ния координат по картам; случайных ошибок геодезических связей в каждой

системе координат и т. п. Определив таким образом взаимную ошибку коорди­

нат пунктов, затем установим необходимую точность вычислений искомых

расстояний и азимутов.

Приведенные примеры и расчеты не исчерпывают, конечно, всех случаев, имеющихся на практике; они являются только иллюстрацией методического порядка, который должен быть применен при установлении необходимой и до­

статочной точности вычислений при решении главной геодезической задачи.

3. О точности формул для вычисления геодезических коо~динат

Изложенные выше соображения и выводы о точности вычислений не затра­

гивали вопроса о точности формул, применяемых для вычисления координат.

В предыдущих рассуждениях как бы предполагалось наличие точных формул для вычислений. Между тем используемые формулы для вычисления

координат основаны на разложениях функций в бесконечные ряды. Поэтому

все применяемые формулы вычислений в этом смысле являются нестрогими и неточными. Конечно, используя соответствующее число членов ряда, можно

получить формулы для вычислений с любой заданной точностью. Поэтому всегда вывод тех или иных формул для вычисления координат необходимо сопровождать исследованиями об их точности при сохранении того или иного

числа членов в рядах. Практически приходится, исходя И3 заданной точности

получения формул, устанавливать члены, подлежащие учету при разложении

рядов, и вводить их в формулы в виде поправочных членов. Другие члены рядов, по их малости, приходится считать пренебрегаемыми по сравнению с заданной точностью и не вводить их в получаемые формулы. Критерием точности тех или иных формул является степень малой величины, которой пренебрегаJiи при выводе формул. Малые величины, степень которых характеризует вели­ чину учтенных или отброшенных членов, должны быть оговорены.

При выводе формул для решения главной геодезической задачи за такую

малую величину обычно принимают отношение ; . При получении формул

для вычисления геодезических координат пунктов триангуляции, т. е. когда

а = е22 уже будет второго порядка малости.

Иногда за малую величину, степень которой характеризует точность формул, принимается е. Так, например, в формулах дуги меридиана их точ­ ность характеризуется степенью е в отброшенных членах ряда. Для характе-

90

11

1

ристики точности формул следует принимать за основу не порядок малости Gохраненных членов ряда, а порядок малости отброшенных членов.

Чтобы обеспечить необходимую точность вычислений, необходимо в фор­

'1мулах сохранять члены, дающие основание считать их практически точными.

1Для этого необходимо, чтобы формула по точности имела по крайней мере

.десятикратный <<запас прочностю>.

Исходя из указанных соображений, приведем расчеты по обоснованию -требуемой точности формул для вычисления координат пунктов триангуляции

1 класса. Положим s = 30 I{M или (в дуговой мере) 1000". Поставим ус.nовие, чтобы порядок ошибок формул был в десять раз меньше реальной точности вычислений координат (0,0003 "), 1 тогда отбрасываемые при выводе формул -члены должны быть меньше 0,00003" или в относительной форме вызываемая

Отсюда делаем вывод, что если длины сторон триангуляции меньше 30 км,

-то необходимо в формулах сохранять члены третьего порядка малости и можно пренебрегать членами четвертого порядка.

В СССР длины сторон триангуляции 1 класса нередко достигают 40- ~50 км, а в отдельных случаях и 60 км. Произведя аналогичный расчет, при­

ходим к выводу, что в этом случае ограничиваться только членами третьегс

порядка недостаточно. Поэтому при вычислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса обычно применяют формулы с удержанием

членов четвертого порядка малости.

Следует ясно представить себе, что должно быть полное соответствие между точностью вычислений, используемым числом десятичных знаков и точ­

ностью применяемых формул.

При применении методов прямого пути решения главной геодезической

задачи, как уже указывалось, точность формул характеризуется точностью

рабочих формул связи элементов эллипсоидального и соответствующего ему сферического треугольника.

Мы видим, что способы решения геодезической задачи достаточно разно­

образны. И это не случайно. В практике возникает необходимость вычислений

координат на разные расстояния и с различной точностью.

§ 25. Формулы для решения прямой геодезической задачи по способу вспомогательной точки,

вывод формул по Красовскому

Пусть даны координаты точки А: широта В 1 и долгота L1 , азимут А 1 . 2 rеодезической линии с А на В и расстояние s между точками А и В; требуется

чается в том, что непосредственно определяются не координаты точки В, а раз­ ности координат точек А и В, после чего легко находятся и искомые координаты

второй точки.

q

Общий путь решения задачи путем введения вспомогательной точки,

через которую осуществляется вычисление координат, указан выше.

Построим вспомогательную точку С на меридиане АР таким образом, чтобы геодезическая линия, проходящая через точки В и С, имела в С ази­ мут, равный 90°. Тогда при переходе от А к С члены в формулах со множителем sin АС обратятся в нуль и будем иметь:

АС

Вс = B1I+ м+ •••,

Lc=L1,

Асл = -Але+ 180°.

Иначе говоря, в формуле для вычисления широты выпадают третий, пятый и т. д. члены разложения, долгота точки С равна долготе точки А, а обратный азимут получается добавлением к прямому 180°.

При вычислении разностей координат точек В и С, т. е. при переходе

от вспомогательной точки С к искомой В, азимут Асв будет равен ~; поэтому

в формулах члены с cos А св и sin 2А св будут равны нулю. Тогда в формуле для широты выпадает первый член разложения, а для долгот и азимутов - второй, четвертый и т. д.

При выводе формул будем исходить из того, что длина стороны меньше

д р а. Та:к как стороны треугольника АБС малые, то его можно рассматривать как сферический и решать по теореме Лежандра.

;{

J

92

причем принято, что cos : = 1; это вызовет ошибку в АС и ВС четвертого

порядка малости, а при переходе в дальнейшем к разности координат, т. е.

к AJ и в~, - ошибку пятого порядка малости (за величину первого порядка

принята величина ; ~ 0,005; при этом величина е2 ~О,007 будет также ве­

личиной первого порядка).

Раскладываем последние выражения для АС и ВС по строке Тейлора,

ограничиваясь по малости в двумя членами ряда и принимая во внимание (25.1):

uv

8= -- .

2Ri

Формулы (25.3) и (25.4) определяют длины сторон треугольника АБС.

2. Определение разно ст и широт дан но и и в сп о·

м: о г а т е л ь н о й т о ч е, к. Так как точки А и С лежат на одном меридиане­

Но широта Вт нам неизвестна, так как неизвестна разность Ь.

Поскольку

то, применяя ряд Тейлора, получаем

93.

1

приходим к формуле

(25.16)

Более точное выражение для Ь" можно получить, если для разности широт

Последняя формула пригодна для вычисления координат в триангуляции

1 класса при сторонах до 60 км. При длинах сторон до 30~35 км следует

rде N O - радиус сечения первого вертикала в точке С. Обозначая

трехграннику с ребрами Спс, Впс и Рпс, с центром сферы в пс; радиус сферы

95,

---- - ~ -- - - -

примем равным единице. -Угол между плоскостью СВпс и плоскостью меридиана,

с,

выражения (25.23), раскладывая тригонометрические функции этих величин

96

1

откуда

( 25.27)

Пренебрегая ошибками пятого порядка малости, можно в поправочных

членах величины Z и t заменить через л и 't

Логарифмический вид выражений (25.28) и (25.29):

на одной широте; соответствующая ей кривая на сфере будет c1 d (см. рис. "Угол между нормальной плоскостью DCnc и плоскостью РСпс обозначим

ч

98

членов для логарифмического вычисления геодезической задачи приведены

в специальных таблицах.

:вычисления геодезических координат: в широтах и

:долготах с ошибкой до 0,0001 "; в азимутах - с

ошибкой от 0,001" - при расстояниях до 50-60 км;

иначе говоря, они отвечают требованиям вычисления координат в триангуляции 1 класса.

Путем присоединения дополнительных поправок

можно сделать формулы более точными, после чего

применить их для треугольников со сторонами

ДО 100-120 КМ.

Приведенный вывод формул для вычисления rеодезических координат, основанный на геометри­

ческом подходе, принадлежит проф. Rрасовскому. А

В табл. 8 приведен пример логарифмичесного

Для вычислений на счетных машинах вместо формул (25.41) целесообразно

использовать следующие (см. [44), стр. 164):

7*

~)9