Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Сжатие земного эллипсоида определяется из гравиметрических данных (см. § 59). Из градусных измерений определяются параметры, которые не могут

быть вычислены из гравиметрических измерений, - полуось а и элементы

ориентирования. До последнего времени этот путь и являлся наиболее целесо­

образным и был использован при выводе параметров эллипсоида Красовского. Нес1{олько более подробное решение этой задачи рассмотрено в § 87.

В настоящее время такой путь устарел; наиболее точно сжатие определяется из наблюдений искусственных спутников Земли (глава XVI).

§ 87. Основные формулы определения параметров эллипсоида

по астрономо-геодезическим и гравиметрическим данным

Положим, что сжатие Земли известно, гравиметрические работы выполнены на всей поверхности Земли или на большей ее части, имеется большая астро­

номо-геодезическая сеть; высоты астрономо-геодезических пунктов определены

относительно начального футштока. Обработка астрономо-геодезической сети

произведена по методу проектирования на некотором (предварительно уста­

новленном) референц-эллипсоиде.

По результатам астрономических и геодезических измерений вычисляем

аномалии высот ~ = Н - Hv и составляющие уклонений отвесных линий

~=cp-B-0,171"sin2BH~}

11 = (л- L) cos В ' (S? ·1)

которые относятся к первоначально установленному референц-эллипсоиду. Из результатов гравиметрической съемки по формулам Стокса и Венинг­

Мейнеса (или по более точным формулам Молоденского) для каждого астрономо-

геодезического пункта вычисляем ~' i, ~, которые уже будут отнесены

к искомому земному эллипсоиду.

Далее из указанных вычислений получаем ~ - [ ~ - [ 11 - 11. Тогда

на основании уравнений (85.9), (85.10), (85.11) пишем уравнения градусных

измерений в виде

меньших квадратов и приведет к выводу искомых параметров земного эллип­

соида.

Если выполнена мировая гравиметрическая съемка, то уклонения ~ и 11,

а также аномалии ( будут отнесены к общему земному эллипсоиду, т о г д а

решение этих уравнений приведет к выводу пара­

м е т р о в о б щ е г о з е мн о г о э л л и п с о и д а.

Нетрудно получить уравнения, в которых в качестве неизвестного вместо оа

будет величина (W O - и0). Для упрощения вывода решим задачу только с глав­

390

тогда

уа= И7 ,

Дифференцируя (87.6) по В и L, получаем уравнение для определения (W O - и 0), 8х0, 8у0, 8z 0 по разностям уклонений отвесных линий

ноэффициента при ней.

Описанный в этом параграфе метод определения параметров земного эллип­ соида следует считать основным, обеспечивающим наиболее точное решение

задачи.

§ 88. Референц-эллипсоид Нрасовсного. Исходные геодезические даты триангуляции СССР

Исследования проф. Ф. Н. Красовского, основанные на анализе и обра­ ботне материалов триангуляций, исполненных R 1930 г., поRаsали, что эллип­ соид Бесселя заметно отступает от размеров эллипсоида, наилучшим образом: подходящего для территории СССР. Проф. Ф. Н. RрасовсRий пришел к выводу, что большая полуось эллипсоида Бесселя преуменьшена; это полностью под­ твердилось последующими исследованиями, ногда было установлено, что боль­ шая полуось по Бесселю ошибочна на величину 850 :м:.

Исходя из большого научного значения исследований по установлению размеров и формы Земли, проф. Ф. Н. RрасовсRий в начале тридцатых годов приступил R работе по выводу размеров эллипсоида на основании имеющихся материалов градусных измерений. Сначала эта работа выполнялась лично

Ф. Н. RрасовсRим, затем под его руководством продолжалась научными работ­

никами ЦНИИГАиR. Непосредственное участие в этой большой работе при­ нимал проф. А. А. Изотов. Исследования, продолжавшиеся почти 10 лет, по­ зволили в 1940 г. рекомендовать для вычислений триангуляции новые размеры эллипсоида, вполне подходящие для территории СССР. После обсуждения результатов работы в научных и производственных Rругах эти размеры эллип­ соида были утверждены Постановлением Совета Министров СССР от 7 апреля

391

1946 г., а эллипсоиду было присвоено имя Красовского. Размеры этого эллип­

соида следующие:

большая полуось а-= 6 378 245 м,

полярное сжатие а-= 1 х 298,3.

При получении указанных размеров земного эллипсоида были использо­

-ваны градусные измерения СССР, Западной Европы и США. Материалы гра­ дусных измерений СССР, протяженность дуг которых составляла к тому вре­ ыени около 40 ООО км, были впервые использованы для вывода размеров эллип­

соида. Таким образом, для вывода новых значений размеров земного эллипсоида были использованы более обширные материалы, чем для всех других вы­ водов. Это уже дает основание утверждать, что размеры эллипсоида Красов­ ского в то время были наиболее приближающимися к размерам общего земного эллипсоида. При составлении уравнений градусных измерений применен

<<метод площадей>>; при этом использованы результаты гравиметрической съемки

для исключения местных волн геоида - для предварительного его <<Выравни­

ваю1ю>. Такое привлечение гравиметрических данных для обработки градусных измерений было осуществлено впервые; оно оказалось возможным благодаря

применению разработанного в СССР метода астрономо-гравиметрического ни­

велирования и наличию общей гравиметрической съемки. Лишь для незначи­ тельной части астрономо-геодезической сети СССР, использованной для вывод'а размеров эллипсоида, вместо гравиметрических поправок вводились топографо­ изостатические редукции. К использованию теории изостазии пришлось при­ бегнуть в отдельных районах, где гравиметрическая съемка еще не была за­

кончена.

При вычислении размеров эллипсоида Красовского были применены раз­ личные варианты обработки имеющихся материалов градусных измерений; указанные выше значения размеров эллипсоида Красовского получены из варианта, признанного наилучшим. Анализ результатов вычислений размеров

эллипсоида из различных вариантов решения задачи позволил сделать ряд

выводов и заключений, имеющих большую научную ценность в деле изучения общей фигуры Земли. Проведенные исследования дают основания считать, что размеры эллипсоида Красовского определены с ошибками в большой полу­ оси около ±60 ми в полярном сжатии не более одной единицы в зна:м:енателе.

Указанную точность вывода размеров земного эллипсоида следует считать высокой, отвечающей научным и практическим требованиям.

Надлежащее установление исходных геодезических дат для астрономо­ геодезической сети СССР (вследствие чрезвычайно большой протяженности территории СССР) имеет также большое практическое значение. Порядок работ, выполненных в 1942-1943 rr. по установлению исходных геодезических дат, в общих чертах заключался в следующем.

Из обработки материалов градусных измерений в СССР были установлены широта В 0 , долгота L 0 и азимут А O для исходного пую{та, за который принят

центр круглого зала Пулковской обсерватории. Для решения этой задачи (в от­

личие от задачи вывода размеров референц-эллипсоида) были использованы

только материалы триангуляции СССР. Для вывода исходных rеодезичес1шх

дат необходимо, чтобы исходный пункт имел непосредственную надежную связь

с используемыми градусными измерениями. Так как триангуляции Западной

Европы и США такой связи с триангуляцией СССР не имели, то градусные

392

измерения этих стран и не могли быть использованы при решении настоящей

задачи.

Rроме того, для нонтроля и независимого получения иным путем исход­

ных геодезичесних дат был применен астрономо-гравиметричесний метод, для чего в центральных районах страны, на специально выбранном пуннте были

выполнены с высоной точностью астрономичесние определения. Для обе­

спечения надежного вывода унлонений отвесных линий по гравиметричесним

данным вонруг этого пуннта выполнена гравиметричесная съемна сгущения.

Астрономичесние ноординаты пуннта и азимут направления исправлены

поправнами, вычисленными по гравиметричесним данным. Полученные таним

путем геодезичесние ноординаты сопоставлены с геодезичесними ноординатами,

переданными из Пулнова; их сходимость получилась в пределах оmибон опре­

делений.

Уназанный метод вывода исходных геодезичесних дат осуществлен впервые

вСоветсном Союзе.

Таним образом, вывод параметров референц-эллипсоида :Красовсного был основан на применении методов, описанных в § 82-84. Методы, изложенные в последующих параграфах, были разработаны позднее; они не могли быть применены танже и вследствие отсутствия в тридцатых годах необходимых

данных, в первую очередь достаточных материалов гравиметричесних съемок.

Следовательно, харантерными чертами вывода размеров эллипсоида :Красов­

ского являются:

1) раздельный вывод размеров эллипсоида и исходных геодезических

дат;

2)применение астрономо-геодезического <<метода площадей>>;

3)установление размеров эллипсоида из несвязанных значительных астро­

номо-геодезических сетей и вывод исходных геодезических дат из триангуляции

СССР - из всех астропунктов; 4) использование имеющихся гравиметричесних материалов для испра­

вления астрономичесних ноординат за местные уклонения отвеса, а при отсут­

ствии этих материалов для этой цели - гипотезы изостазии.

Последние выводы параметров земного эллипсоида, основанные на исполь­ зовании новейших материалов и методов, дают результаты, близние к значе­ ниям параметров референц-эллипсоида :Красовского. Это позволяет сделать важное заключение, что параметры эллипсоида :Красовского установлены удачно,

близки R параметрам общего земного эллипсоида и отвечают требованиям,

предъявляемым к референц-эллипсоиду, нак основной ноординатной поверх­

ности.

....1• .-..

1

Гл а в а XIV

УРАВНИВАНИЕ АеГРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ

§ 89. Общие сведения

Уравнивание больших астрономо-геодезических сетей, в частности сети

СССР, наиболее обширной по сравнению с сетями других государств, предста­ вляет собой большую научно-техническую задачу. Число треугольников

астрономо-геодезической сети СССР определяется многими тысячами.

R уравниванию астрономо-геодезической сети СССР, как сети высшего 1\ласса и основы для развития геодезических сетей более низших классов, nредъявляются строгие требования. В результате уравнивания должны быть

получены максимально возможные точные значения всех ее элементов и в наи­

большей степени устранены влияния систематических ошибок. Конечно, ка­

чество и точность геодезической сети зависят в первую очередь от качества по­

левых измерений. Н о е с л и с т р о г и м у р а в н и в а н и е м н е л ь з я

с д е л а т ь с е т ь, и м е ю щ у ю н е в ы с о к у ю т о ч н о с т ь п о л е -

в ы х и з м е р е н и й, б о л е е т о ч н о й, т о х о р о ш у ю в п о л е -

вом исполнении сеть можно испортить примене­

нием неправильных методов и приемов ее обра­ ботки. Поэтому, учитывая значение астрономо-геодезической сети, необходимо для ее математической обработ1ш применять продуманную и научно обоснованную программу и методику. Недостатки математической обработки астрономо-геодезической сети проявятся при обработке сетей всех после­ дующих классов. Эти недостатки, в виде дополнительных ошибок исходных

данных, отрицательно повлияют на точность всех геодезических сетей после­

дующих классов.

Rак показали исследования проф. Красовского, одним из важнейших

условий правильной математической обработки астрономо-геодезической сети, а следовательно, и всей геодезической сети в целом является применение м е - то да пр о е кт и ров ан и я. В этом случае уравниваемые элементы сети на поверхности референц-эллипсоида находятся в определенной и точно установ­

ленной зависимости с результатами непосредственных измерений на поверх­

ности Земли. Свободные члены условных уравнений, составленные с исполь­

:\lеров п формы референц-эллиnсоида и его ориентировки в теле Земли. Условные

уравнения, составленные с использованием правильно редуцированных на по­

верхность эллипсоида измеренных величин, - математичесr{и строгие зависи­

мости, точно вытекающие из геометрических свойств соответствующих фигур на поверхности эллипсоида. Поправки измеренных величин получатся одинаково точными независимо от принятых параметров референц-эллипсоида (при при­

менении метода развертывания, как указывалось ранее, эти неточности и раз­

личия в параметрах референц-эллипсои:да вызывают дополнительные и сложные

деформации: элементов сети). Следовательно, при применении метода проек.ти­

рования строгость математической обработки астрономо-геодезической сет11 не пострадает, если будут взяты при ее уравнивании и не наилучшие размеры эллипсоида, что весьма существенно и важно. Правда, каr{ уже отмечалось, практически необходимо, чтобы референц-элли:псои:д геометрически был до­ статочно близок к геоиду. Во-первых, тогда расхождения между вычислен-

394

ными элементами на поверхности референц-эллипсоида и их действительными

значениями на земной поверхности будут наименьшими, что практически весьма

существенно во многих случаях использования геодезических координат;

во-вторых, чем ближе располагаются указанные поверхности одна к другой, тем меньше редукции и, следовательно, с меньшей точностью нужно знать

исходные величины для вычисления редукции.

Заметим, что в случае необходимости перехода после уравнивания сети к другим размерам и ориентировке эллипсоида никаких затруднений не воз­ никнет; задача будет заключаться в перевычислении уравненных координат при помощи дифференциальных формул, причем без каких-либо нарушений

строгости вычислений.

Одновременно заметим, что применение метода проектирования требует

до уравнивания сети установления размеров и ориентировки референц-эллип­

соида.

Итак, первая стадия математической обработки астрономо-геодезической сети - редуцирование измеренных величин на поверхность эллипсоида (глава

XII).

После редуцирования выполняется уравнивание астрономо-геодезической сети. В этой части обработки обширных астрономо-геодезических сетей возни­

кают существенные трудности.

Метод строгого уравнивания астрономо-rеодезической сети путем совмест­ ного решения всех возникающих в сети условных уравнений под условием ми­ нимума суммы квадратов поправок направлений (или углов) до настоящего времени не мог быть применен вследствие его громоздкости. Возможности его применения открываются сейчас на основе использования быстродействующих электронных машин. Однако вопросы применения электронно-счетных машин к решению своеобразных уравнений, возникающих в астрономо-геодезической сети, еще требуют научных исследований и экспериментов; кроме того, как

указывает проф. Ф. Н. Красовский [31], имеются сомнения в том, что результаты

такого уравнивания будут наилучшими.

Учитывая огромные трудности, возникающие при совместном уравнивании всей астрономо-геодезической сети под условием минимума суммы квадратов ошибок непосредственно измеренных величин, можно представить себе метод

последовательного уравнивания сети по <<частям>>, когда каждая часть после

уравнивания рассматривается как твердая. Этот способ уравнивания в чистом виде не может быть признан целесообразным, так как при его применении нару­

шается совместность уравнивания, что может вызвать дополнительные искаже­

ния отдельных элементов и частей триангуляции.

Астрономо-геодезическая сеть СССР, как известно, по построению пред­

ставляет собой систему приблизительно квадратных полигонов, стороны кото­ рых равны в среднем 200 км. В вершинах полигонов (т. е. в пересечениях рядов триангуляций 1 класса), расположенных по меридианам и параллелям, имеются определенные из базисных сетей или из непосредственных измерений твердые

значения длин сторон триангуляции и азимуты Лапласа. Благодаря наличию

выходных сторон и азимутов Лапласа астрономо-геодезическая сеть разбивается

на определенные и достаточно независимые части, которыми являются звенья

триангуляции 1 класса, т. е. части рядов между двумя смежными вершинами полигонов 1 ~шасса.

В связи с этим имеются основания р а с с м а т р и в а т ь р е з у л ь -

таты измерений в каждом звене триангуляции

1 класса независимо от результатов измерений

395

вд р у г и х з в е н ь я х. Поэтому :возникла мысль заменить треугольники

каждого отдельного звена г е од е з и ч е с к ой лини е й, соединяющей

конечные точки звена. В этом случае кю{ бы независимыми и непосредственно

измеренными величинами принимаются длины и азимуты этих геодезичес1<их

линий; астрономо-геодезическая сеть обращается в систему полигонов, в которых

измеренными величинами становятся длины и азимуты сторон полигонов.

Идея замены отдельных звеньев триангуляции геодезическими линиями

была предложена известным немецким ученым Гельмертом еще в прошлом

,столетии; им же был разработан метод обработки астрономо-геодезической сети,

:включающий одновременно уравнивание ее и вывод размеров и ориентировки

:земного эллипсоида. Для обработки астрономо-геодезической сети СССР спо­ ·СОб Гельмерта вследствие громоздкости не мог быть использован; кроме того, :этот способ обработки сети основан на применении метода развертывания. По Гельмерту, предполагается, что измерения редуцированы на поверхность

г е о и д а, а редукции за переход от геоида к эллипсоиду пренебрегаемы.

§ 90. Понятие о методах уравнивания

астрономо-геодезической сети СССР

Разработка предложений по уравниванию астрономо-геодезической сети

СССР и соответствующих методов была выполнена профессором Ф. Н. Rрасов­

ским. При этом он использовал идею замены звеньев триангуляции 1 класса

геодезическими линиями. В первом варианте разработанного Ф. Н. Rрасов­ ским метода уравнивания и примененного при обработке первых 9 полигонов триангуляции 1 класса в 1930-1932 гг. предусматривался следующий порядок

уравнительных вычислений.

1. Строгое уравнивание каждого звена триангуляции 1 класса за возни­ кающие в нем условия, включая базисные и азимутальные. Результатом этого

этапа уравнительных вычислений будет вывод по уравненным направлениям длины и азимута геодезической линии, соединяющей конечные точ1<и звена.

2. Совместное уравнивание образовавшейся после первого этапа вычисле­ ний системы полигонов, образованных геодезическими линиями, за координат­

ные или полигональные условия с присоединением азимутальных условных

уравнений. Результатами выполнения этого этапа вычислений будут уравнен­

ные значения длин и азимутов геодезических линий - сторон полигонов.

Имея уравненные значения длин и азимутов сторон полигонов триангуляции

1.- класса, вычисляют координаты вершин полигонов, значения которых уже

будут окончательными.

3. Вставl{а отдельных звеньев между твердыми вершинами полигонов с при­

соединением базисного и азимутального условных уравнений. Эта вставl{а может выполняться по методу 'Урмаева. Результатами последнего этапа вычислений

будут окончательные геодезические координаты всех пуНI{ТОв триангуляции

1 нласса.

При выполнении второго этапа - уравнивания полигонов - длина гео­

дезической линии, соединяющей I{Онечные ТОЧI{И звена триангуляции 1 класса, и азимут этой линии (точнее, углы ~ - разности азимутов геодезических ли­

ний и азимутов выходных сторон в вершинах полигонов, см. § 89) принимаются

I{aK непосредственно измеренные независимые величины.

В действительности это, конечно, не так: длины и азимуты геодезичесl{ИХ

линий не независимы, они являются сложными функциями одних и тех же

396

величин - уравненных направлений или углов в данном звене триангуляции

1 класса, а следовательно, они не являются независимыми.

Указанное допущение - отступление от правил способа наименьших

нвадратов, согласно которым условные уравнения должны составляться,

принимая за измеренные и независимые величины направления (углы) на

каждом пункте. В то же время изложенный выше способ Красовского имеет существенные достоинства. При его применении соблюдается требование сов­ местности уравнивания всей сети в целом; выполнение этого требования вполне осуществимо даже для такой обширной сети, как астрономо-геодезическая сеть СССР. В Руководстве по высшей геодезии Красовского содержится указание о том, что, по некоторым данным, при замене звеньев триангуляции 1 класса геодезическими линиями деформации будут меньшими, чем при совместном

уравнивании всех направлений (углов) сети - <шри наличии слабых мест>> в том или ином триангуляционном ряде. Конечно, такие <<слабые места.>> всегда

могут быть в большой астрономо-геодезической сети. Вывод длин и азимутов

геодезических линий раздельно из каждого триангуляционного звена, учиты­

вая сравнительно высокую точность определения длин и азимутов исходных

сторон, имеет достаточно веские основания. Если считать эти определения без­ ошибочными, то вывод длин и азимутов значений, независимо для отдельных

.звеньев, должен считаться точным.

Проф. Красовский, много занимавшийся вопросами уравнивания астро­

номо-геодезических сетей, придавал большое значение возможно точному

выводу длин и азимутов геодезических линий, соединяющих конечные точки

.звеньев. Он, в частности, считал весьма важным уменьшение координатных невязок в полигонах при их совместном уравнивании. Для этой цели он раз­ работал ряд новых предложений, основные из которых приняты при втором

уравнивании астрономо-геодезической сети, выполненном к 1945-1946 гг. Эти новые предложения проф. Красовского, реализованные при втором уравни­

вании, предусматривали следующий порядок и программу уравнительных вычислений:

1. Уравнивание звеньев триангуляции 1 класса за условия только фигур, полюсные и базисные.

2. Составление азимутальных условий по каждому звену с использованием

при этом п р е д в а р и т е л ь н о у р а в н е н н ы х углов, полученных

в результате выполнения пункта 1; совместное решение всех азимутальных

условий с нахождением поправок в долготы и астрономические азимуты на пунк­

тах Лапласа.

3. Вторичное уравнивание звеньев триангуляции по н е п о с р е д с т - в е н н о и з :м: е р е н н ы м н а п р а в л е н и я м за условия фигур, бази­

-сов и азимутальное; при составлении азимутальных условий астрономические долготы и азимуты исправляются поправками, найденными при выполнении

пункта 2. После уравнивания вычисляют длину и азимут геодезической линии для каждого звена триангуляции 1 класса.

4. Уравнивание полигонов и окончательное вычисление координат вершин

полигонов.

5. Вставка звеньев триангуляции между вычисленными, согласно пункту 4,

Rоордината:м:и вершин полигонов, исходными сторонами и азимутами Лапласа. Из сравнения этой программы уравнивания астрономо-геодезической сети ,с изложенной ранее следует, что общий план уравнивания остался прежним:

1) вывод длины и азимута геодезической линии по звену, 2) уравнивание

полигонов и 3) вставка ряда. Но в последней программе уравнивания длина

397

111.

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

НА ЗЕМНОП ПОВЕРХНОСТИ

Гл а в а XV

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ АСТРОНОМИИ

§ 91. Общие сведения

Астрономические работы играют важную роль при решении научных и

практических задач геодезии.

Перечислим кратко основные случаи использования астрономических

широт, долгот и азимутов в геодезии.

1. Астрономические определения широт и долгот на соответствующих пунктах триангуляции являются важной составной частью г р а д у с н ы х измерений, имеющих целью определение размеров и формы Земли

вцелом.

2.Астрономические определения широт и долгот пунктов вместе с резуль­

носительно референц-эллипсоида.

3. Астрономические наблюдения доставляют значения исходных геодези­

ческих координат для начального пункта триангуляции, от которого произво­

дят вычисление координат всех последующих пунктов. Иначе говоря, астроно­

мические координаты позволяют осуществлять ориентировку референц-эллип­

соида в теле Земли и определяют географическое положение триангуляции, а следовательно, и планшетов топографической съемки на поверхности

Земли.

4. Астрономические азимуты после введения в них поправки за уклонения

{)Твесных линий (азимуты Лапласа) контролируют в триангуляции и полигоно­

метрии угловые измерения, обеспечивают постоянство ориентировки триангу­

ля.ции и повышают точность определения координат пунктов.

5. Астрономические наблюдения позволяют определять координаты точек

.земной поверхности как опорных пункт о в топографических съемок.

При этом надо учитывать, что координаты астрономических пунктов искажены

влиянием уклонений отвесных линий; поэтому пользоваться астрономическими

пунктами в качестве опорных можно только при съемке в масштабе 1 : 100 ООО

и более мелких масштабах. Но именно в этих масштабах производятся съемки в труднодоступных районах и создание обоснования съемок в виде сети астро­ номических пунктов целесообразно с организационной и технико-экономиче­ ской стороны.

6. Астрономичесн.ие азимуты, определяемые на точках теодолитных ходов,

являются хорошим независимым контролем измерений и обеспечивают суще­

ственное повышение точности этих ходов.

7. Астрономические наблюдения являются средством: определения гео­

графических координат корабля на море и самолета в воздухе.

399