Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

В практике для численного интегрирования аномалий внутри пятикило­ метровой зоны или на окружности радиуса 5 км наносят восемь точек через равные интервалы. Определяют для каждой точки Лg и cos а, используя па-

t

N

24

/2

5

А

Рис. 126

тетку No 1, на которой 'указанные восемь пунктов обозначены точками на вну­ тренней окружности. Формула для вычислений имеет вид

k=l

300

отвесной линии в меридиане, обусловленные аномалиями в зонах от О до 100 км, от 100 до 300 км и от 300 до 1000 км, то для вычисления гравиметрических

уклонений ;гр и 11 гр отвесных линий получим формулы:

4.Вычисление поправок аа влияние аномалий дмьних аон

иаа переход к системе геодезических координат

Для вычисления названных поправок, учитываемых суммарно, необхо­ димо на территории участка или вблизи него иметь астрономические пункты, еовмещенные с геодезическими. Рассмотрим способ вычисления этих поправок

6уется определить уклонения отвесных линий, имеются

.дапъних зон и несовпадением референц-эллипсоида с общим земным эллипсо­ идом, т. ·е. разности

будут поправками за влияние дальних зон и за переход к системе геодезических

координат в точках Ми N. Выше указывалось, что в пределах сравнительно

иеболъmого района эти поправки могут считаться изменяющимися линейно.

30{

Для точки С, находящейся. на том же :меридиане между пунктами М и N, по­ правку Л ~с вычисляют по формуле

(66.38)

rде s - расстояние между пунктами М и N; s1 - расстояние между Ми С.

Аналогично этому получается и Лri с.

В общем случае, когда на территории участка имеется несколько (п) совме­

щенных астрономических и геодезических пунктов, задача вычисления попра­

вок Л ; и Лri решается следующим образом.

Для каждого такого пункта составляют уравнения погрешностей вида

(66.39}

где <pj и лj - астрономические широта и долгота совмещенного астро­

номо-геодезического пункта с номером i;

Xi, у 1, z1 , х2, у2, z 2 - интерполяционные коэффициенты.

По трем пунктам можно составить шесть уравнений вида ~66.39), которые необходимы для определения коэффициентов. Обычно стремятся иметь более

трех пунктов, и вывод интерполяционных коэффициентов производят, применяя способ наименьших квадратов.

После определения интерполяционных коэффициентов х, у и z искомую

поправку для точки k с координатами (J)k и Лk найдем по формулам:

лs1=z1+x1cpf+Y1Ч}

Наиболее удобное размещение совмещенных астрономо-геодезических пунк­

тов - расположение их в вершинах многоугольника, внутри которого нахо -

дится участок. Не рекомендуется использовать такие пункты, которые рас­

положены на расстоянии более 500 км.

Избыточное (более трех) число астрономо-геодезических пунктов исполь­

зуется и для оценки точности вывода Л ~ и Лri.

Вычислив для каждого астрономо-геодезического пункта, согласно (66.40)r

31)2

..., ;, "'

Пользуясь уравнением (67.11), можно перейти от астрономических азиму­

тов к геодезическим.

В триангуляции 1 класса астрономические определения азимута выпол­ няют на пунктах выходных сторон базисных сетей. Зенитные расстояния по, выходным сторонам в большинстве случаев весьма близки к 90°; поэтому в пра­ вой части уравнения (67.11) значение tg z достаточно велико (не менее 150-

200) по сравнению с числителем, равным нескольким секундам, т. е. значение­

этого второго члена обычно не превосходит 0,02-0,03". Следовательно, вторым членом в уравнении (67.11) можно пренебречь. Тогда уравнение (67.11) при­

мет вид:

Ат= ат-(л- L) sin ер ) •

(67.'12)

Ат= ат-'УJ tg ер

Последнее уравнение называется уравнением Лаплас а. Геоде­

зический азимут, вычисленный по формуле (67.12), называется азимутом

Лаплас а.

Та~шм образом, р а з н о с т ь а с т р о н о м и ч е с к о г о и г е о д е -

зического азимутов некоторого направления в дан­

ной точке равна разности астрономической и гео­ д е з и ч е с к о й д о л г о т, у м н о ж е н н о й н а с и н у с m и р о т ы этой точки.

Возвратимся к уравнению (67.11). В правую часть этого уравнения входят

два поправочных члена:

(л- L) sin ер и '11cos Ат-; sin Ат tg z

Первый главный член постоянен в данной точке, так как он зависит только от координат и не зависит от направления. Этот член выражает собой влияние на азимут направления несовпадения плоскостей астрономичесного и геодези­ ческого меридианов. Второй член уравнения выражает влияние на измеренное

направление несовпадения вертикальной оси инструмента с нормалью к поверх­

ности эллипсоида. Поэтому его можно рассматривать как поправку за уклоне­

ние вертикальной оси инструмента от нормали I{ поверхности принятого рефе­

ренц-эллипсоида, которую следует вносить в измеряемые горизонтальные

направления. Иначе говоря, второй член можно рассматривать как редукцию измеренных горизонтальных направлений за переход к референц-эллипсоиду·

304

Докажем, что Лапласовы азимуты, полученные в различных пунктах

'триангуляции, можно практически считать независимыми. Представим себе r"sвено триангуляции 1 класса, на обоих концах которого опредсjlены Лапласовы

азимуты. Из формул (67.12) следует~ что ошибка Лапласова азимута та зави­

сит от ошибок определения астрономического азимута та., астрономической долготы т'А и геодезической долготы mL. Обычно в триангуляции 1 класса

та.= ±0,5"; тt = ±О,035 или т,. = ±0,45". Для определения mL исходим

из оmибон передачи геодезических нuординат по ряду, так как долготы опре­ деляют последовательным вычислением координат вдоль ряда. Вспомним, что

продольный и поперечный сдвиги в звене триангуляции 1 класса характери­ зуются в линейной мере величиной порядка 0,7 м. Соответствующая ошибка

в долготе, вырюненная в секундах дуги, будет равна для средних широт 0,04";

таким образом:, mr, D !\есять раз меньше ошибок та и тл, поэтому можно напи­

сать

Эвачения астрономического азимута а и долготы 'А на разных пунктах независимы. Следовательно, и геодезические азимуты, полученные по[формуле (67 .12), на разных пую{тах можно считать практически независимыми.

Средняя ошибка таких азимутов с учетом оmибки астрономической долготы иа пунктах 1 1шасса будет равна приблизительно ±0,7".

'При развитии триангуляции азимуты Лапласа имеют весьма важное

значение, а именно:

1. Обеспечивают ориентировку всех з13еньев и рядов триангуляции с ошиб­

кой одного порядка.

2. Не допускают распространения и в значительной мере исключают

систематические ошибки, столь опасные в большой триангуляции; ошибки

в ориентировке триангуляции, появившиеся в одном звене, перестают оказы­

вать влияние в другом, если на стыке обоих звеньев расположен пункт

:,Лапласа.

· Rро:м:е того, азимуты Лапласа позволяют путем соответствующей обра-

ботки материалов триангуляции и анализа результатов исследовать величины

и характер систематических ошибок и причины их возникновения. Малая вели­ чина систематических ошибпк на каждом пункте, в то же время существенное

влияние их на точность триангуляции в целом делают задачу исследования этих

.,9mибок весьма сложной, но актуальной.

3. Доставляют триангуляции твердые азимуты, которые позволяют вво­

дить при уравнивании азимутальные условные уравнения. способствующие получению более точных значений всех элементов, в том числе и координат

:,пунктов.

4. Дают возможность осуществлять надежный контроль угловых измерений

. , триангуляции, в частности обнаруживать такое накопление ошибок, которое другими путями не может быть выявлено. Действительно, свободный член азимутального условного уравнения включает в себя сумму ошибок углов

ходовой линии по всему ряду. В определенных случаях отдельные крупные

ошибки и во всех случаях малые ошибки, но действующие систематически

и однообразно, не выявляются в свободных членах других условных уравне­

ний - фигур, боковых и базисных. Таким образом, о многих существенных

недостатках в постановке угловых измерений и о действии систематических

ошибок можно судить только пп свободному члену азимутального условного·

уравнения.

§ 68. Влияние уклонений отвесной линии

на измеряемые зенитные расстояния

Обратимся к рис. 119. Нужно определить разность зенитных расстояний

Z~- z, которая получается от несовпадения отвесной линии Az с нормалью

1

к поверхности эллипсоида Az. Для этого в треугольнике mzz 1 из точки z про­ ведем дугу перпендикулярно к mz 1 • Учитывая современную точность измерения

Сслед у е т. Однако на точность геодезического ниве-

Рис. 128 лирования уклонения отвесных линий могут иногда

существенно влиять.

При выводе формул тригонометрического нивелирования * участвует радиус дуги аЬ (рис. 128). Дуга аЬ представляет собой сечение геоида, но при­

нимается за дугу окружности с радиусом R. Прямые АС и ВС совпадают с на­

правлением отвесных линий**. При вычислении поправочного члена в формуле

где k - коэффициент земного преломления, значение радиуса R берется рав­

ным среднему радиусу кривизны. Но это было бы справедливо, если бы АС

и ВС совпадали с нормалями к поверхности эллипсоида, кривизне которой

и соответствует значение радиуса R, используемого при вычислении превыше­

ний из геодезического нивелирования. Вследствие уклонения отвесных линий:

* Ф. Н. R р а с о в с Rи й и В. В. Дан ил о в. <<Руководство по высшей геодезии>>. Ч. 1. Вып. 2. М., Геодезиздат, 1939, стр. 390.

** Следует иметь в виду, что отвесные линии в общем случае не nересенаются; точку С

на рис. 128 надо рассматривать KaI{ пересечение проекций линий АС и ВС на плоскость чер­ тежа, совпадающую с плосRостью нормального сечения с А на В; в рассматриваемом случае

это замечание практического значения не имеет.

.:306

·кривизна дуги аЬ в общем случае не соответствует средней кривизне поверх­ ности эллипсоида, поэтому, используя указанное значение R, мы допускаем·

оши:бку.

Пусть отвесная линия А С совпадает с нормалью в точке А, в точке же В

имеем уклонение отвесной линии {t, которая на рис. 128 изобr:ажена пря­

Необходимо иметь в виду, что могут быть изменения уклонений отвесны~­

линий и более 5" (см. примеры § 73). В этом случае рассматриваемая погреш­

ность соответственно увеличится.

Однако такая ошибка в передаче высот будет при одностороннем нивели­ ровании. При двустороннем, а также одностороннем нивелировании на рас-­

около 0,01 м. Следовательно, в двустороннем нивелировании указанное влияние·

делается пренебрегаемо малым.

§ 69. Об учете влияния увловений отвесных линий при топографичесвих и инженерно-геодезических работах

'Уклонения отвесной линии при съемочных работах вообще могут не учи­

тываться. При топоrраt!Jических работах возникает необходимость считаться

с уклонениями, когда в качестве опорных используются астрономичес:кие

пункты. Рассмотрим обстоятельства, которые возникают в этом случае.

Пусть на планшете топографической съемки даны в :качестве опорных два

·астрономических пункта; для простоты положим, что они расположены на

одном меридиане. Расстояние s между этими пунктами на поверхности при­

ВЯтоrо референц-эллипсоида как основа для развития съемочного обоснования

определится по формуле

(69.п

rде В1 и В 2 - геодезические широты указанных двух пунктов, которые в дан­

ном случае неизвестны.

"'

,и подставляя в (69.1) вместо геодезических широт В1 и В2 их значения согласно

-(69.2), получаем

(69.3)

Если слагающие уклонений отвесных линий в меридиане s1 и s2 неиз­

вестны, то использование астрономических широт вместо tеодезических по

,формуле (69.1) вызывает ошибку в расстоянии s, равную

Величина ( 51 - 62), представляющая собой изменение слагающих укло-

·нений отвесных линий, в границах трапеции карты масштаба 1: 100 ООО нередко

может достигать значения 5-6". В горных районах, а также в отдельных рай­ онах со спокойным рельефом величина ( s1 - 62) может иметь значительно большие значения (см. примеры § 73).

Полагая ( s1 - 52 ) = 5 ", получаем ошибку во взаимном положении астро­ номических пунктов, равную 150 м. Таким образом, при s = 30 км относи­ тельная ошибка расстояния, вычисленного по астрономическим координатам, составит 1 : 200. Отсюда следует, что при указанном расстоянии между астроно­

мическими пунктами последние не могут контролировать ходы съемочного

обоснования - теодолитные и тахеометрические ходы и фототриангуляционные

ряды, точность проложения которых характеризуется меньшими относитель­

ными ошибками. При увеличении расстояния между астрономическими пунк-

.тами относительная ошибка в их взаимном положении будет становиться

меньше. Так, при s = 100 км относительная ошибка расстояния, определенная по астрономическим координатам, будет равна около 1 : 700. В этом случае

астрономические пункты уже имеют известное контролирующее значение

и могут быть использованы как опорные для увязки простейших ходов съемоч­ ного обоснования - тахеометрических ходов, фототриангуляционных рядов. Поэтому расстояния между астрономическими пунктами как опорными для

топографической съемки не должны быть меньше 70-100 км. Но все же ошибки

в положении точек съемочного обоснования относительно опорных астрономи­

ческих пунктов будут достигать значения порядка 100 м. Поэтому астрономи- ·ческие пункты могут служить геодезическим обоснованием только для тех топографических съемок, которые не предназначены для использования при

детальных инженерных изысканиях и составлении технических проектов

объектов промышленного строительства. Именно астрономические опорные пункты используются как основа для съемок с целью общего топографического

изучения территории и создания топографических планов, для разработки

,общих предварительных проектов строительства, эксплуатации природных

ресурсов и т. п.

В труднодоступных районах при создании карты масштаба 1 : 100 ООО

выполнение геодезических работ встречает большие затруднения. В этом случае

.определение опорных пунктов астрономическими методами имеет большие орга­

низационные и экономические преимущества перед геодезическими. Ошибка

даже в 150 м во взаимном положении опорных пунктов, если они расположены на расстоянии 100 км, будучи равномерно распределенной на указанном про-

.тяжении, не вызовет графически заметных ошибок во взаимном расположении

(Контуров в любой отдельно взятой части трапеции масштаба 1 : 100 ООО.

:308

. t .,11. Методы картографирования отдельных районов СССР предусматривали

;;1!:·!1:,'!Оответствующее использование астрономических пунктов в качестве опорных,

.}.:г,оnределяемых на расстоянии от 80 до 120 км, между которыми развивается

:}<фототриангуляция. Такое использование астрономических пункто! возможно

:· • районах с достаточно медленными изменениями уклоненииj отвесных

~ний.

Однако изменения уклонений отвесных линий неизвестны без специального

1tаучения района. Поэтому при использовании астрономического метода обосно­ tWания топографических съемок необходимо предварительно провести грави­ J&етрические работы, чтобы определить изменения уклонений отвесных линий. tИо, помимо этих изменений, уклонения отвесных линий имеют некоторую

.nостоянную, систематическую часть для всего района съемки, которая, согласно

·{69.3), не влияет на взаимное положение пунктов. Но она вызывает смещение

i:IIOeX пунктов на некоторую постоянную величину, в результате чего рамки

· ~'Ъемочной трапеции оказываются соответственно смещенными на местности.

·iта систематическая часть уклонений отвесных линий зависит от многих причин

.,., :ь первую очередь от ориентировки референц-эллипсоида и может достигать

41амет.ных размеров - 10" и более. Поэтому, если координаты опорных астроно­

·~tических пунктов не исправлять поправками за уклонения отвесных линий,

'1'0·при стыке планшетов съемок, выполненных на основе астрономических

пунктов и пунктов государственной триангуляции, могут иметь место значи­ dеJiьные расхождения контуров по рамкам трапеций.

Ошибки самих астрономических наблюдений малы по сравнению с вли­ W&ием уклонений отвесных линий; поэтому, говоря о точности опорных астро­ ·,юмических пунктов, главным образом приходится иметь в виду неучтенное

11nияние уклонений отвесных линий.

ii,, · Наилучшее решение задачи по использованию астрономических пунктов

{как опорных при съемке) при отсутствии опорной геодезической сети - свое-

1\J)еменная постановка гравиметрических работ и вывод уклонений отвесных kimий с последующим исправлением астрономических координат по формулам

~63.1). При этом следует иметь в виду, что ошибки поправок, выводимых из

,11равиметрических наблюдений, в зависимости от района и густоты гравиметри­

:,~ских пунктов обычно колеблются от 0,5 до 2".

. .~· В практике может возникнуть необходимость выполнения топографических работ и более -крупного масштаба, чем 1 : 100 ООО, в районе, значительно уда­

ленном от государственной опорной геодезической сети. В этом случае, если

по условию задания не представляется возможность осуществить связь с госу-

, ,Аарственной опорной геодезической сетью, приходится развивать опорную сеть -с местным началом координат. При таких обстоятельствах целесообразно для ,установления координат начального пункта выполнять астрономические опре-

. •ления широт, долгот и азимутов, хотя бы на одном, а лучше на нескольких

аувктах, и после осуществления геодезических связей между ними устанавли-

11ать для одного из таких пунктов исходные координаты и азимут. Если в таком

,районе имеется гравиметрическая съемка хотя бы в радиусе нескольких сотен

'1tилометров, то целесообразно ее использовать для приближенного вывода укло­

"11евий отвесных линий и последующего исправления астрономических коор­

Ьват.

'· Использование астрономических данных для определения системы коорди­ tlат и ориентировки локальной опорной геодезической сети позволит с мень­

,~ими затруднениями в дальнейшем и большими удобствами использовать ))еаультаты топографо-геодезических работ в общегосударственных целях.

309