Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

ний по высшей геодезии [27], [32], [28] и других, куда мы и отсылаем читате­

лей, желающих более детально ознакомиться с этим вопросом.

Заметим лишь, что история развития градусных измерений - важней­ шая часть истории геодезии как одной из областей естествознания. Проблемой изучения фигуры Земли, начиная с древних времен, занимались гениальные

ученые и мыслители, обогатившие науку замечательными открытиями и выда­

ющимися исследованиями в разных ее областях. Постановка и выполнение градусных измерений беспрерывно сопровождались разработкой новых тео­ рий, методов точных геодезических измерений и математической обработки их результатов, использованием достижений смежных областей знания - мате­ матики, механики, физики, инструментостроения и т. д.

Первое исторически достоверное определение размеров Земли принад­ лежит Эратосфену (111 в. до нашей эры). В первом столетии нашей эры греки и арабы дали еще несколько определений размеров Земли. В средние века

.сведения о шарообразности Земли и ее размерах были почти забыты и лишь в XVI в., ознаменовавшемся выдающимися морскими путешествиями и откры­

тиями, начинаются новые работы по определению размеров и формы Земли.

R этому же времени относится и применение метода триангуляции в геодезиче­ ских работах, которое составило эпоху в развитии и постановке градусных измерений. Трудности, связанные с преодолением естественных препятствий

при непосредственных измерениях дуг на земной поверхности, отпали, резко

повысилась точность измерений; появилась возможность измерения больших расстояний на земной поверхности. В Голландии и Франции в ХVПв. были

проведены первые градусные измерения с применением метода триангуляции.

Изобретателем этого метода был голландский ученый Снеллиус (1615 г.).

Важно отметить, что постановка и исполнение градусных измерений до конца XVII в. исходили из предпосылки, что Земля - шар и, следова­ тельно, задача сводилась к определению радиуса земного шара. Для этого

периода изучения формы Земли характерен также чисто геометрический путь

решения задачи, т. е. определение радиуса Земли на основании простейших геометрических зависимостей между радиусом и измеряемыми непосредственно

на земной поверхности дугами.

Помимо изложенной выше схемы вывода радиуса Земли, применялись

и другие пути решения задачи, также основанные на чисто геометрических

построениях, как, например: на основании измерения <<угла понижения гори­

зонта>>, измерения зенитных расстояний на концах дуги известной длины, при помощи определяемых из измерений сферических избытков замкнутых фигур, образованных на поверхности Земли. Однако эти методы не получили и не могли получить применения, так как они уступали по точности способу, изло­ женному в начале параграфа.

Новая эпоха в изучении фигуры Земли началась после открытия гениаль­ ным Ньютоном закона всемирного тяготения. Исходя из предположения, что наша п.'Iанета была некогда в огненно-жидком состоянии, Ньютон теорети­ чески пришел к выводу, что Земля должна иметь форму эллипсоида, сжатого

по направлению полюсов *.

Рассужденч:я Ньютона были таковы: если бы Земля не вращалась вокруг

своей оси, то все частицы ее, 5удучи: подвержены взаимному прит:~~и20;...

"' В настоящее время болылинство геофизиков не разделяют предположение о перво­ начаJiыюм огненно-жидком состоянии Землн, подробнее см. § 51.

210

должны образо-вать тело, имеющее форму шара. Вследствие суточного враще­ ния Земли вокруг своей оси в каждой точке возникает центробежная сила,

действующая перпендикулярно к оси вращения и стремящаяся растянуть

Землю по направлению экватора. Очевидно, эта сила будет наибольшей во всех точках экватора, а на пол19сах равна нулю. Отсюда следует, по Ньютону, что Земля вследствие суточного вращения должна принять форму, близкую

к фигуре эллипсоида вращения, сплюснутого у полюсов.

Для проверки теории Ньютона следовало определить длину дуги мери­

-диана в один градус под разными широтами. Если бы длина градуса меридиана под северной широтой получилась больше, чем под южной, то это доказывало бы сплюснутость Земли у полюсов.

Первая попытка подтвердить теорию Ньютона не увенчалась успехом. Выполненное под руководством Rассини градусное измерение во Франции,.

вследствие ошибок измерений и методических недочетов в постановке работ,

привело к противоположным результатам, т. е. из этого измерения получился

вывод, что Земля представляет собой фигуру, вытянутую в направлении по­

люсов.

Для окончательной проверки теории Ньютона Французская академия наук организовала две экспедиции: одну - в Перу (1735-1742 rг.), где была измерена дуга, пересекшая экватор; другую - в Лапландию (1736-1737 rr.), rде были выполнены градусные измерения под широтой около 66°. Результаты

обработки материалов этих экспедиций полностью подтвердили теорию Ньютона.

Вопрос о фигуре Земли привлекал в это время чрезвычайно большое вни­

мание ученых всего мира.

Проф. Rрасовский в своем <<Руководстве по высшей геодезию> [31] пишет:

С подтверждением теории Ньютона об эллипсоидальности Земли начался новый этап в развитии знаний о фигуре Земли.

Этот этап характерен тем, что в основу научных изысканий были поло­ жены два метода изучения фигуры Земли - r е о м е т р и ч е с к и й и ф и -

ви чес кий.

Впринципе геометрический метод остался прежним, за исключением того, что для вывода земного эллипсоида возникла необходимость определять числовые значения двух его параметров, например большой полуоси а и сжа­ тия а; следовательно, :минимально необходимое число уравнений градусных

измерений стало равным двум.

Геометрический метод определения фигуры Земли иллюстрируется фор­

мулой (50.3). Входящий в нее угол - разность широт ср 2 - ср 1 - предста­

вляет собой разность направлений отвесных линий в точках А и В или, иначе,

на n р а в лен и й с илы тяжести. Следовательно, в геометрическом методе используются направления силы тяжести. В физическом методе исполь­ зуется н а п р я ж е н и е силы тяжести, выражающееся в сообщаемом ею

телам у с к о р е н и и.

С открытием Ньютоном закона всемирного тяrотенРя стало возможным

рассматривать вопрос о форме Земли в целом как физическую задачу равно­

весия жидкого или вязкого вращающегося тела, все частицы которого взаимно

притягиваются по этому закону. Из элементарных рассуждений следует, что в этом случае внешняя фигура Земли должна определяться функцией величины

21

центре. Иначе говоря, если Ньютон полагал, что притяжение Земли склады

вается из действия всех частиц, то Гюйгенс положил, что сила притяжения во

В обоих выводах сжатия Земли в качестве исходных условий взяты край-·

ние гипотезы о ее внутреннем строении. В действительности, плотность Земли

в целом возрастает от поверхности к ее центру. Следовательно, и действитель­

ное значение сжатия должно лежать где-то между полученными Ньютоном

и Гюйгенсом значениями.

После окончательного установления факта эллипсоидальной формы Земли 1ю многих странах получили большое развитие работы по градусным измере­

ниям и выводам размеров земного эллипсоида. Так, например, в XIX в. было

сделано более 20 выводов размеров земного эллипсоида. Этому способствовали,

с одной стороны, большой интерес, проявлявшийся учеными всех стран к про­ блеме фигуры Земли, новые возможности измерения больших дуг, открыв­

шиеся в результате применения метода триангуляции, совершенствование ме­

тодов геодезической астрономии и, с другой стороны, возраставшие требования

R развитию геодезических работ в целях картографирования территорий,

одновременно доставлявших данные для определения размеров и формы

Земли.

Определения размеров и формы Земли из градусных измерений и после ,·открытия сфероидичности Земли долгое время основывались на чисто геометри-·

ческом решении задачи.

Как уже отмечалось, если для определения радиуса Земли, принимаемой

за шар, н.1обходимо измерить одну дугу и определить астрономические коор­ динаты ее концов, то для вывода фигуры Земли, принимаемой за эллипсоид,

нужно измерить две дуги по числу параметров.

·.· Решая совместно уравнения (50.4), находим искомые а и t\ оnредел:я'tОщие

фигуру эллипсоида.

С XIX в. уравнения (50.4) при наличии больше дву~ дуг решались по спо­ ,еобу наименьших квадратов.

При этом считалось, что точность вывода а 11 е зависит от точности измере-

ния длин дуг s и широт <р, характеризующихся их ошибками, как случайными величинами. Иначе говоря, забегая несколько вперед, влияние уклонений отвесных линий на астрономичесние широты как бы принималось за случайные

~~mибни. Но сравнение результатов различных выводов размеров эллипсоида,

213

•п

·'*'~-

'

214

живая малые величины порядка сжатия

где gЧJ, g 0 , g90 - ускорения силы тяжести под широтой ер, на экваторе и полюсе

~соответственно;

Из предыдущих соображений следует, что для получения (50.5) и (50.6)

Клеро должен был задаться некоторым предположением о распределении масс внутри Земли. Он принял следующее: тело состоит из слоев различной плот­

ности, но разграниченных эллипсоидальными поверхностями с малым сжа­

тием; все эти сфероиды имеют общий центр и единую ось вращения; изменение плотностей при переходе от слоя к слою - произвольное; внешняя сфероиди­ ческая поверхность тела является поверхностью равновесия, т. е. уровенной поверхностью; вне внешней сфероидической поверхности не имеется никаких притягивающих масс *.

Позднейшие исследования показали, что несоответствие гипотезы, приня­ ,той KJ:tepo о строении Земли, действительному строению относится к наруж­ ному слою Земли, к так называемой земной коре, толщина которой, как уви­

.дим далее, по современным данным колеблется от 6 до 70 км. Известные сейчас изменения плотностей в слое земной коры вполне объясняют расхождения в значениях силы тяжести, получаемых фактически из измерений и вычисляе­

мых по формуле Клеро (50.5).

Как видно из поставленных условий и из вывода теоремы Клеро, написан-

ные уравнения (50.5) и (50.6) относятся к телу, имеющему форму эллипсоида

.вращения. Поэтому несовпадение значений ускорений силы тяжести, вычислен­

.щах по формуле (50.5) и наблюденных, подтверждает отступление фигуры

,ремли от формы эллипсоида.

Таким образом, по двум независимым путям определения формы Земли -

J~ е о м е т р и ч е с к о м у, основанному на использовании результатов изме­

рения геометрических элементов поверхности Земли (длин линий, углов и на­ правлений), и физическому, основанному на измерении ускорения силы тяже­

сти на земной поверхности, получено единое заключение, что фигура Земли по форме весьма близка к эллипсоиду вращения, но не совпадает с ним. При­

,;иеняя описанные методы определения фигуры Земли, следует сделать вывод, что она незначительно, но не непренебрегаемо мало отступает от эллипсоида

~ращения и имеет, с математической точки зрения, весьма сложную поверхность.

Поскольку и в первом случае и во втором все наблюдения hриводились

.к уровенной поверхности силы тяжести, совпадающей с невозмущенным уров-

* Как поназал поздпее английский ученый С т о к с, эти условия необязательиыi

достаточно поставить условие, что Земля представляет собой уровенную поверхность.

215

=ч

нем воды в океанах, то ясно, что под фигурой Земли в данном случае следует понимать поверхность геоида. Это название было введено во второй половине, XIX в. геттингенским физиком Листингом.

Поэтому до последнего времени задача определения фигуры Земли форму­

лировалась как изучение фигуры геоида.

Дальнейшее развитие теории фигуры Земли на основе измерения силы тяжести нашло отражение в работах Лапласа, Стокса, Слудского, Брунса,

Гельмерта, Пицетти, Венинг-Мейнеса

идр.

_______Р-, Большим шагом вперед в развитии назван-

ной теории явились исследования английского

ученого Стокса, который в 1849 г. решил задачу

определения формы внешней уроненной поверх­

ности по результатам измерения силы тяжести

без каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли.

ности Земли. Последнее затруднение в применении формулы Стокса неприн­

ципиально; оно выполнftется при надлежащей постановке гравиметрических

измерений на поверхности всей Земли. Значительно труднее теоретически и практически обеспечить выполнение первых двух условий. Попытки так назы­

ваемой регуляризации Земли, т. е. устранения влияния внешних масс и при­

ведения наблюдений к уровню геоида, не увенчались успехом; задача не полу­

чила точного решения.

Параллельно с развитием теории фигуры Земли на основе использования

результатов измерения силы тяжести развивались градусные измерения в виде­

обширных астрономо-геодезических сетей. Точность угловых, линейных и астрономических определений систематически росла, увеличивалась и террито­ рия, покрываемая градусными измерениями. Тем более становились недопу­

стимыми возникающие разногласия в измерениях, вызванные, как мы уже­

видели, отступлением уровенных поверхностей Земли от эллипсоида, т. е.

влиянием неравномерного распределения масс земной коры; возрастающая

точность измерений при применении геометрического метода вывода разме­ ров и формы Земли обесценивалась в процессе обработки результатов изме­ рений.

Это обстоятельство не только влияло на вывод параметров земного эллип­

соида, но и снижало точность определения координат геодезических пунктов

как опорных для топографических съемок и для других целей.

Поясним существо возникающих разногласий, для чего обратимся к урав­ нениям (50.4). -Уже в XVIII в. точность вывода длин дуг s характеризовалась

ошибкой не более 1 : 100 ООО, а определение астрономических широт - ошиб­

ками порядка 0,5" дуги. Если, например, рассматривать дугу длиной 1000 км,

то ошибка в ее длине s, полученной из непосредственных измерений, составит

10 м; ошибка этой же дуги, определенная по разности широт, должна была бы

быть 0,5" J1 2 = О,7 ", или, в линейной мере, он:оло 20 м. При подобном соотно-

216

rоении можно было бы говорить о соответствии точности линейных и астроно­

мических измерений и ошибки последних рассматривать как случайные вели­

. чины. В действительности же ошибка в расстоянии s, выведенная по астрономи-

ческим широтам как (ср2 - ~ 1 )" м , получается из вычислений в 5-10 раз

р

-больше.

Поясним эти соображения геометрически. Пусть на рис. 99 изображено

,сечение Земли вдоль некоторого меридиана; в верхнем слое Земли расположено некоторое тело Т, имеющее большую плотность, чем окружающее его вещество. Сечение, показанное сплошной линией, будет сечением эллипсоида, а прямые

.апа и Ьпь - нормалями к поверхности эллипсоида в точках а и Ь.

Под действием избыточного притяжения тела Т отвесные линии окажутся ,смещенными в направлении к телу Т; проекции отвесной линии в плоскости

меридиана изображены пунктирными прямыми ап~ и Ьп;. Пусть аЬ - одна

из дуг меридиана, взятая для составления уравнения градусного измерения.

Углы ~1 и s2

на меридианную плоскость называются составляющими уклонения отвесной

астрономических широт, что, конечно, совершенно неправильно. Как указы­

еалось, ошибки в определении широт характеризуются величиной порядка

±0,5 "; среднее же значение величин s" составляет около 3-4 ".

Естественно, на первый взuляд, было положить, что указанные несоответ­ етвия вызываются рельефом местности - избытком масс в горных районах

и недостатком в океанических впадинах. Это предположение основывается

ва гипотезе одинаковой плотности вещества в земной коре, при которой укло­ вения отвесной линии зависели бы только от рельефа, т. е. от объемов воздей­ ()твующих масс. Однако это не подтвердилось. Вычисленные на основе этого

.·аредположения поправки в астрономические координаты оказались в некото­

рых случаях во много раз больше расхождений до введения поправок. Тогда

в начале XIX в. была выдвинута гипотеза из о ст а т и ческой к о м - а е н с а ц и и, или просто изостазии, согласно которой уже принимался иной 8акон распределения масс в земной коре. Не останавливаясь на описании гипо­ "fеаы изостазии, что будет сделано в § 70, отметим, что уже в XIX в. гео­ метрический метод определения фигуры Земли в п е р в о н а ч а л ь н о м в и д е постепенно перестает применяться; при обработке градусных измере­ иий начинают прйнимать во внимание факторы, связанные с физикой Земли,

путем вычисления и введения так называемых и з о с т а т и ч е с к и х п о - n р а в о к в астрономические координаты. Использование гипотезы изо­ статической компенсации во многих случаях устранило или существенно уменьшило аномальные влияния пер~:шномерного распределения масс в земной

коре, но не всегда применение теории изостазии давало удовлетворительные

.результаты.

217

. :

иого решения р е д у к ц и о н н о й п р о б л е м ы, в которой наиболее

сложным, нерешенным вопросом было нахождение величин, определяющих

редукции за переход от непосредственных измерений на земной поверхности

к соответствующим элементам на поверхности референц-эллипсоида. Этими

величинами являются: расстояния от точек земной поверхности до поверхности

эллипсоида по нормалям к последнему и уклонения отвесной линии в каждом

геодезическом пункте. Для решения этой задачи М. С. Молоденский, по идее Ф. Н. :Красовского, разработал метод астрономо-гравиметрического нивелиро­

вания, позволяющий с заданной точностью вычислять названные величины

на основе совместного использования результатов астрономо-геодезических

и гравиметрических измерений и б е з з н а -

вызванные отсутствием мировой гравиметриче­

ской съемки, были устранены.

Научные работы Молоденского определили новый этап в развитии теории фигуры Земли. Он показал, что определение фигуры геоида только

по одним астрономо-геодезическим и гравиметри­

ческим данным без применения гипотез о строе­ нии Землц невозможно. Следовательно, невоз­ можно и точное решение редукционной проблемы

путем проектирования на геоид, а с геоида на

референц-эллипсоид, тогда как такой путь реше­ ния задачи до работ Молоденского считался единственно возможным. Молоденский по-новому

из основных задач высшей геодезии, становится необязательным. Разработанное Молоденским строгое построение теории изучения фигуры

Земли и ее внешнего гравитационного поля обеспечивает строгое решение

научных и практических задач высшей геодезии без привлечения каких-либо

гипотез. :Как следствие этого, точность и достоверность решения геодезических задач стали зависеть только от ошибок и полноты непосредственных геодезиче­

ских измерений, но не от приближенности и слабых мест теории, как это было

до работ Молоденского.

Теория Молоденского и разработанные на ее основе конкретные методы изучения фигуры Земли предусматривают совместное использование в качестве опытных данных всех видов наземных измерений: угловых, линейных нивелир­ ных, гравиметрических и астрономических. :Каждый из указанных видов изме­ рений стал обязательной составной частью комплекса основных геодезических

работ. В последние годы сюда присоединились методы космической геодезии. Та­ ким образом, современный этап научных исследований и практических работ по

определению фигуры Земли характеризуется органическим сочетанием и взаимо­ связью геометрического и физического методов решения всех геодезических задач на основе общей математически строгой теории.

219