Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

Г JI а в а XI

высоты

§ 71. Общие сведения

.'!\ . Высота точек земной поверхности Н - одна из координат, определяющих

.~11t- tJпypy Земли и отдельные ее точки относительно исходной отсчетной поверх-

1~J1ости. Если геодезические координаты Вм и Lм определяют положение проек­

~<>ции точки М на референц-эллипсоиде, то высота Нм определяет отстояние 11.i точки М от эллипсоида по нормали к нему. Тем самым высоты всех точек ЗемJr:и

··,"} оuределяют фигуру физической поверхности Земли относительно принятого

~~( референц-эллипсоида.

Кроме того, высоты необходимы для определения работы, совершающейся

в·ри движении в гравитационном поле Земли.

Разности высот точек земной поверхности, получаемые из нивелирования,

~пределяют разность потенциалов силы тяжести между этими точками. Если

известно значение потенциала W O в исходном футштоке, то в результате нивели­

рования легко вычислить значения потенциалов силы тяжести в соответству-

. l)ЩИХ точках поверхности Земли по известной формуле (58.18).

Практическая роль, которую играют высоты, заключается в следующем.

Высоты точек земной поверхности определяют рельеф, который необхо­

АIJИО изобразить на топографических картах. Точное значение разностей высот · .отдельных точек поверхности Земли совершенно необходимо для проектирова­ вия и строительства различных сооружений, для различных расчетов, в которых

а.до учитывать положение точек в пространстве.

Знание высот необходимо для вычисления редукций в непосредственно

,,.аамеренные на земной поверхности величины (углы, базисы) при переходе на ttQерхность относимости, без чего не может осуществляться строгая матема­

J1111еская обработка геодезических измерений на эллипсоиде.

. :·tf': Требования к точности определения высот в различных целях колеблются

:\•:~ечень больших пределах, но многие из них весьма высокие, и они могут быть

· '"t&,спечены лишь при теоретически строгом решении возникающих вычисли-

с}1t11ьных задач. Однако вопрос о точном вычислении высот точек Земли долгое

\.мя не был решен с необходимой строгостью; только исследования и предло­

)88JIИЯ Молоденского внесли полную ясность в этот вопрос и дали строгое его

,;;.:.:~ние.

}t,,/ Из непосредственных измерений получаются р а з н о с т и высот точек

/t,или. Поэтому для вычисления высот необходимо знать высоту точки, прини­

}fltемой за начальную или исходную. Примем, что высота начальной точки из-

. (~тна (см. главу XIII) .

.~~'/ Геодезические высоты Н принято получать из измерений как сумму двух

},l!ааrаемых: расстояния от референц-эллипсоида до поверхности геоида, или

/Ьаsиrеоида и расстояния от одной из этих поверхностей до соответствующей t;tояки поверхности Земли.

i ,.ц Оба указанных выше слагаемых должны быть отрезками нормали к поверх­

'( ilteти референц-эллипсоида. Поясним это геометрически (рис. 134) и приведем rаавные и заключительные выводы, а подробное рассмотрение и доказательства тх выводов дадим в последующих параграфах этой главы.

Из рис. 134 для геодезической высоты~точки М имеем:

В формуле (71.1) HL_ - о ртом е три чес к а я высота и ~fl - вы­

сота точки М над поверхностью геоида. Именно при помощи этих величин до последнего времени вычислялись геодезические высоты. Исследования Моло­ денскоrо показали, что принципиально строго, без привлечения гипотез о внут­ реннем строении Земли, оба слагаемых правой части выражения (71.1) не могут быть вычислены. Зато могут быть вычислены точно оба слагаемых выражения

(71.2) Н1 - н о р м а л ь н а я высота и ~м - а н о м а л и я в ы с о т ы,

высота квазиrеоида над поверхностью референц-эллипсоида. Поэтому для вы­ числения геодезических высот Н в СССР в настоящее время применяется форму­ ла (71.2), предусматривающая ис­

уровенных поверхностей (а это всегда возможно при изображении рельефа на

топографических картах и во многих случаях использования высотных данных

для практических расчетов), то поверхность, проходящая через точки, имеющие одинаковые высоты № или flY, будет горизонтальной. Это вполне согласуется

с общепринятыми представлениями о высотах точек Земли и рельефе ее поверх­

ности. Например, в пределах некоторой области (при таком выборе рабочей

отсчетной поверхности для высот) точки, имеющие одинаковые высоты, могут

практически считаться находящимися на одной водной поверхности (при ее спокойном состоянии). Преимущество такого выбора отсчетной поверхности

практически состоит также в независимоети определения высот от референц-эл­ липсоида - его размеров и ориентировки. По указанным соображениям, в пу­

бликуемых каталогах приводятся нормальные высоты flY реперов и центров

триангуляций *.

Из сказанного следует, что при вычислении высот практически приходится иметь дело с двумя отсчетными поверхностями: 1) референц-эллипсоида для вы­ числения геодезических высот Н, определяющих по высоте точки земной поверх­

ности относительно поверхности относимости, и 2) квазиrеоида для вычисления

нормальных высот, используемых в практических расчетах и показываемых

на картах при изображении топографического рельефа.

* До введения системы нормальных высот приводились ортометрические высоты.

232

Для реше~ия научных и практических задач геопезии необходимо знать

, ысоту Н, как сумму двух слагаемых НУ и ~' с непременным выделением зна·· · евий каждого из них для любой точки Земли.

Теперь укажем способы их определения.

Точно высоту нУ определяют методом геометрического нивелирования. лияние непараллельности уровенных поверхностей поверхности квазигеоида итывается по гравиметрическим данным. Метод тригонометрического ниве­

рования практически для точного определения высот непригоден вследствие

·езнания коэффициента земного преломления в моменты измерений.

Для вычисления аномалии высоты ~ принципиально могла бы быть при:м:е­

~"'•на формула (62.14), т. е.

·,,

i~тот:метод однако практически неприменим вследствие неполноты и незавершен­

сти мировой гравиметрической съемки, так 1шк интегрирование по форму- е(71.4) необходимо производить по всей поверхности Земли. Rро:м:е того, даже ри наличии материалов мировой гравиметрической съемки, используя форму­

ы (71.3) или (71.4), мы получили бы высоты ~ относительно общего з ем -

о г о э л л и п с о и д а, а не от принятого р е ф е р е н ц - э л л и -

е о и д а. Поэтому аномалии высот определяют иначе - путем последователь-

оrо вычисления малых разностей аномалий высот ( ~п- ~п- 1 } по выбранным про­

илям, аналогично тому как определяют высоты при геометрическом нивелиро­

вии. Эти разности определяют особыми методами а с т р о н о м и ч е с к о г о

а с т р о н о м о - г р а в и м е т р и ч е с к о г о н и в е л и р о в а н и я.

н и при выводе уклонений отвесных линий, наилучшее решение задачи по

ределению аномалий высот ~ дает метод астрономо-гравиметрического ниве­

_рования, основанный на совместном использовании результатов астроно-

~геодезических и гравиметрических измерений.

Геодезические высоты Нм без выделения слагаемых нУ и ~ можно получить

метричес1ш, т.. е. только по астрономо-геодезическим измерениям.

Действительно, пусть заданы как исходные два пункта: А (ВА, LA, Нл)

д (Вв, Lв, Нв). "Указанные в скобках координаты определяют положение

ух пунктов относительно поверхности референц-эллипсоида. Представим себе,

о земная поверхность покрыта пунктами триангуляции, на которых произве­

вы измерения горизонтальных направлений и зенитных расстояний на смеж­

,_ е пункты. Допустим, что на каждом пункте также определены астрономиче­ :•:кие координаты ер и 'А. Тогда для пунктов триангуляции легко получить соста­ ;яющие уклонений отвесных линий sи 11 по формулам (65.17).

,Теперь от измеренных зенитных расстояний перейдем к геодезическим

+(Z - z}. Поправка (Z - z) = scos Ат +11 sin Ат (см.о6

Вычисляя превышения пунктов триангуляции по полученным таким обра-

.:М Z (по формулам тригонометрического нивещ1рования) и используя извест­

высоту начальной точки А, получаем г е о д е з и ч е с к и е в ы с о т ы :всех пунктов триангуляции. Иначе говоvя,. IЩ основании измерений только

1

1

геометрических элементов определится поверхность Земли относительно при­ нятого референц-эллипсоида.

Практически такой путь изучения фигуры Земли неосуществим с достаточ­ ной точностью вследствие ошибок в измерении вертикальных углов, вызванных

действием вертикальной рефракции.

Могут быть предложены и другие схемы геометрического метода изучения физической земной поверхности. Однако практически все они уступают по точ­ ности, или по затратам труда методу, основанному на использовании формулы

Нм=НL+~м.

§ 72. Системы счета высот

Rак отмечено, для точного определения разности высот точек поверхности Земли применяется метод геометрического нивелирования, основанный на ис­

пользовании горизонтального луча визирования, т. е. луча, направленного

по касательной к уровенной

поверхности в точке наблюде­ ния. Положение этого луча

геометрическом нивелирова­

нии определяется как сумма превышений Лh между близкими точками по ходу ни­

велирования. В дальнейшем будем считать, что методы точного нивелирования

известны, а ошибки полевых измерений отсутствуют. Лишь при рассмотрении

вопросов о достаточной точности формул и необходимости учета малых попра-

мерений.

Вследствие непараллельно­

сти уровенных поверхностей

идеальная и простая схема гео­

плотности внутри ее.

Действительная схема геометрического нивелирования показана на рис.136,

на котором приведены обозначения: и0 - отсчетная поверхность, которую при­ мем за эллипсоид вращения; Мп - нормаль к этой поверхности, Mk - прямая,

324

j

раллельная касательной к поверхности и 0• Пусть и - уровенная поверхность Ьрмалъноrо поля Земли, проходящая через точку нивелирования (горизонт

струмента}, и Мп1 - нормаль к этой поверхности. Если бы действительное · ,;авитационное поле Земли совпадало с нормальным, то направление отвесной нии совпадало бы с нормалью Мп1, а визирный луч представлял бы касатель­

. ю Mk 1 к поверхности и; в этом случае непараллельность уровенных поверх­

. ёетей выразилась бы в отсчете по рейке влиянием угла между Mk и Mk 1 •

о вследствие влияния аномальных масс действительное направление отвесной

', ии представляется направлением отрезка Мп2, перпендикулярным к реаль­

.1 уровенной поверхности W; тогда действительное направление визирного

· а с нивелирной станции определится направлением отрезка Mk 2 • как каса­

п;ьной к поверхности W, проходящей через станцию наблюдений. Если влия-

е непараллельности уровенных поверхностей и 0 и и, 'J'; е. угол между норма-

ми к ним Мп и Мп1, может быть учтено сравнительно просто, по одной из

, рмул теории нормального потенциала силы тяжести, то влияние отклонения

овенной поверхности действительного потенциала, выражающееся в отклоне­

действительного направления отвесной линии Мп2 от нормалей Мп1 или

п, таким простым способом учтено быть не может, так как оно зависит от ом:ального распределения масс внутри Земли. При_рода этоrо отклонения тре­

ет дополнительных измерений на каждой установне нивелира для учета дей-

ительного направления визирного луча - измерения силы тяжести.

; В принципе можно представить себе и другой путь определения угла между

'сательными к уровенным поверхностям, проходящим через начальную точку

.точку наблюдения: если на каждой станции нивелирования получить астро-

ические и геодезические координаты, то надлежаще вычисленные уклонения

есной линии и будут углом между названными касательными; однако такой

ть вычисления поправок нереален.

Следовательно, процесс геометрического нивелирования, простой по идее

.. ервом приближении, существенно осложняется при более строгом его рас­

Ьтрении.

., Непосредственно измеряемые превышения нивелированием при помощи lвзонтального визирного луча, перпендикулярного направлению отвесной

и, представляют собой превышения относительно плоскости, касательной овенной поверхности, проходящей через горизонт инструмента. Для полу-

ия превышения относительно отсчетной поверхности должна быть введена равка за непараллельность этой уровенной поверхности и поверхности от-

имости, представляющая собой влияние угла между касательными к этим

,ерхностям по линии нивелирования; эта поправка определяется по данным

виметрических измерений. Таким образом, при определении разности высот

ек земнойповерхности производятся измерения превышений при помощи гори-

·.тального визирного луча и измерения силы тяжести вдоль нивелирного хода.

'.Пусть на рис. 137 изображен профиль земной поверхности, пересекающий

ку О, служащую началом счета высот. Из геометрического нивелирования

бходимо определить высоту точки М.

Пусть отрезки Лh - превышения, полученные из наблюдений на последо­

·пьных нивелирных станциях вдоль нивелируемой линии ОМ. Тогда сумма

:вдоль выбранной линии даст некоторую величину, которую обозначим через

,т. е.

о

325

или, приняв Лh за элементарное превышение dh,

о

Низм зависит от пути нивелирования.

Действительно, пусть от О к М нивелирование выполняется по двум пу. тям: 1) от точки О до К и от точки К по уровенной поверхности к точке М и 2) от точки О вдоль поверхности геоида к точке М1 и от точки М1 к точке М.

Нетрудно видеть, что в первом пути нивелирования величина Низм опре­

делится отрезком ОК, а во втором - отрезком ММ1 , причем вследствие не­

параллельности уровенных поверхностей ОК =I= М 1М. Выбирая какой-либо

Рис. 137

иной путь нивелирного хода, получаем третье значение величины Низм, не рав­

ное двум предыдущим.

Если бы уровенные поверхности были параллельны, т. е. представляли

собой концентрические сферы, то величина Низм = ~ Лh представляла бы вы­

соту точки М как расстояние от М до геоида по нормали к последнему, т. е. до

точки М1 • Такое допущение возможно только в работах малой точности (техни­

ческое нивелирование, нивелирование IV и III классов) или в точных нивели­

ровках при очень малой протяженности нивелирного хода.

'Указанная выше неопределенность в выводе высоты Низм, т. е. зависимость

значения высоты точки от пути нивелирования, недопустима в точных нивелир­

ных работах на значительной территории.

Дальнейшая наша задача - изложение теории определения высот, учи­

тывающей непараллельность уровенных поверхностей нормального поля Земли,

влияния аномальных масс Земли и позволяющей однозначно определить зна­

чения высот независимо от пути нивелирования.

откуда для нашего случая (см. рис. 137), используя принятые обозначения,

326

18тому постоянно и ЛW = Jg dh. Отсюда следует, что значение J gd h не зависит

ом

.{e'rпути нивелирования, а толь:ко от положения начальной и :конечной его точек.

. де g - некоторое значение силы тяжести.

Приращение потенциала силы тяжести в данной точке относительно на­

ом

j,,, Следуетиметь в виду, что главнойхара:ктеристи:койвысоты репера является

•f".

;~•иенно геопотенциал, :как непосредственно измеренная величина, а не какие-

}1i~:.1lибо расстояния от данной точки до некоторых воображаемых поверхностей. i·ti· Если высота начальной точки не равна нулю, например, если начальным

~[nунктом нивелирного хода является точка А, имеющая высоту НА, то будем

1jк и е.

'.,.).);'·.'·· Рассмотрим последовательно~теории этих систем и получим формулы для

i;, . вычислений.

\~ :.

1. Приближеппые высоты

Приближенные высоты получатся, если не принимать во внимание реаль­

гравитационное поле силы тяжести Земли.

R вычислению приближенных высот приходится прибегать в том случае,

вдоль линии нивелирования не производились измерения силы тяжести,

ляющие влияние действительного поля силы тяжести Земли; вычисление

ближенных высот используется и как промежуточный этап при вычислении

сот в других системах.

Иа определения приближенных высот следует, что измеренные величины

· следует исправить только за непараллельность уровенных поверхностей

мального поля.

327

l

Обозначая Ли - разность потенциалов уровенных поверхностей, т. е.

исходной и проходящей через данную точку; 'V - силу тяжести нормального

потенциала и Нприб - искомую высоту, на основании (72.5) напишем

м

где "?т - среднее значение нормальной силы тяжести на отвесной линии ММ 1 •

2. Ортометрические высоты

Ортометрическими высотами называются расстояния от поверхности геоида

до точек земной поверхности, считаемые по отвесным линиям, проходящим

через эти точки. Для точки М (рис. 137) ортометрическая высота выразится

расстоянием ММ1 •

Для применения формулы (72.5) определим несколько иначе разность по­ тенциалов W O - wм. Так как точки О и М1 лежат на одной уровенной поверх­

где g~ - среднее значение действительной силы тяжести на отрезке отвесной

нивелирования и ортометрические высоты точек, расположенные на одной уро­ венной поверхности, будут иметь разные значения, так как расстояния от геоида до уро11енной поверхности точки М не остаются постоянными и будут зависеть от gm, значения которых будут различными в разных точках.

Ортометрические высоты имеют крупный недостаток принципиального

характера - они не могут быть вычислены точно, так как входящая в формул!

для № величина gm сложным образом зависит от распределения плотностеи внутри Земли, которые в настоящее время неизвестны. Величину Ж можnо

вычислить, задаваясь той или иной гипотезой распределения масс Земли. В этом

случае точность вычисления № будет зависеть от степени достоверности при-

328

к~яенной гипотезы строения Земли. Вследствие этого не представляется воз­

можным в полной мере оценить точность получаемых высот №.

Еt;ли применять ортометрическую систему высот, то геодезическая высота

Нм точки М, показанная на рис. 13.4 отрезком ММO определится

Hм=HL+,f1 ,

rде ~:-1' - высота геоида над поверхностью относимости, которая, нак показали

специальные исследования, таюке не может быть вычислена точно. Поэтому при

. применении системы ортометричесних высот задача по вычислению геодезиче­

ских высот не получает точного и строгого решения.

От этого весьма существенного недостатка свободны нормальные высоты, которые ввел Молоденский при разработке общей теории исследования фигуры

Земли.

В практике геодезичесних работ СССР применялись ортометрические вы­

. соты; во многих странах они применяются и сейчас. В СССР и социалистических

етранах перешли к системе нормальных высот.

3. Нормальиые высоты

Изложим теорию нормальных высот* неснольно подробнее, чем в § 61, получим удобные рабочие формулы для их вычислений. Обратимся к рис. 138.

'f)оdенная поdерх·

, 11ость с11пы

~ \ m>!Jl(l'Cmt/ W• W,.,

,Нг,

\ ::1роt1енная пolltpx·

1HOCmb НО/J!ШЛЬНОШ

1потешшапа и=Wм

н,.,

Рис. 138

.. Пусть основная уровенная поверхность - геоид определяется уравнением

.= W O = пост. и за поверхность относимости принят уровенный эллипсоид

i : ходящеи через данную точку земнои поверхности М, обозначим через W м.

(,;;:~браэим сечение уровенной поверхности нормального потенциала, для кото­

,;,; 1 и = Wт; пусть это будет :кривая О1М2 , тогда

(72.12)

•До 1951 г. высоты, определяемыР по формуле (61.2), Молоденский называл вспомога-

1..Ь11ы:ми; с указанного вре:иепп высоты Hr по его прецложению получили название н о р -

•~ ь пых.

329