Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Применим к выражению (7.17) наиболее простую и достаточно точную фор­

мулу Симпсона (формулу парабол), разделив при этом интервал интегрирования

на две части; тогда можно записать:

(7 .18)

В формуле (7 .18) радиус кривизны М определяется в трех точках искомой

длины дуги меридиана с ошибкой порядка 1-2 см.

Для контроля вычислений дугу меридиана s следует получить как разность

40

§ 8. Вычисление длины дуги паралле.n:и

Параллель на эллипсоиде вращения является окружностью, поэтому вычи­

сление дуги параллели сводится к определению дуги окружности с центральным

углом, равным разности долгот конечных точек дуги. Радиус параллели r определяется по формуле (4.9), которая имеет вид

р~

Отсюда легко получаем разность долгот двух точек параллели под широтой

В, расположенных на расстоянии s',

В табл. 3 приведены для справок длины дуг параллелей для широт от 30

до 70° на эллипсоиде Rрасовского.

Таблица 3

Длина дуги параллели в м

Пр им ер. Вычислить длину дуги параллели между точками, лежащими

на этой параллели, если даны разность долгот этих точек и широта параллели*:

l = 0° 45' 46,882", В= 54° 32' 19,354".

Решение проверить по контрольной формуле sP = Ь 1l ", используя <<Таблицы для вычисления плоских конформных координат ГaycCfi в пределах широт

ОТ 30° ДО 80°>}.

Схема решения:

0° 45' 46,882"

в54°32' 19,354"

* Пример взят из [10, стр. 18-'-19].

41

:Контроль по таблицам:

Для вычисления интеграла (9.3) разложим подынтегральную функцию

в биноминальный ряд *.

* Интеграл (9.3) берется в конечном виде. Положив е sin В = six 0, будем иметь

d0

е cos В dB = cos 0d0. После подстановки (9.3) примет вид z = 2nb2 S--а-· Rак известно, cos C'J

это табличный интеграл и берется в элементарных функциях. Однако получаемое при этом выражение для площади мало пригодно для вычислений.

42

Следовательно,

Для приведения этой формулы к виду, удобному для практического при­ менения, воспользуемся формулами, дающими выражения синусов нечетных степеней в функции синусов нечетных дуг *.

При разложении выражения (9.4) в ряд члены с е 6 , е8 и т. д. не были при­

няты во внимание. Более точная формула для площади пояса с учетом членов

с е6 и е8 будет имеет вид

Z= 4пь2 {л· sin в2 -:;в1 соsВт-в~ sin; (B2-B1)cos3Bm+c~sin ~ х

43

Площадь поверхности эллипсоида Красовского, вычисленная по формуле

(9.11), будет равна 510 083 035 км2 •

Радиус шара R~л, площадь которого равна площади эллипсоида Красов­

ского, равен 6 371116 м, а радиус шара, равновеликого по объему эллипсоиду

Красовского, равен 6 371 110 м.

Следовательно, при приближенных вычислениях, когда Землю возможно принимать за шар, его радиус следует брать равным 6371 км.

§ 10. Расчет рамок съемочных трапеций

Полученные в предыдущих параrрафах формулы позволяют легко вывести

выражения для размеров рамок съемочных трапеций.

граничных меридианов трапеции Лl. Очевидно, западные и восточные рамки

трапеции равны и представляют собой дуги меридианов между параллелями

с широтами В1 и В2• Поэтому

44

46

е, плоскостью нормального сечения из точки А на В по хорде АВ, но на поверх­ ности эллипсоида даст другую кривую ВЬА, не совпадающую с кривой АаВ. Таким образом, нормальное сечение АаВ из точки А на точку В не совпадает на поверхности эллипсоида с нормальным сечением ВЬА из точки В на точку А. Эти две кривые А аВ и ВЬА называются в з а и м н о о б р а т н ы м и н о р -

мал ь н ы ми сечен и ям и. Следовательно, между двумя точками на эллипсоиде А и В проходят два нормальных сечения: АаВ, которое называется

прямым нормальным сечением для точки А и обратным нормальным сечением

для точки В, и ВЬА, которое будет прямым нормальным сечением для точки В

и обратным для точки А.

р

Представим себе, что в точке А установлен выверенный теодолит таким образом, что его вер­

тикальная ось совпадает с нормалью Апа; тогда

в

А,

о

с

А

с

при наведении на точку В визирная плоскость совпадет с плоскостью, прохо­

дящей через точки А, па, В, или с плоскостью прямого нормального сече­

ния из А на В, и ее пересечение с поверхностью эллипсоида даст кривую А аВ.

При наблюдении из точки В на точку А визирная плоскость теодолита пе­

ресечет поверхность эллипсоида по кривой В ЬА, не совпадающей, как было

установлено выше, с кривой АаВ.

Пусть из точки А при помощи теодолита наблюдают, кроме точки В, еще точку С (рис. 18); в этом случае визирная плоскость инструмента пересечет поверхность эллипсоида по некоторой кривой АаС, которая будет прямым нор­ мальным сечением из точки А на точку С. Измеренный горизонтальный угол в точке А между направлениями на В и С будет мерой двугранного угла ВА Спа между нормальными плоскостями в А, проходящими через точки В и С. На

поверхности эллипсоида этому углу соответствует угол между прямыми нор­

мальными сечениями из точки А на точки В и С. Следовательно, измеряемые

в триангуляции углы треугольников на поверхности эллипсоида являются

углами между прямыми нормальными сечениями в данной точке.

Пусть на рис. 19 изображены пункты триангуляции А, В и С, между кото­ рыми проведены прямые и обратные нормальные сечения. Измеренные гори­

зонтальные углы на пунктах А, В и С будут равны углам между касательными

,в соответствующих вершинах к кривым:

вточке А к кривым АаС и АаВ,

47

1

48

п о в е р х н о с т и - т а к а я к р и в а я, в к а ж д о й т о ч к е к о т о - . рой главная нормаль совпадает с нормалью к по-

в ~ р хн о ст и.

Из определения геодезической линии и понятия соприкасающейся пло-

скости можно себе представить следующий геометрический метод построения

ности эллипсоида точку а, близ­

кую к А. Перенесем теодолит в

точку а, совместим вертикальную

ось инструмента с нормалью an 2 ,

направим: трубу на точку А, по­

вернем алидаду точно на 180° и

р

отметим на поверхности эллипсоида близкую к а точку Ь. Затем перенесем тео~­

долит в точку Ь, установим его вертикальную ось по нормали Ьп3, наведем·

трубу на точку а, переведем алидадную часть теодолита точно на 180° и наме­

тим в плоскости трубы точку с, близкую к Ь. Поступая таким образом до тех

пор, пока расстояние между начальной точкой А и соответствующей точкой i не·

сделается равным заданному, и предполагая, что указанные выше перестановки теодолита производились через бесконечно малые расстояния, получаем на эл-

липсоиде г е о д е з и ч е с к у ю линию.

Действительно, плоскость АаЬп2 будет, во-первых, соприкасающейся пло-

скостью полученной кривой в точке а, так как в этой плоскости лежат·

отрезки аА и аЬ, которые можно рассматривать как касательные к кривой

в точке а; во-вторых, в этой плоскости лежит и нормаль ап2; то же самое будет

и в точках Ь, с, d и т. д. Следовательно, условия, определяющие геодезическую·

крю~ую, соблюдены; нормаль к поверхности лежит в соприкасающейся п.ттосRости

4 П. С. Закатов