()Сей будем иметь различные системы координат. которые, оставаясь сфероиди
ческими, будут иметь свои особенности. Система сфероидических координат, являясь системой криволинейных координат на поверхности эллипсоида, род
ственна системам, указанным в п. 3 и 4.
Дадим описание наиболее простой системы прямоугольных сфероидических
координат.
Примем некоторую точку А (рис. 7), геодезические координаты которой
известны, за начало координат. Меридиан, проходящий через точку А, примем за первую координатную ось - ось абсцисс. Абсциссы будем считать положи тельными для точек, лежащих севернее точки А, и отрицательными для точек, леа,ащ:их к югу от точки А. Для определения положения точки М проведем
Р, |
Р, |
Рис. 6 |
Рис. 7 |
через М нормальное сечение таким образом, чтобы оно пересекло меридиан начальной точки А под углом 90°. Пусть кривая этого нормального сечения (точнее, геодезическая линия - кривая кратчайшего расстояния на поверхности эллипсоида) изобразится на рис. 7 линией ММ1 . Тогда положение точки М
в рассматриваемой системе координат определят длины следующих двух кривых
па поверхности эллипсоида, которые и будут сфероидически:ми прямоугольными :координатами точки Л1:
АМ1=р,
MM1=q.
Эти криволинейные координаты р и q полностью определяют положение
точки М на поверхности эллипсоида, если известны геодезические координаты
В и L (или другие, им эквивалентные) начала сфероидических координат А. Система координат (р, q) имеет много общего с прямоугольной системой коор
динат на плоскости.
Возможны и другюэ системы сфероидических криволинейных координат
взависимости от выбора координатных осей и порядка счета координат р и q.
7.Пл о с кие прям о угольные к о ординаты. Практи-
чески необходимо иметь координаты пунктов геодезической сети в прямоуголь
ной плоской системе прямолинейных координат для того, чтобы можно было
легко использовать геодезические данные при выполнении различного рода
проектных работ, при землеустройстве и т. д. Это вызывает необходимость
20
введения проекции поверхности эллипсоида на плоскость, т. е. изображения частей земной поверхности на плоскости по определенному закону.
В настоящее время в СССР принята |
пр о е к ц и я |
Га у с с а - |
:Кр ю - |
гера или система прямоугольных |
плоских |
пря |
|
молинейных координат в |
I{онформной проекции |
Г а у с с а, в которой производят вычисления всех пунктов опорной геодези
ческой сети.
§ 4. Связь между некоторыми системами координат
1. Связь |
между |
геодезической |
широтой В и к о - |
||
о р д и н а т а 'м и |
х и у, |
о т н е с е н н ы ми к |
п л о с к о с т и :м:ери- |
||
диана |
определяемой |
р |
|||
т о ч к и. |
Возьмем меридианный |
||||
|
|||||
эллипс, проходящий через точну М |
|
||||
(рис. 8). Напишем уравнение этого |
|
||||
эллипса |
|
|
|
|
(4.1)
----х
Известно, что тангенс угла,
образуемого касательной к кри
вой в данной точке с положитель
ным направлением оси абсцисс, |
|
|
|
есть первая производная dy; сле- |
|
Р, |
|
dх |
|
|
|
довательно, |
|
Рис. 8 |
|
:~ = tg (90° +В)= -ctg В. |
(4.2) |
||
Выразим п~рвую производную ~~ в функции прямоугольных |
координат х, |
||
у. Дифференцируя (4.1), находим |
|
|
|
х + ydy -о |
|
||
а2 |
b2dx - |
' |
|
откуда |
|
|
|
|
ь2 |
х |
(4.3) |
|
|
|
|
Сопоставляя выражения (4.2) и (4.3), находим |
|
||
tg в |
а2 |
у |
(4.4) |
=fi2x· |
}' равнение (4.4) дает выражение для геодезической широты 1шк функции
прямоугольных координат х, у.
Чтобы найти обратную зависимость, т. е. выразить х и у как функции гео дезической широты В, вспомним (2.7).
На основании (4.4) напишем
(4.5)
2f
и |
|
|
|
|
|
|
у= х (1- е2) tg В. |
|
(4.6) |
||
Перепишем (4.1), заменив у, |
согласно уравнению (4.6), получим |
|
|||
. х2 |
+ |
x2(1-e2)2tg2B |
_ |
1• |
|
а'2 |
а2 ( 1 - е2) |
- |
|
||
Решая это уравнение относительно х, находим: |
|
||||
ха:~ {1 + (1- е2) tg2 В}= 1, |
|
||||
( |
|
'-in 2 B) |
= а2 |
|
|
х2 <(1 |
+ tg2 В)- e2 -·-·.-.-i |
|
|||
t |
|
cos 2 |
В J |
' |
|
откуда он.ончательно |
|
|
|
|
|
|
|
acos В |
|
|
(4.7) |
|
|
х-:- Vf-e2sin2B • |
|||
|
|
|
|||
Для нахождения у подставляем в уравнение (4.6) найденное значение х |
|||||
согласно (4. 7). Получим окончательно |
|
|
|
||
|
|
а (1- е2) sin В |
|
(4.8) |
|
|
|
У="""::7=====· |
|||
|
|
V1-e2 sin2 В |
|
|
|
Ив рис. 8 следует, что абсцисса точки М |
|
|
|
||
|
|
х=ОМ1 =МС |
|
|
|
в то же время является радиусом r параллели, |
nроходящей через |
точку М |
|||
и имеющей широту В. Следовательно, |
|
|
|
||
|
|
а cos В |
|
(4.9) |
|
|
r=X= |
|
|
||
|
|
-=-v"'""?=1=-=e=-=2=s=in=2=в= |
|
2. С в я в ъ м е ж д у г е о д е з и ч е с .к о й щ и р о т о й В и г е о - центрической широтой Ф. Из рис. 9 легко находим выражение для геоцентрической широты в функции прямоугольных координат х и у
у |
(4.10) |
tgФ=-. |
|
х |
|
На основании формулы (4.5) имеем |
|
у 1 |
|
tg В= s(1-e2) ' |
|
следовательно, |
(4.11) |
tg Ф = tg В (1-е2 ). |
Найдем выражение для р а з н о с т и геодезической и геоцентрической
широт В - Ф. Из формулы (4.11) имеем:
tg В- tg Ф = е2 tg В,
sin (В-Ф) = е2 t |
В |
|
|
cos |
в cos ф |
g ' |
|
sin (В - |
Ф) = е2 sin В cos Ф. |
(4.12) |
22
Полученная формула еще непригодна для практического употребления, так как sin (В - Ф) выражается в функции В и Ф. Однако вследствие незначи
тельности разности (В - Ф), не превышающей, как увидим далее, 11,8', можно в правой части уравнения (4.12) cos Ф заменить через cos В. Рассмотрим, какая погрешность будет допущена при такой замене. Для этого (4.12) перепишем
так:
sin (В- Ф) = е2 sin В cos (В- (В- Ф)].
Раскладывая cos [В - (В - Ф)l по строке Тейлора, получаем~
siп (В- Ф) = е2 sin В [cosB+ (В-Ф) sin В], sin (В-Ф) = е2 sinB cos В+ е2 (В- Ф) sin2 В.
Второй член в правой части полученного выражения представляет собой
малую величину порядка е4 (величина (В - |
|
Ф), |
согласно |
формуле |
(4.12). |
||||||||||
является малой величиной порядка е2). |
|
|
|
|
Р |
|
|
||||||||
|
Поэтому, если в правой части уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(4.12), заменим cos Ф через cos В, то пренеб |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
режем членами порядка е4 • |
С этой точностью |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin(B-Ф) = ~ e 2 sin 2В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Раскладывая sin (В - |
Ф) |
в ряд и orpa- |
Е i --------f<-----'--x-------1E1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ничиваясь первым членом, получаем при |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ближенную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(В-Ф) =- |
'1 p"e2 |
sin 2В, |
(4.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
допустив |
снова при |
этом |
погрешность по |
|
|
|
|
Р1 |
|
|
|||||
рядка е4 • |
Нетрудно |
видеть, что максималь |
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|||||||
ное |
значение |
(В - Ф)" |
будет |
при В = 45°. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В этом случае (В - |
Ф)' = 11,8'. |
|
|
|
[27, стр. 24]. |
|
|
||||||||
|
Более точная формула для (В - |
Ф) имеет вид |
|
|
|||||||||||
(в |
-Ф)" - |
р |
,,·с_е2_ |
. |
9В- |
е4 |
. 4В+ |
|
е6 |
. |
6В- |
] |
(4.14) |
||
- |
2-е2 SШ.., |
|
2 (2-е2)2 SШ |
|
3 (2-е2)3 |
SШ |
• • . |
• |
3. С в я з ь м е ж д у г е о ц е н т р и ч е с к о й ш и р о т о й и к о -
о р д и н а т а м, и х и у, о т н е с е н н ы м и к ц е н т р у и о с я м э л -
л и п с а. В ы р а ж е н и е р а д и у с а - в е к т о р а. Обозначая радиус
вектор ОМ через р, на основании рис. 9 напишем:
p=Vx2-f-y2 ; х=рсоsФ; y=psinФ. |
(4.15) |
Подставляя эти выражения в уравнение меридианного |
эллипса (4.1), |
получаем
р2соs2Ф + p2sin2 Ф =- 1.
а2 а2 (1-е2)
Решаем это уравнение относительно р:
а2/~е2) [cos2 Ф(1-e2)+sin2 Ф]=1,
а2 (f~e2) (1- е2cos2 Ф)= 1,
23
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а У1-е2 |
|
|
|
|
|
|
(4.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
P=-----:;=====- |
|
|
|
|
|
|||||||
На основании |
(4.15) |
имеем |
-V |
1 - |
е2 |
cos |
2 |
Ф • |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а -V1 -е"!. cos Ф |
; |
|
|
|
|
а -V1 - е2 sin Ф |
|
|
(4.17) |
|||||
|
|
|
Х=; |
|
|
|
|
у=-:-;::==== |
|
|
||||||||
|
|
|
|
J; 1-е!. cos2 Ф |
|
|
|
|
|
Ji1 - е2 cos2 Ф • |
|
|
|
|||||
Выражение для радиуса-вектора в функции геодезической широты опре |
||||||||||||||||||
деляется из (4.7), |
(4.8), |
(4.15), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р2 |
_ |
|
|
_ |
a 2 cos2B |
|
|
a2(1-e2)2sin2B |
|
|
|
||||||
|
-Х2 |
+У2 - 1-е2siн2н+ |
1-e2sin2 1J |
• |
|
|
|
|||||||||||
Решая это уравнение относительно р и удерживая члены с е4 , после преоб |
||||||||||||||||||
разований получаем в окончательном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
- |
|
( |
|
е2 |
. 2 |
e.i |
, . |
|
2 |
|
|
5 |
4 . 4 |
|
|
) |
. |
(4.18) |
р - |
а |
|
1- 2 |
sш |
В+ 2 |
sш |
|
В- |
8е |
sш |
В-... |
|
||||||
4. С в я з ь м е ж д у n р и в е д е н н о й m и р о т о й и и г е о д е - |
||||||||||||||||||
з и ческой m и ротой |
В. |
На рис. |
10 изображены меридианный эллипс |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
РЕ 1Р 1Е и полуокружность |
|
EQE 1 , |
необхо |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
димая для построения угла, являющегося |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
приведенной |
|
широтой |
и. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Предварительно установим связь между |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ординатами точек эллипса и окружности, име |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ющими одну |
|
и ту Жt:J |
абсциссу. Например, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
для точки М установим связь между отрез |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ками М |
2М и М2М 1 • |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Из |
|
треугольника OAf 1М2 следует, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.19) |
|
|
|
|
|
|
Поскольку точка М принадлежит мери |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дианному эллипсу, ее координаты должны |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
удовлетворять уравнению эллипса (4.1), т. е. |
||||||||||||
Р, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
(O}vJ2 ) 2 + (М2М)2 ~: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= а2• |
|
|
|
|
(4.20) |
Сопоставление выражений (4.19) и (4.20) дает
или
(4.21)
Для получения связи между приведенной широтой и и геодезической В·
имеем из рис. 10
x=acosu |
(4.22) |
24
и на основании (4.21)
но
поэтому |
|
|
ь . |
|
. |
ь |
= |
(4.23) |
|
у= а Slll U - |
|
Slll U. |
а
Заметим, что выражения (4.22) и (4.23) являются уравнениями эллипса
впараметрической форме.
Из (4.22) и (4.23) легко получаем: выражение для приведенной широты и
через прямоугольные координаты х и у.
JL = ~ tg и=V 1 - е2 tg и, |
(4.24) |
ха
|
|
|
1 |
у |
(4.25) |
|
t gи= ; -- х |
||||
Но на основании (4.5) |
1, |
1-е2 |
|
||
|
|
|
|
||
|
]!_=(1-e2)tgB, |
(4.26) |
|||
|
х |
|
|
|
|
следовательно, из (4.24) и (4.26) имеем: |
|
|
|
||
|
tg В (1- е2) = tg иV 1- е2, |
|
|||
откуда окончательно получаем искомую зависимость |
|
||||
|
tgи=V1-e2 tgB. |
(4.27) |
|||
Получим |
еще дополнительные |
зависимости, которые будут |
необходимы |
||
:в дальнейшем. |
|
|
|
|
|
Из (4.23), |
принимая во внимание (2.7) |
и (4.8), получаем |
|
||
|
. |
V1-e2sinB |
(4.28) |
||
|
SID U = ---г===== . |
||||
Из (4.27) пишем |
V1-е2 sin2 В |
|
|||
|
tg2 и |
|
|
||
|
|
_ |
|
|
|
|
tg 2 В-- (1-е2)' |
|
|||
|
_1_ = |
|
tg2u |
|
|
|
cos2 В |
1 + (1-е2) ' |
|
||
откуда |
|
V 1-е2 cos и |
|
||
|
|
(4.29) |
|||
|
cos в=--::--r=====- |
||||
|
|
V1-~e2cos2u |
|
На основании (4.9) и (4.22) можем также написать для радиуса параллели
r = acos и.
Выведем приближенную формулу разности (В- и), удобную для подсчетов
tg B-tg и= tg B-V1-e2 tg В,
sin(R-u)=t Bf1-(1-e2)1/21. |
|
cos в cos и |
g |
25
Раскладывая (1 - е2)¼ в ряд и заменяя cos и на cos В (допуская тем самым ошибку на малую величину порядка е4), получаем окончательное выражение
для (В - |
и) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(В-и)"=: p"e2 sin2B. |
|
|
|
(4.30) |
|||||||||||
Более точная формула для (В - |
и) имеет вид· |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
siп4B+ ; |
3 |
sjn6B- : 4 siп8B+ ... J, |
(4.31) |
|||||||||
|
(B-u)"=p"[nsin2B- ~ |
|
||||||||||||||
rде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а-Ь |
|
tg B-tgu |
|
|
|
|
|
|||||||
|
п = а+ Ь = tg 1J |
+tg и · |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. С в я з ь м е ж д у с и с т е м о й п р я м: о у г о л ь н ы х п р о - |
||||||||||||||||
с транс тв е н н ы х I{ о о р дин а т Х, |
У, Z |
и другим и |
с ист е - |
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
мам и. |
|
На |
рис. |
11 |
PR 1P |
1R - |
мери- |
|||
|
УtР |
|
|
|
|
дианный эллипс, в плоскости которого |
||||||||||
|
|
|
|
|
находится |
|
точка G |
начала счета |
долгот |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
в |
этой |
плоскости |
||||||
|
|
|
|
|
|
располагается |
координатная |
ось ОХ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
РЕ1 Р1 Е - |
|
меридианный эллипс, на кото |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ром расположена данная точка М и I{О |
||||||||||
х--R+-----+---;--т-::::-"71E---:-:----t------,R, |
|
|
ординатные оси Ох и Оу. Угол между |
|||||||||||||
|
|
плоскостями этих меридианных эллипсов |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
равен геодезической долготе L. На рис. 11 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х=xcosL |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
=xsin L |
|
|
(4.32) |
|
|
Р1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z=y ____ . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рис. 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=Vx2+ у2 |
|
|
|||
Далее, на основании (4.32), (4.22) и (4.23) получим: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Х = а cos и со.:; |
L |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|||||
|
У = а cos и sin L |
|
|
|
|
|
|
|
|
(/4.33) |
||||||
|
Z = Ь sin и= аV 1 - е2 |
sin и |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
На |
основании (4.32), (4. 7) |
и (4.8) |
напишем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Х |
|
|
а cos в |
|
|
|
|
L ) |
|
|
|
|
|
||
|
= |
-V1-e2siн2B COS |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
у |
|
|
а cos в |
|
|
. |
|
L |
|
|
|
|
(4.34) |
||
|
= 11 г::._:--е2 sin2 в |
sш |
J{ . |
|
|
|
||||||||||
|
Z = а (1 |
-е2) sin В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V 1-е2 sin2 В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если заменить в (4.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
2 _ |
|
а2-Ь'2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- |
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26
получим
|
az cos cos L |
|
|
Х = vaz cos2 вВ+ь2 sin2 в l |
|||
у _ |
tL2 cos В sin L |
(4.35) |
|
- |
Vа2 cos2 В+ь2 sin2 В |
||
, , |
|||
z = |
ь2 sinB |
|
|
|
-V а2 cos2 В+ ь2 sin2 В J |
||
обозначая |
|
(4.36) |
|
|
|
||
Формулы (4.35) перепишутся: |
1 |
||
|
Х = а2 cos ; cos L |
||
|
у = а2 cos В sin L |
(4.37) |
|
|
|
||
|
р |
\· |
|
|
Z = ь2 sin В |
р
§ 5. Главные радиусы кривизны в данной точке эn.липсоида
Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесчисленное
множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной пло
скости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются н о р м а л ь -
н ы ми. |
Кривые, |
образуемые |
от |
пересече |
р |
|||||
ния нормальных плоскостей, проведенных в |
|
|||||||||
данной точке, с поверхностью эллипсоида, |
|
|||||||||
называются |
н о р м а л ь н ы м и |
с е ч е - |
|
|||||||
ни ям и. |
В |
каждой точке существует два |
|
|||||||
взаимно перпендикулярных |
нормальных се |
|
||||||||
чения, |
кривизна |
|
которых имеет максималь |
Е ~-----+---<--------1[, |
||||||
ное и минимальное значения; |
эти нормаль- |
|||||||||
ные |
сечения |
|
называются |
г л а в н ы м и |
|
|||||
н о р м а л ь н ы м и с е ч е н и я м и. |
|
|||||||||
В |
некоторой |
точке М поверхности эл |
|
|||||||
липсоида вращения главными нормальными |
|
|||||||||
сечениями, как |
известно из дифференциаль |
Р1 |
||||||||
ной геометрии, являются: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
1) |
меридиональное сечение, проходящее |
Рис. 12 |
||||||||
через |
данную |
точку М и |
оба |
полюса эл |
|
|||||
липсоида Р и Р |
1 |
(на рис. 12 меридиональное сечение в точке М представляется |
||||||||
эллипсом РМЕ1 |
Р 1Е); |
|
|
проходящее через точку М и перпендику- |
||||||
2) |
сечение первого вертикала, |
лярное к меридиональному сечению точки М. Сечение первого вертикала изо
бражено на рис. 12 кривой WME, представляющей собой также эллипс.
Обозначим через М и N радиусы кривизны меридиана и первого вертикала
соответственно. Найдем выражения для радиусов кривизны главных нормаль
ных сечений в функции геодезической широты В. Радиус кривизны плоской кривой, выражаемой уравнением вида у = f (х), определяется формулой
{1+ (~ )Т/2
d2y
dx2
27
Применив эту формулу к меридианному эллипсу, напишем
(5.1)
(знак минус взят потому, что d2y < О) . Из (4.2) имеем
dx 2
dy
-;J;-= -ctgB.
Рассматривая В как функцию х, дифференцируем формулу еще раз по х
иполучаем
(5.2)
dB |
воспользуемся |
|
формулой (4. 7) |
|
|||||
Для вычисления - |
|
|
|
||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = -V |
|
а cos В |
|
= а cos В (1-е2 |
s.ш2 В)-1 1!. |
|
|||
|
1-е2 sin2 В |
|
|
|
|
|
|
||
Дифференцируя последнюю формулу, находим: |
|
|
|||||||
dx = а{- sin В (1- e2 sin2 В)-½+ е2 sin В cos 2 В (1- е2 sin 2 В)-1/2} dB, |
|||||||||
:; = аsin В(1 - е2sin 2 В)-3/ 2 { |
- |
( 1 - е2sin2 В)+е2cos2 В}, |
|||||||
:; = |
- аsin В(1-е2 sin 2 В)-1/2 (1- е2). |
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-е2 sin2 В)3 /2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
asin3B(1-e2) |
· |
|
|
||
Подставляя полученные выражения |
d |
d" |
в (5.1), |
находим |
|||||
для _Jj_ |
и 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
dx2 |
|
|
М= (1+ctg2B)3 1 2 |
asin3Л(1-e2) |
|
|
||||||
|
|
|
|
(1-е2 sin2 в/1 2 |
|
|
|
||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М= |
а(1-е2) |
|
|
(5.3) |
||
|
|
|
|
(1-e2sin2B) 310 |
|
Из (5.3) ясно, что М возрастает при изменении В от О до 90°.
Радиус кривизны меридианного эллипса в полюсах (при В = 90°) обозна
чим через с, тогда
|
__ |
|
а(1-е2) |
|
а |
|
|
|
|
||
с--· |
-'""'--::8 |
-- ·-· --- . |
|
|
|
||||||
|
|
|
(1 - |
е2) |
/ 2 |
V1-е2 |
|
|
|
||
Принимая во внимание (2. 7) и (2.5), |
находим |
|
|
|
|||||||
с= |
|
- |
а |
|
а2 |
|
V |
1+е' |
2 |
· |
|
-V |
1-- е2 |
=-=а |
|
|
(5.4) |
||||||
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
28
Обоsначив
|
W' =V1-e 2 sin2 B, |
|
|
|
|
|||
напишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
= а (1-е2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
wз |
|
|
|
|
||
Введем еще функцию |
V = V 1 + е~2 cos2 В. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Так как, согласно (2.5) |
и (2.6), |
|
|
|
|
|
|
|
• |
е2 |
|
|
е'2 |
|
|
|
|
е''" =---. |
е2=---, |
|
|
|
||||
|
1-е2 , |
|
1+е'2 |
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е'2 |
2 В |
1+е' |
2 |
cos2 |
В |
1- е2 sin2 В= 1 ---- sin |
|
|||||||
|
|
1+е'2 |
|
1+е'2 |
|
и
(5.5)
(5.6)
(5. 7)
(5.8)
или, согласно |
(5.4), |
=_i_ |
|
|
M |
(5.9) |
|
|
vз . |
||
W и V - |
соответственно называются первой и |
второй основными функ |
циями геодеsической широты; они имеют бош,mое sначение в теории сфероиди
ческой геодезии.
Заменяя в (5.3) первый эксцентриситет его выражением через полуоси
и используя обозначение (4.36), формула (5.3) для М перепишется
(5.9')
Для определения радиуса N первого вертикала заметим, что если сечение
первого вертикала WME (рис. 12) - нормальное сечение, то параллель MQS -
наклонное сечение, поскольку нормаль не лежит в плоскости этого сечения.
'Указанные два сечения в точке М имеют общую касательную. Для доказательст ва этого положения проведем в точке М касательную I{ параллели МТ; эта ка сательная, лежащая в плоскости MQSC, перпендикулярной к меридианной
плоскости МЕ 1Р 1ЕР, перпендикулярна к прямой МС, образованной пересече
нием этих плоскостей. Таким образом, касательная МТ перпендикулярна к пло скости меридиана РМЕ 1Р 1 , поэтому плоскость первого вертикала будет со держать прямую МТ; если Мп - нормаль к поверхности эллипсоида в точке М, то угол ТМп равен 90°, следовательно, МТ будет Fасательной и к кривой EMW.
Имея это в виду, воспользуемся |
теоремой: е с л и ч е р е з т о ч к у |
поверхности проведены |
два сечения - нормаль |
и о е и н а к л о н н о е, п р и ч е м в р а с с :м а т р и в а е м о й т о ч к е
э т и д в а с е ч е н и я и м е ю т о б щ у ю к а с а т е л ь н у ю, т о
радиус кривизны наклонного сечения равен ради
у с у к р и в и з н ы н о р м а л ь н о г о с е ч е н и я, у м н о ж е н н о м у на :косинус угла между ПЛОСFОСТЯ:МИ этих двух
сечений.
29