Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

rr р

D д

Таблица 9

Примечания:

1.. Коэффициент D выбирается из заранее составленных таблиц или вычисляется.

Выше приведен образец таблиц для широты, соответствующей приведенному примеру

(51 °20' -51 °25').

2.Коэффициенты ai вычисляются на арифмометре или иной счетной машине.

3.Число знаков, подлежащих удержанию, берется из приведенного примера.

110

§ 28. Теория Гаусса

1юнформного изображения эллипсоида на шаре. Применение ее к решению главной геодезической задачи

Проф. Ф. Н. Красовский в своем труде <<Руководство no высшей геодезии» rоворит: << ... теория Гаусса конформного изображения эллипсоида на шаре в свое время составила эпоху в области точных наук». "Указывая, что значение

:этой теории в геодезии в настоящее время в значительной степени утратило

Гауссовой теории». Есть основания считать эту мысль правильной и в настоящее

время.

нии к геодезии, весьма полезно

.для геодезиста; она прекрасно по­

казывает достоинство исnользова- а L --- * -- Jc

ния поверхности шара для проек­

тирования на нее поверхности эл­

липсоида с малым сжатием. При- е

рует один из основных методов решения основных задач сфероидической гео­

дезии.

-Учитывая общее значение Гауссовой теории, приводим изложение ее основ и предложенное Гауссом применение теории к решению главной геоде­

эллипсоида на шаре, при котором бесконечно малый контур на поверхности эллипсоида изображается подобным ему контуром на шаре.

В теории картографических проекций доказывается, что при произволь­

ном законе изображения эллипсоида на шаре всегда существуют два взаимно

перпендикулярных направления на эллипсоиде, которые на шаре также оста­

ются взаимно перпендикулярными. Эти два направления называются гл а в­

Rопформном изображении масштабы в каждой точке по обоим главным напра­

влениям должны быть равны. Если обозначить масштаб изображения no ме­

Введем обозначения:

В и L - широта и долгота некоторой точки на поверхности эллипсоида;

U и ro - широта и долгота изображения точки на поверхности шара.

111

~...

~~.

Вобщем случае закон изображения эллипсоида на шаре выражается

элемента на шаре.

Определим масштаб изображения по меридиану и параллели для точки А. Будем иметь:

для масштаба по меридиану

R - радиус шара.

Для того, чтобы изображение было конформным, необходимо и достаточно,

чтобы т = п. Отсюда

Но, согласно (28.3), сферическая широта U доюн.ia зависеть только от В,

112

Формулы (28.6) и (28.7) выражают закон конформного изображения эл­

липсоида на шаре.

Для использования полученных формул необходимо знать значения по­

стоянных а, k и R, входящих в формулы (28.6) и (28.7).

Постоянные можно определить различно. Для использования конформного изображения эллипсоида на шаре с целью решения геодезической задачи

постоянные целесообразно определять из условий наибольшей простоты пере­

носа элементов эллипсоида на шар и минимальных искажений в пределах

той области, в которой располагаются исходный и определяемый пункты.

В связи с этим для определения постоянных поставим условия, чтобы масштаб

изображения на некоторой широте В 0 , называемой нормальной широтой,

равнялся единице и изменение масштаба при удалении к северу и югу от парал­

лели с нормальной широтой происходило возможно медленнее.

Выполнение этих условий позволит в пределах некоторой облаети считать

масштаб изображения практичес:ют постоянным и равным единице. В этом

случае, очевидно, будет обеспечt-'!!'i :\ШЛость поправок за переход с эллипсоида пн шар и достигнута простота их вычисления и учета.

Из (28.12) следует, что радиус шара равен среднему радиусу кривизны

·эллипсоида в точке с широтой В0 •

В математической картографии, когда стоит задача изображения всего :эллипсоида на шаре, принимают L = ro, т. е. а = 1, k = 1 (что означает

.совпадение плоскостей экваторов эллипсоида и шара) и

R = а ( 1 - Тsin2 В) или R =а.

При условии (28.9) легко найдем выражение масштаба т

Вычисляя (:~~ ) , получаем в логарифмическом виде

-Н4

lg т = О.ООО ООО 01.

Отсюда можно сделать весьма важный вывод: в пределах зоны, ограничен-

чесRи масштаб можно считать равным единице при уRазанном выше условии

· выбора постоянных.

Этот вывод исчерпывающе nоRазывает выгоду использования поверхности

шара для nроеRтирования поверхности эллипсоида и малую величину исRа­

жений, обусловленную незначительностью сжатия зем­

ного эллипсоида. Р,.

ТаRим образом, если триангуляционная сеть рас­

положена на расстоянии 100-120 Rм R северу или югу

от параллели с нормальной широтой (и, Rонечно, RaR уrодно далеRо по долготе), то можно считать, что эле­

менты триангуляции на эллипсоиде переносятся на шар

беа исRажений: угловые - по Rонформности проекции,

а линейные - по малости исRажений. Этим обстоя­

тельством мы воспользуемся при выводе формул для решения геодезичесRой задачи.

ОднаRо в азимуты приходится вводить поправку,

к mapy эта nonpaвRa вводится лишь в значения направлений, Rонечные точRи

которых расположены на расстоянии более 50-70 Rм от параллели с нормаль­

я·ь1 широтой В 0 • При расположении точеR на меньших расстояниях этой по-.

При удалении пунктов триангуляции от параллели с широтой В O более,

чем: на 1° (110 Rм) следует учитывать линейные искажения.

м е н е н и е м Г а у с с о в о й т е о р и и и з о б р а ж е н и я э л л и n с о­ и да на шаре. В качестве иллюстрации применения теории Гаусса к за­

дачам высшей геодезии выведем формулы для решения прямой геодезической

задачи, которые получены в § 26. Общий ход решения задачи состоит в том, что исходные данные В 1 , L 1 , А 1 2 , s, отнесенные к поверхности эллипсоида, переносятся на шар по закону конформного изображения эллипсоида на шаре.

.Задача решается на поверхности шара, в результате чего определяются широта, разность долгот и обратный азимут на шаре. В соответствии с тем же законом изображения осуществляется обратный переход с шара на эллипсоид, в ре­ зультате которого и определяются искомые величины: широта В 2 , разность долгот l и обратный азимут А 2 • i-

. Задачу можно решать двумя способами: 1) путем перехода от числовых

_значений исходной широты, азимута и длины стороны на эллипсоиде к соот­ ветственным числовым значениям этих же величин на шаре, решения сфери­ ческого треугольника с числовыми данными и обратного перехода с шара на

_эллипсоид также с числовыми данными; 2) переход с эллипсоида на шар,

решение сферического треугольника на шаре и обратный переход с шара на эллипсоид осуществляют в процессе вывода формул в общем виде, а не с число­ выми данными задачи. В этом случае шар используется как промежуточная поверхность при выводе формул, выражающих искомые разности широт, долгот и азимутов. Элементы сферического треугольника, которые появляются в про­ цессе вывода формул, исключаются, и окончательные формулы выражают

зависимость между данными и искомыми величинами на эллипсоиде.

Первый способ вследствие громоздкости на практике не применяется. Второй способ довольно часто находит применение, поэтому ниже он изложен

,с необходимой подробностью. При выводе формул будем иметь в виду их при­

менение для вычисления координат по сторонам треугольников триангуляции,

,т. е. для расстояний, не превышающих 50 км.

Вывод формул для второго способа, данный Гауссом, основан на разложении в ряды искомых величин. Приведем вывод этих формул,

предложенный проф. Ф. Н. Красовским. Этот вывод основан на геометрическом

подходе; он прост и в то же :время отчетливо показывает достоинства исполь­

зования конформного изображения эллипсоида на шаре для решения геоде­

,зической задачи.

J16

При выводе будем следовать указанному выше общему порядку решения

.задачи.

1. П е р е х о д о т и с х о дн ы х д а н н ы х н а э л ли n с о и д е

-бражение на шаре точки С. Проведем параллель через точку С, и пусть точки

.Е и F - пересечение параллели с меридианами АР и ВР. Так как параллели

lС O в ы. Вследствие разницы в кривизне меридиана точка Н будет находиться

11а разных линейных расстояниях от точек А и D.

Найдем разность широт точек Н и Е, т. е. Вт - В 0 •

Напишем

rде

111

шаре к дуге большого круга при настоящем выборе нормальной широты и при s ~ 60 км будет пренебрегаемо мала.

Таким образом, при расстоянии s между пунктами А и В, не превышающем

40 км, и указанном выборе нормальной параллели два элемента треугольника

Р,

А

без заметных искажений. При этом за нормальную широту на эллипсоиде для стороны АВ следует принять

Вт= B1tB2

Сферический треугольник А 1В 1Р 1 решают по особым формулам, в которых

в качестве третьего исходного элемента участвует U O = И~!И2 • Зависимость

118

между U O и соответствующей широтой В O (или, как показано выше, широтой

Вт= Bi tв2 ) определяется на основании (28.10)

Формулы (28.20) с принятыми обозначениями примут вид:

••,