Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Глава V

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

§ 33. Дифференциальные формулы первого рода

После обработки триангуляции и вычисления геодезических координат пунктов может оказаться, что начальные данные (длина и азимут исход­

ной стороны, координаты начального пункта), принятые при обработке, под­ лежат небольшим изменениям. Это, естественно, вызывает необходимость испра­

вления всех вычисленных широт, долгот и азимутов триангуляции. :Конечно,

можно заново решить треугольники и вычислить широты, долготы и азимуты

р

на основе новых исходных данных, однако проще исправить координаты пунк­

тов путем вычисления поправок к ним.

Формулы, выражающие поправки геодезических координат пунктов и ази-· мутов направлений за изменение начальных данных триан­ гуляции, называются д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и ф о р м у л а м и п е р­

в ого род а.

Бывают случаи, когда необходимо изменить параметры принятого рефе­

ренц-эллипсоида. Это может случиться при использовании старых триангу­

ляций, которые относились в России к эллипсоидам Вальбека, :Кларка, Бесселя,

тогда как в настоящее время в СССР принят эллипсоид :Красовского. :Кроме того, в связи с переходом к эллипсоиду :Красовского возникает необходимость

перевычисления координат пунктов на этот эллипсоид, так как в старых ката­

логах приведены координаты пунктов, вычисленные с использованием пара­

метров эллипсоида Бесселя, который был принят в геодезических работах

СССР до 1942 г. :Конечно, координаты, отнесенные к новому эллипсоиду, могут

быть получены путем перевычисления координат пунктов с использованием новых значений параметров референц-эллипсоида. Однако и в этом случае проще

получить новые координаты пунктов путем вычисления и введения поправок

за изменение параметров эллипсоида.

Формулы, выражающие поправки геодезических координат з а и з м е -

150

Выведем дифференциальные формулы первого рода.

Пусть в результате ранее выполненных вычислений получены геодезические

координаты конечных точек стороны триангуляции АВ (см. рис. 62), ее длина,

:прямой и обратный азимуты.

чивать геодезическую линию БА вокруг точки В до тех пор, пока она не пройдет через точку А'. Точка А переместится в положение А {. Перемещаем точку А {

(в положение А', сохраняя при этом длину линии АВ, равной s. Тогда точка В

переместится в положение В~ и, очевидно, А'В~ = s. Будем поворачивать ли­

вию А'В' вокруг точки А' до тех пор, пока ее азимут не сделается равщ,1м А 1 2 ;

при этом В{ переместится в положение В'. Очевидно, разность широт точек·в

и. В' получится

т. е. это будет часть поправки dB 2 , обусловленная изменением широты точки А

ва величину dB 1 .

Из рис. 63 имеем:

вв~ = А1А' = М1 dB1 cos А1, 2,

АА~ =М1 dB1 sinA 1 • 2·

Применяя формулы для решения прямой геодезической задачи, получаем

разность широт точек В{ и В

М1 dB1 cos А1. 2 cos А2• 1

М2

151

152

на величину ВВ 1 = ds, причем широта начальной точки и азимут линии АВ

остались без изменения. Таким образом, dB~ - изменение широты точки В,

обусловленное изменением в длине геодезической линии АВ на ds, равно раз­

ности широт точек В и В 1 .

..р

153

Рассуждая та:к же в отношении долготы второй точ:ки и обратного азимута,

линия АВ располагалась на плоскости, то, очевидно, :кривая малой длины

Для определения приведенной длины геодезической линии, учитывая близость земного эллипсоида :к шару и небольшую величину дифференциальных поправок, примем эллипсоид за сферу с радиусом, равным среднему радиусу

кривизны.

Тогда, рассматривая треугольник АВВ 1 как сферический и выражая его стороны в угловой мере, находим

154

Рассуждая аналогично этомуI находим

нения начального азимута.

На рис. 68 через В обозначено положение конечной точки линии с азиму­

этом различием между R и N, и положим во втором члене, что R sin; =s;

тогда получим окончательно

(33.23)

f55

Таким образом, на основании формулы (33.1) дифференциальные формулы

первого рода в окончательном виде примут вид:

Эти формулы пригодны для расстояний до 200-250 км.

Точные формулы, справедливые для любых значений s, имеют вид*.

ргде

Для топографических и картографических целей,

когда расстояния не превышают 40-50 км, а поправкю

Акоординат достаточно иметь с точностью 0,001-0,002",

формулы (33.24) можно упростить. Пренебрежем сфе­

* См. [44, стр. 278].

156

2. Аналогично предыдущему, учитывая формулу (.33.18), получаем

Построим сферический треугольник АВР (рис. 69) и на меридиане точки А выберем точку С, как это делалось при выводе формул для решения прямой геодезической задачи.

Обозначим l = а. Из треугольника АВС имеем

с

а= S.Ш А1. 2 '

из треугольника СВР получим sin с = eos В2 sin Z или с = cos В 2 sin Z. Имея

ввиду последние выражения, можем написать:

Придерживаясь принятых обозначений и по-прежнему пренебрегая сфе­

роидичностью Земли, получаем

йли

157

~ледовательно, окончательно

(33.32)

Выражения ав;, dL1 и dA~. 1 остаются такими же, как и в формулах (33.24).

Сделав все эти преобразования, получим дифференциальные формулы первого

Для нелогарифмического вычисления поправок формулы (33.33) перепи­

-О,03234" sin А2• 1 tg В2ds

·где принято с подстановкой приближенных числовых значений:

и dB 1 в несколько секунд погрешности, обусловленные приближенностью фор­

мул, могут достигать величины порядка О,001~'. Формулами (33.33) следует

пользоваться лишь при вычислении координат пунктов как опорных для съемок.

R дифференциальным формулам I рода следует отнести формулы, служащие для решения обратной, по сравнению с рассмотренной, задачи: определить

·i.58

изменения длины геодезической линии s, прямого и обратного азимутов ее

'.А 1 • 2 и А 2 . 1 , вызванные изменением координат конечных точек данной линииt

т. е. В 1, L 1, В 2, L 2 на dB 1, dL 1, dB 2 и dL 2.

Искомые формулы получаются путем алгебраических преобразований полученных выше дифференциальных формул.

Опуская вывод, приведем вывод формул в окончательном виде*:

Написанные формулы соответствуют случаю, когда изменились координаты

второй точки, т. е. В 2 , L 2 • Если изменить индексы <<1» на <<2>>, то формулы будут

справедливы для случая, когда изменяются координаты первой точки, т. е.

В1, L1.

При одновременном изменении координат точек 1 и 2 формулы примут вид

р" ds = -М1 cos А 1. 2 dB1- М2 cos А2• 1 dB2 - r2 sin А2• 1 (dL 2 -dL 1 ) )

r;це r - радиус параллели под данной широтой.

;,1;,

!(:

§ 34. Дифференциальные формулы второго рода

J,:j

•• ,., Пусть некоторая триангуляция вычислена на поверхности эллипсоида,­

1

~~з:меры которого определяются большой полуосью а1 и сжатием а.1 (или экс­ центриситетом е1). Rак известно из гл. IV, геодезические координаты пунктов lРИангуляции вычисляют путем последовательной передачи разностей коор­

~ат смежных пунктов. При вычислении разностей координат используют

8~11,?Вные геодезические величины (1), (2), которые являются функциями боль­

р,хои полуоси, эксцентриситета эллипсоида и широты. Если возникает задача

~еревычисления триангуляции u на поверхность нового эллипсоида, размеры

~~торого определяются большои полуосью а2 и сжатием а.2 (или е2), то, оче­ JИдио, изменение размеров эллипсоида вызывает изменение разностей коор­

-риат. Отсюда следует, что вывод формул для поправок за изменение парамет­

ров эллипсоида должен заключаться в нахождении формул для поправок в раз­

~-с()tти координат пунктов ходовой линии, по которой вычислялись координаты.

~ормулы этих поправок легко найдутся путем дифференцирования главных

Членов известных выражений для разностей широт, долгот и азимутов.

• См. [2, стр. 235, 236].

159'