Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

()Сей будем иметь различные системы координат. которые, оставаясь сфероиди­

ческими, будут иметь свои особенности. Система сфероидических координат, являясь системой криволинейных координат на поверхности эллипсоида, род­

ственна системам, указанным в п. 3 и 4.

Дадим описание наиболее простой системы прямоугольных сфероидических

координат.

Примем некоторую точку А (рис. 7), геодезические координаты которой

известны, за начало координат. Меридиан, проходящий через точку А, примем за первую координатную ось - ось абсцисс. Абсциссы будем считать положи­ тельными для точек, лежащих севернее точки А, и отрицательными для точек, леа,ащ:их к югу от точки А. Для определения положения точки М проведем

через М нормальное сечение таким образом, чтобы оно пересекло меридиан начальной точки А под углом 90°. Пусть кривая этого нормального сечения (точнее, геодезическая линия - кривая кратчайшего расстояния на поверхности эллипсоида) изобразится на рис. 7 линией ММ1 . Тогда положение точки М

в рассматриваемой системе координат определят длины следующих двух кривых

па поверхности эллипсоида, которые и будут сфероидически:ми прямоугольными :координатами точки Л1:

АМ1=р,

MM1=q.

Эти криволинейные координаты р и q полностью определяют положение

точки М на поверхности эллипсоида, если известны геодезические координаты

В и L (или другие, им эквивалентные) начала сфероидических координат А. Система координат (р, q) имеет много общего с прямоугольной системой коор­

динат на плоскости.

Возможны и другюэ системы сфероидических криволинейных координат

взависимости от выбора координатных осей и порядка счета координат р и q.

7.Пл о с кие прям о угольные к о ординаты. Практи-

чески необходимо иметь координаты пунктов геодезической сети в прямоуголь­

ной плоской системе прямолинейных координат для того, чтобы можно было

легко использовать геодезические данные при выполнении различного рода

проектных работ, при землеустройстве и т. д. Это вызывает необходимость

20

введения проекции поверхности эллипсоида на плоскость, т. е. изображения частей земной поверхности на плоскости по определенному закону.

Г а у с с а, в которой производят вычисления всех пунктов опорной геодези­

ческой сети.

§ 4. Связь между некоторыми системами координат

(4.1)

----х

Известно, что тангенс угла,

образуемого касательной к кри­

вой в данной точке с положитель­

}' равнение (4.4) дает выражение для геодезической широты 1шк функции

прямоугольных координат х, у.

Чтобы найти обратную зависимость, т. е. выразить х и у как функции гео­ дезической широты В, вспомним (2.7).

На основании (4.4) напишем

(4.5)

2f

2. С в я в ъ м е ж д у г е о д е з и ч е с .к о й щ и р о т о й В и г е о - центрической широтой Ф. Из рис. 9 легко находим выражение для геоцентрической широты в функции прямоугольных координат х и у

Найдем выражение для р а з н о с т и геодезической и геоцентрической

широт В - Ф. Из формулы (4.11) имеем:

tg В- tg Ф = е2 tg В,

22

Полученная формула еще непригодна для практического употребления, так как sin (В - Ф) выражается в функции В и Ф. Однако вследствие незначи­

тельности разности (В - Ф), не превышающей, как увидим далее, 11,8', можно в правой части уравнения (4.12) cos Ф заменить через cos В. Рассмотрим, какая погрешность будет допущена при такой замене. Для этого (4.12) перепишем

так:

sin (В- Ф) = е2 sin В cos (В- (В- Ф)].

Раскладывая cos [В - (В - Ф)l по строке Тейлора, получаем~

siп (В- Ф) = е2 sin В [cosB+ (В-Ф) sin В], sin (В-Ф) = е2 sinB cos В+ е2 (В- Ф) sin2 В.

Второй член в правой части полученного выражения представляет собой

3. С в я з ь м е ж д у г е о ц е н т р и ч е с к о й ш и р о т о й и к о -

о р д и н а т а м, и х и у, о т н е с е н н ы м и к ц е н т р у и о с я м э л -

л и п с а. В ы р а ж е н и е р а д и у с а - в е к т о р а. Обозначая радиус­

вектор ОМ через р, на основании рис. 9 напишем:

получаем

р2соs2Ф + p2sin2 Ф =- 1.

а2 а2 (1-е2)

Решаем это уравнение относительно р:

а2/~е2) [cos2 Ф(1-e2)+sin2 Ф]=1,

а2 (f~e2) (1- е2cos2 Ф)= 1,

23

Сопоставление выражений (4.19) и (4.20) дает

или

(4.21)

Для получения связи между приведенной широтой и и геодезической В·

имеем из рис. 10

24

и на основании (4.21)

но

а

Заметим, что выражения (4.22) и (4.23) являются уравнениями эллипса

впараметрической форме.

Из (4.22) и (4.23) легко получаем: выражение для приведенной широты и

через прямоугольные координаты х и у.

ха

На основании (4.9) и (4.22) можем также написать для радиуса параллели

r = acos и.

Выведем приближенную формулу разности (В- и), удобную для подсчетов

tg B-tg и= tg B-V1-e2 tg В,

25

Раскладывая (1 - е2)¼ в ряд и заменяя cos и на cos В (допуская тем самым ошибку на малую величину порядка е4), получаем окончательное выражение

26

получим

р

§ 5. Главные радиусы кривизны в данной точке эn.липсоида

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесчисленное

множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной пло­

скости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются н о р м а л ь -

лярное к меридиональному сечению точки М. Сечение первого вертикала изо­

бражено на рис. 12 кривой WME, представляющей собой также эллипс.

Обозначим через М и N радиусы кривизны меридиана и первого вертикала

соответственно. Найдем выражения для радиусов кривизны главных нормаль­

ных сечений в функции геодезической широты В. Радиус кривизны плоской кривой, выражаемой уравнением вида у = f (х), определяется формулой

{1+ (~ )Т/2

d2y

dx2

27

Применив эту формулу к меридианному эллипсу, напишем

(5.1)

(знак минус взят потому, что d2y < О) . Из (4.2) имеем

dx 2

dy

-;J;-= -ctgB.

Рассматривая В как функцию х, дифференцируем формулу еще раз по х

иполучаем

(5.2)

Из (5.3) ясно, что М возрастает при изменении В от О до 90°.

Радиус кривизны меридианного эллипса в полюсах (при В = 90°) обозна­

чим через с, тогда

28

циями геодеsической широты; они имеют бош,mое sначение в теории сфероиди­

ческой геодезии.

Заменяя в (5.3) первый эксцентриситет его выражением через полуоси

и используя обозначение (4.36), формула (5.3) для М перепишется

(5.9')

Для определения радиуса N первого вертикала заметим, что если сечение

первого вертикала WME (рис. 12) - нормальное сечение, то параллель MQS -

наклонное сечение, поскольку нормаль не лежит в плоскости этого сечения.

'Указанные два сечения в точке М имеют общую касательную. Для доказательст­ ва этого положения проведем в точке М касательную I{ параллели МТ; эта ка­ сательная, лежащая в плоскости MQSC, перпендикулярной к меридианной

плоскости МЕ 1Р 1ЕР, перпендикулярна к прямой МС, образованной пересече­

нием этих плоскостей. Таким образом, касательная МТ перпендикулярна к пло­ скости меридиана РМЕ 1Р 1 , поэтому плоскость первого вертикала будет со­ держать прямую МТ; если Мп - нормаль к поверхности эллипсоида в точке М, то угол ТМп равен 90°, следовательно, МТ будет Fасательной и к кривой EMW.

и о е и н а к л о н н о е, п р и ч е м в р а с с :м а т р и в а е м о й т о ч к е

э т и д в а с е ч е н и я и м е ю т о б щ у ю к а с а т е л ь н у ю, т о

радиус кривизны наклонного сечения равен ради­

у с у к р и в и з н ы н о р м а л ь н о г о с е ч е н и я, у м н о ж е н н о м у на :косинус угла между ПЛОСFОСТЯ:МИ этих двух

сечений.

29