Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

вначальной точне равны астрономичесним и высота геоида над эллипсоидом

вэтой точне равна нулю, т. е.

В0 =cp0 H~)-0,171"sin2B0

Рассмотрим геометричесний смысл таного ориентирования референц-эл­

.липсоида. Равенство геодезических и астрономических координат в исходном

р

р, Р,

Рис-. 159 Рис. 160

пункте означает, что в этом случае направление нормали к поверхности рефе­

ренц-эллипсоида совпадает с направлением отвесной линии; эллипсоид в данной

точке касается геоида.

Пусть на рис. 159 представлено тело Земли: жирной кривой показано се­ чение геоида плосностью астрономичесного меридиана точки А; линия РР 1 -

ное сечение а1Ь 1, имеющее азимут а0• Теперь ориентирование эллипсоида в теле Земли можно представить себе следующим образом: расположим эллипсоид тан, чтобы точка а 1 совпала с точкой а, а нормаль а1п1 - с отвесной линией ап. После этого эллипсоид может еще вращаться вокруг линии ап. Для того чтобы окончательно определить его положение в теле Земли, совмещаем плоскость нормального сечения а1Ь 1 с плосностью вертикального сечения аЬ, после чего

п.лоскость геодезического меридиана а 1рр1 совместится с плоскостью астроно­

мического меридиана арр1 , и положение эллипсоида будет вполне определено. Это положение эллипсоида показано на рис. 159 пуннтиром. При этом малая есь эллипсоида будет параллельна оси вращения Земли, и энватор эллипсоида

займет положение, параллельное земному экватору.

380

'

Указанный прием ориентирования эллипсоида носит название о р и е н -

тир о ван и я по одном у а стр он омическом у пункт у.

Тан нан унлонения отвесных линий различны в разных точнах земной

поверхности и размеры референц-эллипсоида не равны размерам общего зем­

ного эллипсоида, то эллипсоид, ориентированный по разным астрономичесним

пуннтам, будет занимать различное положение в теле Земли. В силу того, что

местные уклонения отвесных линий могут быть весьма значительны, можно, ориентируя эллипсоид по одному случайно выбранному астропуннту, придать

ему грубо неверное положение в теле Земли.

При неправильной ориентировне эллипсоида получаются систематичесние

отступления эллипсоида от геоида, притом все возрастающие по мере удаления

от исходного пуннта. Это в свою очередь вызовет систематичесние относитель­

ные унлонения отвесных линий, выводимые астрономо-геодезичесним путем.

Таной харантер отступлений поверхности референц-эллипсоида от геоида при­

водит н увеличению значений редунций длин и углов, вследствие чего увели­ чатся несовпадения значений элементов, измеренных непосредственно и вычис­

ленных на поверхности референц-эллипсоида. При нестрогой обработне триан­

гуляции (например, при методе развертывания) неправильная ориентировна

эллипсоида вызывает дополнительные иснажения уравненных элементов триан­

гуляции.

Если в одном районе вычислить триангуляцию с ориентировной эллип­ соида по одному астрономичесному пуннту, а в другом районе - с использо­

ванием тех же размеров эллипсоида, но ориентированного по другому астроно­

мичесному пуннту, то на соединении этих двух триангуляций могут получиться грубые расхождения в значениях ноординат одних и тех же пуннтов, ноторые

повленут за собой недопустимые разрывы (или перенрытия) в топографичесних

материалах. Бывали случаи, ногда эти расхождения в ноординатах достигали­

порядка 900 м.

Причиной ненадежности ориентирования эллипсоида по одной астрономи-­ чесной точне являются местные унлонения отвесных линий. Ошибни собственна астрономичесних наблюдений могут быть сведены н величинам, меньшим

+О,5 ", в то время нан унлонения отвесных линий достигают 4-5" и более.

Для небольших стран вопрос о выборе исходных rеодезичесних дат не имеет прантичесного значения, так нан неправильный выбор этих дат начинает сна­ зываться при известном удалении от исходного пункта. Для таной огромной территории, нан СССР, вопрос правильного установления исходных геодези­ чесних дат имеет важнейшее практичесное значение.

Задача установления исходных геодезичесних дат В0 , L 0 и А O сводится

н определf.Jнию слагающих уклонения отвесной линии в исходном пуннте.

ботки градусных измерений (§ 82); из решения уравнений градусных измере­ ний определяют слагающие уклонений отнесных линий s1 и 11 1 для начальной

точки одной из дуг градусного измерения или астрономо-геодезичесной сети.

Тан кан уравнения градусных измерений решают под условием~ ( s2 +11 2) =

ных измерений.

381

г

Благодаря этому ослабляется влияние местных случайных уклонений от­

весных линий в отдельных астрономических пунктах на вывод ; 0 При таком выводе исходных геодезических дат обеспечивается более близкое распо­ ложение референц-эллипсоида к геоиду в пределах той территории, которая

охвачена данными градусными измерениями.

В т о р о й с п о с о б основан на использовании гравиметрических дан­ ных. Пусть на пункте, принимаемом за исходный, определены с возможно боль­ шей точностью астрономические координаты q> 0 , л 0, а. 0• Пользуясь формулами,

выражающими уклонения отвесных линий в функции аномалий силы тяжести, ~получаем для исходного пункта гравиметрические уклонения отвесной линии

~~Р и 11?. Тогда исходные геодезические даты вычисляют по формулам:

Точность такого вывода исходных геодезических дат зависит от ошибок

.астрономических определений на исходном пункте и от ошибок вывода грави-

метрических уклонений sгр и 11 ~Р. Поэтому для применения этого способа не­

обходимо знать аномалии для всей Земли и во всяком случае в зоне радиуса

больше 1000 км. Поскольку гравиметрическая съемка проведена не во всем

мире, то влияние дальних зон не может быть учтено. Rак указывалось в главе Х. на значения уклонений отвесных линий большое влияние оказывают аномалии силы тяжести в зоне радиуса от О до 30-40 км; поэтому необходимость точного

учета аномалий в'этой зоне требует постановки вокруг данного пункта cne-

заслуживает серьезного внимания, поскольку влияние дальних зон незначи­

тельно, а развитие гравиметрических работ в большинстве стран происходит

весьма интенсивно.

Rроме того, результаты, полученные этим способом в сочетании с исход­

ными геодезическими датами, выведенными из градусных измерений, позволят

иметь независимый контроль.

Однако установление для исходного пункта величин so и 11 0 , а следова­ тельно, и В0 , L 0 , А O еще не определяет положения референц-эллипсоида по высоте. Определение высоты ~о геоида (квазигеоида) над эллипсоидом в началь­

ной точке производится также под условием их максимальной близости. Если

-обозначить через ~ высоты геоида (квазигеоида) над референц-эллипсоидом в от­

дельных пунктах градусных измерений, то условие их близости обычно пишут в форме

(84.3)

382

Пусть на рис. 161 А, В, ... , G - точки дуг градусных измерений, для

которых определены уклонения отвесных линий относительно выбранного ре­

ференц-эллипсоида.

Применяя метод астрономо-гравиметрического нивелирования, вычисляем

превышения поверхности геоида (квазигеоида) относительно поверхности ре­

ференц-эллипсоида для каждой пары смежных точек дуги А, . . ., G. Полагая: высоту поверхности геоида в точке А равной ~0 , получаем следующие выраже­ ния для высот поверхности геоида (квазигеоида) в точках А, В, С, . . . G:

их совместное определение (§ 87).

§ 85. Уравнения градусных измерений

при применении метода проектирования

Допустим, что для обработки триангуляции принят некоторый референц-­ эллипсоид с размерами а0, а 0 и ориентировкой, определяемой координатами

L 0 , А 0, ~~- Эти параметры референц-эллипсоида можно­

получить по одному из рассмотренных выше методов *. Пусть все геодезически& измерения, выполненные до и после вывода референц-эллипсоида, редуцированы на поверхность референц-эллипсоида и последующая обработка измерений про­ изводилась по методу проектирования. Предположим, что встала задача опре­

деления новых размеров и ориентировки эллипсоида, наилучшим образом под­

ходящего к территории, на которой выполнены астрономо-геодезические игра­

виметрические измерения. Эту задачу можно сформулировать как определе­

ние поправок к параметрам первоначально установленного референц-эллиnсо­

ида - а0, а0, В0 , L 0 , А 0 , ~~-

Координаты начальной точки астрономо-геодезической сети на поверх-

ности искомого эллипсоида определятся выражениями:

В0+ бВ0I= ср0 --s0 -0, 171" sin 2В0НO 1

rде s0 , 11 0 - составляющие уклонений отвеса относительно нормали к поверх­

ности наиболее подходящего эллипсоида;

* Таним образом, в начальной стадии изучения фигуры Земли применение метода раз вертывания неизбежно для определения в первом приближении параметров земного эллип­

соида.

383

~о - высота геоида (квазигеоида) по отношению к той же поверхности.

Для произвольного астрономо-геодезического пункта сети будем иметь:

В+ оВ= ep-s- 0,171'sin2BH 1

L+ oL = л--УJ sec ер

''+о'='

rде В, L, А, ~, - геодезические координаты, отнесенные к первоначально уста­

новленному референц-эллипсоиду;

оВ, бL, бА, {j~ - поправки, обусловленные переходом к искомому эллип­

соиду.

Иначе говоря, левые части уравнений (85.2) представляют координаты

взятого астрономо-геодезического пункта, отнесенные к поверхности искомого

наилучше подходящего эллипсоида.

Поставим целью составить уравнения градусных измерений таким образом, чтобы поправки за изменение ориентирования эллипсоида выразить через

разность прямоугольных пространственных координат центра наилучше под­

ходящего эллипсоида и первоначально установленного референц-эллипсоида. За начало прямоугольной пространственной системы координат примем центр

референц-эллипсоида с размерами а0 и а 0; оси координат расположим так, как

указано в § 3. Тогда указанная разность определится координатами Ох0,

оу0, бz0 центра искомого эллипсоида (предполагается, что выполнено условие

параллельности оси вращения Земли и малых осей обоих эллипсоидов).

Положение некоторой точки геоида (квазигеоида) в этой системе коорди­ нат может быть определено через геодезические координаты относительно ре­

ференц-эллипсоида соотношениями:

rде В, L, ~, - координаты этой точки геоида относительно первоначально установленного референц-эллипсо:1:J;а;

N - радиус сечения первого вертикала на этом же эллипсоиде. Пусть для той же точки геоида, но относительно искомого эллипсоида

прямоугольными координатами будут: х + ох, у+ оу, z + бz; изменения ко­ ординат ох, бу, oz вызваны изменениями геодезических координат, большой

полуоси и сжатия.

Поэтому можем написать:

Напомним, что при условии параллельности оси вращения Земли :малой

оси эллипсоида, обеспечиваемой соблюдением уравнения Лапласа на астроно­

мо-геодезических пунктах, третье уравнение в системах (85.1) и (85.2) является

384

Подставляя в (85.8) выражения для изменений геодезических координат

бВ, бL, б' согласно (85.6), находим искомые уравнения градусных измерений:-

Отметим, что уравнения градусных измерений (85.9)-(85.11) соответ­

ствуют случаю, когда для редуцирования результатов измерений на поверх­

совместно, получаем параметры эллипсоида, наилучшим образом подходящего

чается выражение влияния ошибок параметров эллипсоида на отступления от

него геоида (квазигеоида).

Как отмечалось, из материалов астрономо-геодезических сетей сжатие а

определяется со значительно меньшей точностью, чем из результатов наблю­

дений искусственных спутников Земли или гравиметрических данных.

Если в первую очередь определить из этих наблюдений сжатие а, то, по­ лагая его известным (ба = О), уравнение (85.11) примет вид

~ - ~,, = [cos В cos Lбх0+ cos В sin Lбу0+ sin Bбz0] - N (1-е2 sin2 В) ба". (85.12)

Первые три члена_в правой части уравнения (85.12) суммарно выражают

изменения аномалии высоты,i~ вследствие изменения элементов ориентировки

эллипсоида: второй член - то же, но вследствие изменения большой полу­

оси а.

Учитывая большую роль, Rоторую играет уравнение (85.12), укажем при­

ближенный, но простой геометрический путь e:ro вывода.

386

Пусть РЕР'Р - эллипсоид с центром О и размерами а0 и а0 (рис. 16~).

Возьмем второй эллипсоид Р 1Е 1Р~Р1 с размерами а + ба и а0, центр ноторого

смещен относительно первого эллипсоида, а оси параллельны. Начало системы

ноординат возьмем в точне О. - центре первого эллипсоида. Координаты центра второго эллипсоида (точни О') пусть будут бх0, бу0, бz0; они будут выражать

{вместе с условием параллельности соответствующих осей обоих эллипсоидов)

ориентировну второго эллипсоида относительно первого.

Возьмем на втором эллипсоиде неноторую точну М1 с ноординатами х, у, z и соединим ее с центром начала ноординат, т. е. точной О. Обозначим ОМ1 через р, а радиус-вентор ОМ через р 0• Пренебрегая различием в направлениях

z=psinB

ипренебрегая различием между р и а0, в ноэффициентах при поправнах полу­

чаем

~. е. уравнение (85.12), если положить, что

N (1-- е2 sin2 В) 8а' = V1 - е2 sin2 В 8а ~ ба.

Полученные в настоящем параграфе уравнения могут быть использованы

Rан дифференциальные формулы для вычисления поправон в ноординаты гео­

дезичесних пунктов за переход от одного референц-эллипсоида н другому или,

иначе, за переход от одной системы ноординат н другой. Таная задача, в част­ ности, может возниннуть при следующих обстоятельствах: имеются две изоли­ рованные триангуляционные сети, ноторые были вычислены с применением различных параметров эллипсоидов. Требуется вычислить поправки н ноорди­ натам одной системы за переход к другой. Для решения этой задачи необходимо

знат:ь разности параметров обоих референц-эллипсоидов, т. е. ба, ба, бВ0 ,

координат за переход от одной системы к другой.

Обычно разности ба и ба всегда известны; для вычисления разностей

бВ0 , бL0, б~ необходимо наличие геодезической связи между исходными

пунктами обеих триангуляций; эта связь может быть осуществлена путем опре­ деления хотя бы одного пункта одной системы в другой. Тогда задача решается

соответствующим применением тех же формул. Если ба и ба известны, а бх0, бу0 и бz0 неизвестны, тогда поправки бВ, oL и б~ можно вычислить только за влияние разностей ба и ба.

В этом случае неучтенное влияние различия параметров ориентирования обоих референц-эллипсоидов войдет в результаты вычислений (например, при

решении прямой или обратной задачи) как ошибки определения вычисленных величин. Но тогда по формулам (85.7) и (85.6) можно приближенно рассчитать

величину этих ошибок путем использования при вычислениях некоторых воз­ можных предельных различий в элементах ориентирования. Так как в среднем

уклонения отвеса характеризуются величиной ± 4 ", а колебания высоты геоида относительно эллипсоида лежат в пределах 100-150 м, то максимальное раз­ личие бВ0, бL0 обеих систем координат может быть принято ±6-8" и б~ 0

= ±100 м (это различие может быть большим, если ориентирование одного из

референц-эллипсоидов выполнено по одному астрономическому пункту, распо­

ложенному в районе со значительными или большими уклонениями отвеса). Рассчитанные по формулам (85.6) и (85.7) значения оВ и oL с принятием на­ званных числовых значений оВ0, OL0 и 0~0 будут характеризовать возможные

ошибки результатов вычислений, вызванные неучетом различия в параметрах ориентирования обоих эллипсоидов.

Если геодезическая связь между триангуляционными сетями, вычислен­

ными с принятием различных местных референц-эллипсоидов, по каким-либо

может быть осуществлен следующим образом.

Для одного астрономо-геодезического пункта в каждой триангуляции на

основе материалов гравиметрической съемки вычисляют по формулам типа

формул Венинг-Мейнеса <<абсолютные>> уклонения отвесной линии, после чего

переходят по известным формулам (63.1) к геодезическим координатам обоих

пунктов. Если при выводе уклонений отвеса использованы материалы мировой

гравиметрической съемки, то вычисленные указанным образом геодезические координаты этих пунктов, относящиеся к разным триангуляциям, б у д у т о т н е с е н ы к е д и н о м у э л л и п с о и д у - к общему земному эллип­ соиду. Тем самым будет осуществлена связь между обеими системами координат.

Далее, в зависимости от условий поставленной задачи, нетрудно получить поправки к той или другой системе координат. Точность решения задачи изло­

женным методом будет определяться ошибками астрономических определений

и ошибками вывода уклонений отвеса, зависящими главным образом от полноты использованных гравиметрических данных. Если при выводе уклонений отвеса

будут использованы гравиметрические данные не для всей поверхности Земли,

то ошибка в осуществлении такой связи будет зависеть от различия влияния аномалий силы тяжести неучтенных зон. Эта ошибка может быть и весьма ма­ лой - практически пренебрегаемой и весьма заметной - в зависимости от взаимного расположения обеих триангуляционных сетей, полноты использова-

388

ния гравиметрических данных, расположения зон, аномалии которых не были

учтены при выводе уклонений отвеса относительно обоих астропунктов, и т. п. Ожидаемое значение этой ошибки в общем: виде не может быть определено, но оно может быть с достаточной точностью рассчитано в к а ж д о м к о н -

к р е т н о :м: с л у ч а е.

Изложенный путь решения задачи возможен при использовании грави­ метрических данных на весьма значительной части земной поверхности, охва­ тывающей, в частности, расположение обеих триангуляционных сетей; исполь­ зование только местных гравиметрических съемок (вокруг взятых астрономи­

ческих пунктов) не может привести к решению поставленной задачи и с этой

точки зрения бесполезно.

Изложенные соображения в части решения частной задачи позволяют сде­

лать один важный вывод общего характера: по за вершении :м: и ров ой гравиметрической съемки создается возможность

с о е д и н е н и я в е д и н у ю с и с т е м у в с е х т р и а н г у л я ц и й, р а с n о л о ж е н н ы х н а р а з л и ч н ы х к он т и н е н т а х, б е з

непосредственных геодезических связей между

н и :м: и.

Однако непосредственные геодезические связи необходимы для наиболее

точного вывода параметров общего земного эллипсоида; чем обширнее триан­

гуляция, использованная для составления уравнений градусных измерений

(85.9), (85.10) и (85.11), тем надежнее определены параметры а (или W0 - и0), бх0, бу0, бz0•

§ 86. Общие сведения о выводе параметров земного эллипсоида

из астрономо-геодезических и гравиметрических данных

Решение задачи по выводу параметров земного эллипсоида и элементов

гравитационного поля Земли рассматриваемым методом должно основываться

на совместном: использовании астроно:м:о-геодезических и гравиметрических из­

мерений; эти измерения, конечно, должны быть выполнены на значительной

территории; при этом возможно использование измерений, выполненных на раз­

ных континентах и без непосредственной связи между собой.

Резкое различие в возможности выполнения астрономо-геодезических се­

тей и гравиметрических работ на поверхности Земли (возможность развития геодезических сетей только на суше, а гравиметрических работ на всей земной

поверхности) приводит к тому, что влияние астроно:м:о-геодезических данных на

вывод параметра сжатия а, определяемого гравиметрическими измерениями,

становится весьма малым, практически неощутимым, а совместные определе­

ния становятся формальными. При наличии гравиметрической съемки на всей поверхности Земли или на большей ее части значение сжатия и при совместном

использовании всех данных фактически определяется грави:м:етричесним:и дан­

ными. Гравиметрические работы, получившие развитие значительно позже астро­

номо-геодезических, в настоящее время далеко превзошли последние по охвату

земной поверхности.

Исследования В. Ф. Еремеева и М. И. Юркиной по этому вопросу показы­

вают, что в то время как гравиметрическая съемка с той или иной плотностью покрывает значительную часть поверхности Земли, градусные измерения, уже

использованные для выводов местных эллипсоидов, покрывают малые доли

земной поверхности. Поэтому один из возможных путей решения рассматри­ ваемой задачи заключается в следующем.

389