Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

По-прежнему, удерживая члены первого порядка малости, последнее

Вводя обозначение

(59.26)

и пренебрегая различием геоцентрической широты Ф от геодезической ер, получаем окончательно с принятой точностью

Для определения физического смысла коэффициента ~ напишем (59.27)

для точки полюса (<р = 90°). Тогда получим

g90° = go (1 + ~),

откуда

(59.28)

Следовательно, коэффициент ~ - разность ускорения силы тяжести на полюсе и экваторе, выраженная в относительной форме.

Таким образом, в результате вывода мы получили формулы:

-Уравнения (59.30) и (59.31) и составляют так называемую теорему :Клеро.

Напишем последние две формулы еще и в та~юй форме:

(59.32)

(59.33)

Так как

Полученные формулы имеют чрезвычайно важное научное и практическое

значение.

Формула (59.30) выражает зависимость ускорения силы тяжести на :земной

поверхности от географической широты. Она выражает в общем виде н о р­

м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е с и л ы т я ж е с т и.

280

Формула (59.31) устанавливает зависимость между сжатием, величиной

центробежной силы и значениями силы тяжести на экваторе и на полюсе. Она позволяет определить сжатие Земли из ре~ультатов определений силы тяжести.

Порядок использования этих формул для определения сжатия Земли

состоит в следующем.

Пусть на земной поверхности в точках, имеющих широты ср 1) ср 2, ср3, ••• , из непосредственных измерений получены значения ускорения силы тяжести.

Согласно формуле (59.32), для этих точек могут быть написаны уравнения:

наименьших квадратов, находим значения неизвестных, после чего по фор­ муле (59,33) вычисляем сжатие а. Чем бoJrьme произведено определений силы тяжести и чем больше территория, по которой размещены эти определения, тем достовернее и надежнее вывод значения сжатия а. Значительное количество определений силы тяжести нужно не для уменьшения влияния случайных ошибок измерений силы тяжести (при существующей ныне технике измерений они малы), а для уменьшения влияния местных неравномерностей в распреде­ лении масс в земной коре.

Найденные значения g90 o и g O дают возможность вычислить по формуле (59.30) ускорение силы тяжести для любой точки земной поверхности. Вы­

численное таким образом значение силы тяжести для какой-либо точки назы­

вается н о р м а л ь н ы м з н а ч е н и е м с и л ы т я ж е с т и.

-Условимся в дальнейшем применять следующие общие обозначения для

нормального значения силы тяжести:

'Уе, 'УР - нормальные значения силы тяжести на экваторе и на полюсе соответственно;

у O - нормальное значение еилы тяжести на эллипсоиде в данной точке

(геодезическая высота Н = О);

"} - нормальное значение силы тяжести в данной точке, вне эллипсоида

(Н =1= О).

Полученная выше формула нормального распределения силы тяжести

точна до малых величин порядка первой степени сжатия. Более точная формула с учетом принятых обозначений имеет вид

где ~ = 'УР ~ Ve I а коэффициент -~ 1 вследствие его малости предпочтительнее

определять не из решения уравнений вида (59.36), а из иных соображений.

Применяемая в настоящее время в СССР формула нормальной силы тя­

Эта формула была выведена Гельмертом в 1901-1908 гr. на основании

результатов измерения силы тяжести на 1603 пунктах. Значение сжатия Земли, выведенное на основании результатов этих измерений, равно 1 : 298,2.

Значение коэффициента ~1 = 0,000007 получено Гельмертом на основании

имевшихся данных о внутреннем строении Земли.

261

Кроме формулы (59.37), существует еще много формул, полученных раз­

ными учеными на основании использования различных материалов.

Приведем некоторые из них.

Формула Rассиниса, рекомендованная в 1930 г. Международным геоде­ зическим конгрессом в Стокгольме,

В некоторой точке А (рис. 113), имеющей~широту ер, центробежная сила

будет

Проектируя центробежную силу в точке А по направлению силы тяжести,

за которое примем радиус ОА, получаем

Q cos <р = Q0 cos2 ер.

Следовательно, сила тяжести в точке А, как равнодействующая силы

притяжения и центробежной силы, будет выражена

или

(59.44)

262

---

Гл а в а lX

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА

СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ

§ 60. Нормальный и возмущающий потенциалы

Изучение фигуры Земли неразрывно связано с исследованием: ее грави­

тационного поля, характеризуемого потенциалом силы тяжести. Следовательно, дальнейшей задачей должно быть рассмотрение вопроса об определении по­

тенциала силы тяжести на основании непосредственных измерений, результаты

которых зависят от фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля.

Однако непосредственное вычисление значения потенциала по одной из ранее приведенных формул встречает в настоящее время прю(тически непре­

одолимые препятствия. Для пояснения этого возьмем одно из выражений

Второй член этого выражения, представляющий потенциал центробежной силы, мал по сравнению с первым членом и может быть определен без затрудне­ ний, т;ш как угловая скорость вращения Земли {J) хорошо известна из астро­ номических наблюдений, а координаты х и у следует считать заданными. Но для вычисления первого интеграла, представляющего собой V - потенциал притяжения Земли, мы не располагаем всеми необходимыми данными. Дей­ ствительно, для вычисления его нам необходимо знать плотность о в каждой точке Земли.

Этими данными мы не располагаем, а потому практически использовать

выражение (60.1) как рабочую формулу для вычислений невозможно.

Практически целесообразно применить следующий путь для вычисления потенциала W.

Выделим: из потенциала W некоторую <шравильную>> часть, которая по

воюrожности была бы близка к W и могла бы быть вычислена достаточно просто.

Эта часть, выделяемая из потенциала W, получила название н о р м а л ь н о г о п о т е н ц и а л а. Иначе говоря, н о р м а л ь н ы м п о т е н ц и а л о м

называют вспомогательный потенциал силы тяжести, по возможности близr-шй

по сnоему значению к реальному потенциалу и просто вычисляемый.

Обозначим нормальный потенциал через U. Если он может быть вычислен,

причем достаточно просто, то задача определения реального потенциала W

будет сводиться к определению разности реального и нормального потенциалов;

эту разность принято называть возмущающим потенциалом: и обозначать

Нормальный потенциал может быть выбран различно. Проще за нормаль­ ный потенциал принять потенциал шара, имея в виду, что фигура Земли с не­ которой степенью приближения может быть принята 3а шар. Тогда для нор­ мального потенциала мы получили бы

264

При таком: выборе нормального потенциаJiа для его вычисления потре­ бовалось бы определение :массы Земли и ее среднего радиуса.

Однако в этом случае вычисление возмущающего потенциала Т оказалось

бы чрезвычайно сложным, так как разности W - U = Т оказались бы вели­

чинами первого порядка малости, т. е. порядка сжатия Земли. :Как показано выше (§ 58), при существующей точности полевых измерений для вычисления возмущающего потенциала необходимо было бы удержать члены с Т2 •

Поэтому з а н о р м а л ь н ы й п о т е н ц и а л ц е л е с о о б р а з н о

п р и н я т ь п о т е н ц и а л э л л и n с о и д а в р а щ е н и я, и м е ю щ е­

го масс у, равную массе З е :м: ли и в р а щ а ю щ его с я с той

малости ( ; ~ 2 .10- 5 ), поэтому члены порядка Т2 могут уже не учитываться.

Возможность определения нормального потенциала вытекает из теоремы

Стокса, доказанной в 1849 г. Эта теорема формулируется следующим образом::

если известны внешняя уровенная поверхность

S п о т е н ц и а л а с и л ы тяж е ст и, :м: а с с а т е л а М и у г л о в а я

с к о р о с т ь в р а щ е н и я е г о ю в о к р у г н е и з м е н н о й о с и,

то п о т е н ц и а л с и л ы т я ж е с т и, к а к и е г о п р о и з в о д н ы е,

о п р е д е л я ю т с я о дн о з н а ч н о, к а к н а с а м о й п о в е р х­ н о с т и S, т а к и в о в с е м в н е ш н е м п р о r. т р а н с т в е н е з а­

в и с им о от распределения плотностей и масс внутри

поверхности S.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность опреде­ ления потенциала силы тяжести, если известна форма внешней уровенной поверхности и общая масса тела, без привлечения каких-либо гипотез о его внутреннем строении. Определение потенциала по этим условиям составляет так называемую проблему или задачу Стокса.

Поскольку потенциал центробежной силы определяется формулой

Q = ~2 (х2+ у2),

то проблема Стокса сводится к определению потенциала силы притяжения V.

Достаточные и необходимые условия для определения потенциальной функции

V вытекают из общих свойств потенциала притяжения, а именно:

1) оператор Лапласа Л 2V во внешнем пространстве равен нулю;

2)функция V должна быть непрерывной и конечной и иметь непрерывные

иконечные первые производные;

3)на большом: расстоянии r от произвольной точки тела

(()2

V = пост. --- (х2 + у2 ). (60.5)

2

Задача Стокса неразрешима в нопечном виде для произвольной поверхности

S, однако для простейших поверхностей, как сфера, эллипсоид, она решена

строго и в замкнутой форме.

265

Нас интересует эллипсоид вращения, поскольку выше был сделан вывод,

что именно эллипсоид целесообразно принять за тело, для которого следует

вычислять нормальный потенциал.

Итак, если принять поверхность эллипсоида вращения

за нормальную уровенную поверхность, то, не приводя довольно громоздкого вывода, напишем в окончательном виде точное выражение нормальной силы

тюнести для точек поверхности такого эллипсоида

rде "(в, 'Уе, "'lP - значения нормальной силы тяжести для точек с широтой В,

на экваторе и на полюсе соответственно.

Формула (60.6) была выведена в 1929 г. итальянским геодезистом Со­

мильяна.

Если по-прежнему обозначить:

а

то после внесения их в формулу (60.6) и разложения знаменателя по биному

Ньютона и простых преобразований получим с удержанием членов первого

Напишем без вывода выражения для других параметров уровенного эл­

липсоида.

Потенциал силы тяжести U на уровенном эллипсоиде

266

лиnсоидом вращения. Все другие уровенные поверхности. не будут эллип­

соидами. Их иногда называют с ф е р о п а м и.

-Уровенный эллипсоид нормального потенциала будет определен, если известны четыре его параметра, за которые обычно принимают а, а, "Je, ro.

Прочие его параметры могут быть определены по формулам: (60.13), (60.6)

и (60.7).

Возвратимся к вопросу о выборе уровенного эллипсоида нормального потенциала. Практически, для решения конкретных задач высшей геодезии за таковой удобно принять референц-эллипсоид; сила тяжести на экваторе должна быть установлена на основе имеющихся ее измерений; ro - угловая

скорость вращения Земли точно определена из астрономических измерений.

Такой выбор уровенного эллипсоида выгоден тем, что для решения задач

высшей геодезии и гравиметрии вводится е д и н а я о т с ч е т н а я п о­

верх но ст ь. Тем самым относительно рефпr,енц-эллипсоида будут опре­

деляться геодезическими координатами В, L, Н положение точек земной по­ верхности и потенциал силы тяжести Земли И,; все характеристики гравита­

ционного поля Земли, как на ее поверхности, тан. и вне ее, получаемые в функ­

ции потенциала силы тяжести Земли, буJrут в единой системе.

Теперь проведем следующие рассуждt~ния.

Допустим, что действительная поверхнuетъ Земли уровенная и совпадает

с уровенным эллипсоидом нормального потенциала силы тяжести; иначе говоря,

ниями векторов действительного и нормального направлений силы тяжести,

были бы равны нулю. При условии равенства нормального и реального по­

тенциалов измеренные значения силы тяжести g во всех точках~Земли равнялись

бы нормальным: у, т. е. вычисленным: по нормальной формуле силы тяжести.

Вэтом: случае высоты точек Земли Н также везде были бы равны нулю.

Вдействительности описанной картины по результатам измерений не наблюдается. Сопоставление астрономических и геодезических координат даже

при самой хорошей ориентировке референц-эллиnсоида выявляет уклонения отвесных линий, по величине значительно превосходящие ошибки астрономи­ ческих и геодезических измерений. Измеренные значения силы тяжести g

не совпадают с нормальными у на величины, во много раз превосходящие

ошибки гравиметрических наблюдений. Эти расхождения g - у называются

а н о м а л и я м и с и л ы т я ж е с т и; они, как увидим далее, играют

важнейшую роль при изучении фигуры Земли наравне с результатами геоде­ зических и астрономических измерений. Теперь нетрудно сделать вывод, что

получающиеся расхождения в астрономических и геодезических координатах, расхождения в измеренных и нормальных значениях силы тяжести являются

результатом: неравенства действительного и нормального потенциалов силы тяжести Земли, т. е. действия в о з м: у щ а ю щ его n от е н ц и ал а Т.

Однако возмущающий потенциал Т непосредственному измерению не

поддается. Поэтому естественно поставить задачу - по уклонениям отвесных линий или по аномалиям силы тяжести, как опытным данным:, определить

возмущающий потенциал Земли Т и затем: получить действительный потенциал

W силы тяжести Земли. Зная W, можно далее на основе теоретических зави-

267

симостей определять различные характеристики и величины действительного

гравитационного поля Земли, необходимые для теории и практики, как, на­ пример, определение геодезических высот точек поверхности Земли, вычисление

поправок в астрономические координаты за влияние уклонений отвесной линии

в любой точке земной поверхности, определение влияния силы тяжести на

Земле при расчете полетов ракет и искусственных спутников Земли и др. Возникает вопрос, чему отдать предпочтение: уклонен и ям от вес­

н о й JI и н и и и л и а н о м а л и я м с и л ы т я ж е с т и. Теоретически

:аномалия силы тяжести Лg и уrшонения отвесной линии ( ~' 11) пригодны для

,определения возмущающего потенциала Т. Но практически следует отдать предпочтение аномалиям силы тяжести по следующим соображениям:

1. Уклонения отвесной линии с необходимой точностью определяются из сопоставления результатов геодезических и астрономических наблюдений, которые требуют на каждом пункте во много раз больше времени и труда, чем гравиметрические измерения. Определение на какой-либо территории уклонений отвесных линий с заданной частотой потребовало бы в десятки раз

больше труда, средств и времени, чем вывод аномалий силы тяжести из грави­

метрических наблюдений.

2. Гравиметрические наблюдения могут производиться не только на суше, но и на море. Это преимущество имеет большое принципиальное значение,

так как теоретические предпосылки требуют, чтобы измерения производились

на всей поверхности Земли. Уклонения же отвесных линий при существующих методах и: средствах измерений могут быть выведены на

Таким образом, приходим к заключению, что для определения возму­

щающего потенци:аJfа следует использовать аномалии: силы тяжести, для по­

лучения которой необходима гравиметрическая съемка.

Следовательно, дальнейшей целью должно быть установление зависи­ мостей, существующих между возмущающим: потенциалом Т и аномалиями

силы тяжести. Так как задача высшей геодезии - изучение действительной

фигуры Земли:, то далее должны быть установлены зависимости между вели­

чинами:, характеризующими форму Земли, и возмущающим потенциалом.

Отметим, что такими величинами являются расстояния точек земной поверх­ ности и уклонения отвесной линии относительно принятого референц-эллип­ соида. Имея в виду указанный общий путь - определение возмущающего

потенциала Т по аномалиям силы тяжести, а по Т - высот точек Земли и укло­

нений отвесной линии, имеется возможность непосредственного выражения

:последних величин через аномалии силы тю-кести.

§ 61. Аномаш1и: сш1ы тяжести

Так как аномалии силы тяжести служат исходными данными для опреде­

ления возмущающего потенциала Земли, остановимся подробнее на вычисле­

ниях аномалий силы тяжести. Выше аномалия силы тяжести была определена

как разность между измеренным и нормальным значениями силы тяжести,

т. е. Лg = g - у. Разумеется, при этом считалось, что обе величины g и "1

относятся к одной точке. В действительности нормальное значение силы тя­ жести: "1 относится к точке МO уровенного эллипсоида, а измеренное g- I{ точ1{е М, расположенной на земной поверхности на расстоянии: Нм по нормали

к эллипсоиду, представляющей собой геодезическую высоту точки: М. При

268

,1

1

11

этом положение точки МO (рис. 114) на эллипсоиде определяется известными

·rеодезическими координатами В, L.

. Естественно потребовать приведения обоих значений силы тяжести к ка­ кой-либо одной точке. Очевидно, для этой цели нам необходимо было бы в пер­

вую очередь знать геодезическую высоту Нм точки М.

Для высоты Н некоторой точки М ранее была получена общая формула

(58.19)

g

где разность

определяется из нивелирования, а g - некоторое значение силы тяжести,

которое может, как увидим в § 72, выбираться различно. Вычислим: для точки М высоту по формуле

rде под '\'~ будем понимать среднее нормальное значение силы тяжести для

отрезка ММ0 , которое можно вычислить точно; иначе говоря, положим в фор-

муле (61.2) g= '\'~. Заметим, что высоты нv, вычисляемые по формуле (61.2),

называются нормальными.

Подробнее о системах высот будет сказано в § 72; здесь ограничимся

изложением сведений, необходимых для освещения вопроса о выводе аномалий

. ,тяжести, имея в виду, что g и у относятся к разным точкам пространства.

...

А.~·

.

'i