Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Поэтому

даV/ = 34 n/б (а- х).

Дифференцируя еще раз по х, получаем

Так как правая часть полученного выражения не зависит от х, то по ана­

логии можем написать

Теперь, принимая во внимание (57.9) и (57.10), находим искомое уравне-·

ние Пуассона

(57.14)

где под б следует понимать плотность тела в малой окрестности вокруг притя­ гиваемой точки. Если в исследуемой точке нет притягивающих масс, т. е.

б = О, уравнение Пуассона обращается в уравнение Лапласа. Иначе говоряt

уравнение Лапласа можно рассматривать как частный случай уравнения

Пуассона, когда б = О.

"Уравнения Лапласа и Пуассона являются фундаментальными в теории

потенциала.

Определение внешнего потенциала Земли и изучение ее фигуры основы­ ваются на интегрировании уравнения Лапласа при дополнительных условиях, вытекающих из существа конкретной задачи.

Функции, непрерывные во всех точках данной области вместе с их первыми

и вторыми производными и удовлетворяющие уравнению Лапласа (57.6),

называются г а р м о н и ч е с к и м и ф у н к ц и я м и в этой области.

Потенциал притяжения для точек в области, не занятой притягивающими

массами, будет всегда гармонической функцией; иначе говоря, в любой точке пространства вне притягивающего тела потенциальная функция V всегда будет удовлетворять уравнению Лапласа Л 2V = О.

В каждой точке внутри притягивающего тела потенциал силы притяже­

ния будет удовлетворять уравнению Пуассона

Л2V= -4nfб.

Если первые производные от потенциала по осям координат представляют

собой проекции силы на соответствующие оси или, иначе говоря, определяют направление нормали к данной уровенной поверхности, то вторые производ­ ные потенциала притяжения определяют форму или кривизну уровенной по­ верхности в данной точке.

Из уравнения Пуассона следует, что если плотность имеет скачкообразное

изменение, то и кривизна уровенной поверхности изменяется скачком; это

бывает, в частности, в том случае, если данная уровенная поверхность пере­ секает физическую поверхность тела.

250

§ 58. Потенциал силы тяжести, его основные свойства

Напишем известное выражение для силы тяжести

Потенциал силы притяжения найден в § 53; для получения силы тяжести

найдем потенциал центробежной силы Q. Центробежная сила при т = 1 выра­

жается уравнением

у

Если во взятой системе прямоугольных коор­

Определяя из (58.1) значения cos а и cos ~ и подставляя их в (58.2) и (58.3),

получаем составляющие центробежной силы:

(58.4)

Эти составляющие являются частными производными по прямоугольным

ноординатам функции

(58.5)

которая, следовательно, является потенциальной функцией цен -

т р о б .е ж н о й с и л ы. Действительно:

(58.6)

25t

Далее, проекция силы тяжести на оси координат будет:

т. е. п р о и з в о д н а я п о т е н ц и а л а с и л ы т я ж е е т и п 0 л ю -

б о м у н а п р а в л е н и ю р а в н а п р о е к ц и и с и л ы н а э т о н а­

пр а в лен и е.

2. На основании (55.12) при cos (g, s) = О, т. е. при перемещении матери­

альной точки в направлении, перпендикулярном силе тяжести, будем иметь

Полученное выражение (58.13) является общим уравнением уровенных

поверхностей силы тяжести. В каждой точке такой поверхности с и л а т я ж е -

~52

с т и н а п р а в л е н а п о н о р м а л и к э т о й п о в е р х н о с т и, а с о с т а в л я ю щ и е с и л ы т я ж е с т и п о к а с а т е л ь н о й к п о­

в е р х н о с т и в л ю б о й т о ч к е р а в н ы н у л ю.

Поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой уро­

сила тяжести по касательной к которой в любой точке и в любом направлении

равна нулю.

Меняя в (58.13) значение С, получаем разные уровенные поверхности.

"У р о в е н н а я п о в е р х н о с т ь, с о в п а д а ю щ а я с н е в о з - м у щ е н н о й п о в е р х н о с т ь ю о к е а н о в, н а з ы в а е т с я п о -

в е р х н о с т ь ю r е о и д а.

s) = -1, т. е. когда перемещение точки происходит в направлении, противо­

положном направлению силы тяжести, а dh представляет собой расстояния

между уровенными поверхностями W и W + dW .

.Последнее уравнение из (58.14) показывает, что расстояния между двумя

близкими уровенными поверхностями не равны в разных точках, а обратн0

пропорциональны силе тяжести, действующей в этих точках. На полюсе, где

сила тяжести имеет максимальное значение, уровенш!rе поверхности сближа­

ются, а на экваторе расходятся.

Из последних уравнений также следует, что dh - величина одного по­ рядка с dW и ни при каких условиях dh не может обратиться в нуль, если dW =J= О (так I{ак g - конечная величина), поэтому уровенные поверхности

между собой не пересекаются.

Из тех же формул следует, что уровенные поверхности не <шараллельны» между собой.

Непараллельность уровенных поверхностей влияет на определение высот

точек земной поверхности, получаемых из геометрического нивелирования.

Интегрируя второе из уравнений (58.14), получаем

rде под dh можно понимать измеренное превышение, определяемое как раз­ ность отсчетов по задней и передней рейкам с одной установки нивелира.

Если это суммирование превышений исполнено между некоторыми двумя точками физической земной поверхности А и В (рис. 112), расположенными

иа конечном расстоянии и на разных уровенных поверхностях, то будем иметь

g

rде g - некоторое значение силы тяжести:

Нв - НА = ЛН - превышение точки В над точкой А.

25[

Разность потенциалов W л - W в постоянна. Отсюда следует, что раз­ ность высот точек А и В будет получать различные значения при разном вы­

боре величины g.

Из (58.16) следует, что разность потенциалов может быть определена из

данных нивелирования при условии измерения силы тяжести вдоль линии ниве­

лирования.

Если принять, что точка А находится на уровне, на котором значение

потенциала силы тяжести равно W 0 , то

Из (58.18) следует, что, зная значение потенциала силы тяжести в исход­

ном пункте, можно получить из результатов нивелирования значение потен­

циала для любой точки земной поверхности. При этом, учитывая современную

высокую точность нивелирования и измерений силы тяжести, ошибка опреде­

ления потенциала W в будет зависеть от ошибки, с которой известна постоян­ ная W 0 • Заметим также, что разность потенциалов W л - W в, при вычислении ее по формуле (58.16), не зависит от пути нивелирования.

[',

1 ,, Рис. 112

Непараллельность уровенных поверхностей можно доказать, не прибегая к общей теории потенциала.

Рассмотрим две уровенные поверхности аЬ и а1Ь 1 (см. рис. 112) и допустим,

что они весьма близки одна к другой. Ускорение силы тяжести в точках а и Ь обозначим через g 1 и g 2 , а отрезки нормали к уровенной поверхности аа1 и ЬЬ1

- через Лh1 и Лh2• Из механики известно, что материальная точка, переме­ щаясь из одной уровенной поверхности на другую, производит механическую

работу, выражаемую произведением gh, причем эта работа не зависит от пути перемещения, а только от положения конечных точек. Следовательно, мате-

254

риальная точка, перемещаясь по нормали аа1 и ЬЬ 1 произведет одинаковую работу. Поэтому можно написать равенство

g1 Лh1 = g2 Лh2.

Так как в разных точках ускорения силы тяжести в общем случае раз­

личны, то для сохранения написанного равенства должно быть Лh1 =t== Лh2,

что и определяет непараллельность уровенных поверхностей.

4.Фигура Земли, определяемая в общем виде уравнением W = V + U =

=С, зависит главным образом от силы притяжения, так как влияние центро­ бежной силы мало. Действительно, взяв наибольшее значение центробежно:й­

силы, которое она достигает на экваторе ro 2a, вычислим отношение

Следовательно, величина q одного порядка со сжатием Земли а.

При последующих выводах формул величины а и q будут приниматься малыми величинами первого порядка. Если удерживать члены только с сх. или q и пренебрегать членами с а.2 и q2 , то будем допускать ошибку порядка

( 3~0 )'= 0,00001.

Такая точность формул даст ошибку в ускорении силы тяжести около

10 мгл. Поскольку ускорение силы тяжести вычисляют с ошибкой до сотых

частей миллиrала, то в соответствующих формулах необходимо удерживать величины до второго порядка малости включительно, т. е. до а.2 или q2 •

Величина центробежной силы и ее направление, как и закон ее изменения

на земной поверхности, хорошо известны. Отметим, что центробежная сила

действует только на материальные точки, жестко связанные с телом Земли.

Если не принимать во внимание атмосферу, вращающуюся вместе с Землей,

то можно сказать, что для точек, не связанных с Землей, центробежная сила равна нулю, а сила тяжести обращается в силу притяжения. В действитель­ ности, атмосфера в пределах некоторого расстояния от З мли будет передавать на материальные тела действие центробежной силы.

5. Найдем оператор Лапласа для потенциала силы тяжести. Для этого

предварительно определим оператор Лапласа для центробежной силы. Напишем вторые производные из (58.6):

Тогда

(58.23)

Оператор Лапласа для потенциала силы тяжести тогда выразится фор­

мулами:

для внашней точки

(58.24)

255

для внутренней точки

кривизну уровенной поверхности, и там, где плотность меняется скачкообразно, кривизна уровенной поверхности также претерпевает скачкообразные изме­ нения. Этот вывод имеет важное значение для изучения фигуры геоида. Его поверхность пересекает массы разной плотности; в этих местах кривизна по­ верхности геоида также меняется скачкообразно. Резкие изменения плотностей

происходят и на самих материках в зависимости от структуры и состава зем­

ной коры и формы земной поверхности. В этом случае они вызывают скачкп­ образные изменения кривизны геоида.

Кривизна гео:~ла меняется скачком прежде всего на берегах морей и океа­

нов, а также там,' где геоид пересекает горные породы разной плотности. Вместе с тем все уровенные поверхности и геоид, как одна из этих поверх­

ностей нигде не терпят никаких разрывов; это вытекает из непрерывности

потенциала силя тяжести.

6. Первые производные потенциала силы тяжести так же, как и сила при­ тяжения, всюду непрерывны. Поскольку первые производные определяют

направление векторов силы, т. е. силовых линий, то и последние также не­

прерывны.

§ 59. Теорема Клеро

Клеро дал вывод своей теоремы, основываясь на исследованиях фигур

равновесия тел с неоднородной массой. При этом он предположил, что Земля

по форме - эллипсоид вращения с малым сжатием, состоящий внутри из

эллипсоидальных слоев, имеющих общий центр и совпадающие главные оси инерции; каждый слой однороден по плотности, но закон изменения плотностей

при переходе от слоя к слою произволен.

Приведем один из выводов теоремы Клеро, основанный на теории потен­

циала и, в частности, на использовании выражения для потенциала силы тя­

жести в виде ряда.

Напишем на основании (54.25)

:экватора, обусловливающая различие С от А и В.

256