Добавил:

Polosatiy polosatiyk@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)

Предмет:

Высшая геодезия

Файл:

Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

.pdf

Скачиваний:

731

Добавлен:

10.06.2017

Размер:

34.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

t=шs.ш И0 ( 1 -

Находим из (28.21) выражения для искомых величин				q, ro и t:
ro = О' sin Рт sec U O ( 1 -		а2 )	( 1 + m2) ,
		24	24
q = О' COS ~т ( 1 -	а2 ) (	1+ q2	) ( 1+ m2)	,
	24	24	8

Далее, с ошибками на величины пятого порядка малости, получим:

ш= О'sin Ртsec ИO ( 1 - ~~ + ~~)

q == cr cos Рт ( 1 -- -~-~ +-~-:+-~2-)

24m2 +8а2 +24t2 )

1 (28.22)

} •

Учитывая последнее равенство в формулах (28.21), получаем

Подставляя в выражение для t значение ш, находим

Таким образом, окончательно получим:
q = cr cos Рт (1 + ~; + ~: ) ,	(28.23)
	(28.24)
	(28.25)

2. П е р е х о д о т р а з н о с т е й к о о р д и н а т и а з и м у т о в

на шаре к соответствующим величинам на эллип

соиде. Воспользуемся зависимостью, существующей между величинами на

шаре и эллипсоиде:

1) так как AD = А 1D 1 (рис. 51), то

Ь"Мт q"R

-р-,,-=р",

откуда

" Ь"А1т

q = -- ·

R '

2) на основании (28.6), (28.8) и (28.10) имеем:

ш = al",

а cos ИO = ~т cos Вт,

а sin ИO = sin Вт.

(28.26)

(28.27)

(28.28)

(28.29)

120

В последних двух формулах на основании предыдущего нормальная ши

-рота В0

заменена через Вт.

Подставляем (28.26)

в (28.23),

принимая во

внимание,

что

,о" = ~ р"

и ~т = Ат,

а в поправочном члене ro заменяя на l

получаем

Ъ"мт

cos

(

z2 + t2 )

(28.30)

-R-=Rp

+-ш

Отсюда находим

(i + z2

+ t2

ь"

cos

)

(28.31)

= Мт р

или

Ь"=sсо.sАт(1)т (1+ ~~ + ~:),

(28.32)

так

как

~ l sin В, то

получаем

z2 sin2 вт )

Ь" = scosAm (1)т ( 1+ 12+

(28.33)

Подставляя (28.27)

в (28.24),

находим

az•=_s_,,

sinAm ( 1 -~+__!.:_)·

R р

cos

Ио

Отсюда, принимая во

внимание (28.28),

имеем

,, .

(

1 -

cr2

)

l= Nm

sшAmsecBm

24 +24

но

по (28.21)

находим

Z2 -

а2 = t2 -b2 = l 2 sin 2 Вт- Ь2

и окончательно получаем

(

Ь2

sin2 Вт

)

l = s sш Ат (2)m sec Вт

1 -

•

(28.34)

При получении выражения для сближения меридианов заметим, что в рас

сматриваемом случае

t = А2. 1 -

А1. 2 ±

180°.

Разделив (28.29)

на (28.28),

получим

tg U O =

r tg Вт.

(28.35)

Если

принять

во внимание (28.35),

то

выражение (28.25)

примет вид

. А

(t + cr2

+ t2

)

=тР sш

m Nm

или

+~+...!.:...)

t" = s sin Ат tg Вт

р"

( 1

(28.36)

24 .

Но

cr2 +t2

z2 + z2

а2

ь2

z2 sin2 Ят

12+24=

- 24 - 12+12 - 24 - 12+24

24 -

-!!.:..+ Z2cos2Bm + Z2;'(sin2Bm+cos2Bm)

_.!!!..._+

Z2sin2Bm I

Z2co~2Rm

121

поэтому

+ Z2 sin2 Вт + z2 cos2 Вт +~)

t"-=

s sin Ат tg Вт р" ( 1

12 .

Напишем все формулы вместе:

Ь"=sсоsАт(1)т (1+ l's~:'Bт + ;~)

l "

. Ат

sec

(2)т ( 1 + z2 s i n2 вт

ь2 )

= s s1n

- 24

t" =

. А

( ) (

+ z2 sin2 Вт + z2 cos2 Вт +.!?!_)· J

S SШ

2 т

Искомые координаты ~торой точки определяются из формул:

(28.37)

(28.38}

В2=В1 +ь	}
L2= L 1 +z	.	(28.39}1

А2. 1 = А 1. 2 ± 180° + t

Итак, мы получили формулы, тождественные с формулами, выведенными

в § 26.

Можно указать еще на одно применение изложенной Гауссовой теории в геодезии. При изображении поверхности эллипсоида на плоскости функцио нальные зависимости, выражающие закон изображения, имеют сложный вид и представляются бесконечными рядами. Эти зависимости при проектировании эллипсоида на плоскость не имеют точной геометрической интерпретации. В то же время при проектировании поверхности шара на плоскость соответ ствующие аналитические зависимости изображения становятся простыми;

они имеют ясное и точное геометрическое толкование и выражаются строгими

формулами. Поэтому ряд авторов проекции поверхности эллипсоида на пло скость использовали идею двойного проектирования: сначала поверхность. эллипсоида изображается на шаре, затем переносится с шара на плоскость.

Эта идея, в частности, была использована 3ольднером в теории проекции,

носящей его имя; Крюгером - в теории стереографической проекции. В этом

случае конформную проекцию Гаусса следует признать одной из наилучших

при переходе с эллипсоида на шар.

Внастоящее время путь двойного nроектироваJiия поверхности эллип

соида на шар используется редко; он имеет историчесдое ;:ц~ачение, в то же·

время nредста1шлет сущест~(:)~цз:ый метод:uчес:кuй цв:терес.

§ 29. Решение главной геодезической задачи

по способу БессеJIЯ

Способ Бесселя применяется при решении геодезической задачи на боль

шие расстояния - от 600-800 км и более. В основе способа лежит n р ямой n у т ь решения геодезической задачи, в котором не n о средстве н но

находятся искомые величины, т. е. широта и долгота второй точки и азимут

со второй точки на первую - прямая геодезическая задача; в обратной задаче

вычисляются прямой и обратный азимуты и расстояние между заданными

пунктами.

122

По способу Бесселя задача решается по следующему плану:

1. Треугольник АРВ (рис. 54) переносится на шар по заданным трем 8лементам треугольника при помощи основного уравнения геодезической

линии

cos и1sin А 1. 2 = со6 и2, sin А;. 1 = с.

(29.1)

2. После указанного перехода полученный на сфере треугольник А 1Р1В1

(рис. 55) решается относительно известных его элементов.

А (В, ,L,)	А,
	А,
Рис. 54	Рис. 55

3. От вычисленных из решения сферического треугольника элементов

()Существляется переход к соответствующим элементам сфероидического треу

гольника.

Остановимся подробнее на переходе от

ефероидического треугольника АРВ						к	сфе		/4
рическому А 1Р1В1.									/
									/
	Если обозначим элементы				сферического				/
треугольника		так, как показано на рис. 55,							/
то	уравнение	геодезической			линии		(29 .1)		/
то	уравнение	геодезической			линии		(29 .1)		/
представит собой одновременно точную за								/	/
представит собой одновременно точную за								/
висимость, вытекающую из				теоремы			сину	/
сов	для этого	треугольника						/
	sin А1							/	/
	sin А1	2	sin (180° --- А;. 1)				( 29 -2)	/ /
	sin(90°~u2) =		sin(90°-u1 )			•	( 29 -2)	!!)/
	Отсюда можно установить				соотношения			v____зк_8_ат_о.:...'Р--~-
	Отсюда можно установить				соотношения			f
И соответствия между элементами сфероиди-									Рис. 56
1'1еского треугольника			АРВ	и сферического					Рис. 56
1'1еского треугольника			АРВ	и сферического
А1Р1В1.
	1. Стороны А1Р1		и В1Р1	на сфере равны дополнениям до 90° приведенных
Пiирот точек А и В на эллипсоиде, т. е. 90 -								и1 и 90 -	и2; точка Р1 на шаре

играет роль полюса. Согласно (4.27), приведенные широты и определяются no формуле

tgu= Vt.-e2 tgB.

123

2. Геодезическая линия s на эллипсоиде между точками А и В соответ- ствует на сфере дуге большого круга cr, на которой в каждой ее точке азимуты

равны азимутам геодезической линии в соответствующих точках на эллип

соиде.	Следовательно, углы сфероидического треугольника АРВ	в точках
А и В	равны углам сферического в точках А 1 и В1•
Эти зависимости однозначно определяют элементы сферичесного		треуголь

ника А 1Р1В1•

Вдальнейшем (для упрощения) радиус сферы будем считать равным: еди

нице.

"Укажем попутно геометрический смысл постоянного с в уравнении (29.1). Если продолжим дугу большего круга до экватора в точке F (и= О) и до пере

сечения в точке Q с меридианом,	составляющим с дугой угол 90° (рис. 56),
то получим:
для точки F с= sin Ао,
)) ))	Q C=COSU 0 •
	Q C=COSU 0 •
Для получения фор.мул решения задачи		по спо
е о б у Б е с с е л я необходимо	установить зависимость между	разностями

долгот пунктов на эллипсоиде и на шаре, т. е. между l и ro, а также между длиной геодезической линии на эллипсоиде s и дугой большого круга cr на шаре.

Ход вывода формул для решения главной геодезической задачи по спо собу Бесселя:

1. Вывод дифференциальных уравнений, устанавливающих связь между

s и cr,	l и ro.
2. Интегрирование полученных дифференциальных уравнений.
3.	Решение треугольника на сфере применительно к условиям прямой

и обратной задачи и окончательное вычисление определяемых величин.

			1. Вывод дифферепциа.л,ьных уравнений
Обозначим (рис. 54):
	ds	-	бесконечно малый элемент геодезической линии s на эллипсоиде;
	а	-	азимут элемента ds;
В и	и -		геодезическая и приведенная широты текущей точки т;
du и	dl -		разности широт и долгот точек т и п.
На рис.			55:
da = т1п1		-	бесконечно малый элемент дуги большого круга на шаре\ соот
dro		-	ветствующий элементу ds на эллипсоиде;
dro		-	разность долгот точек т1	и п 1	на шаре.
С этими			обозначениями:
			dи=dacosa,
			М dB = ds cos сх,
откуда
			~-м dcr		(29.3)
			dB -	ds •

124

На основании (4.28)	и (4.29)		напишем:
		.		J/1-e2sinB				,
	Slll U = .							,
				Y1-e2sin2B
	cos в=			J/1-e2 cos и			. '
	cos в=			")/		и	. '
				,,, 1-е2 cos2		и
откуда
, ~	2	{	cos В		,		е2 sin2 В cos В } dB
cos и dи= V .1	- е-	-:-r=====- - 1						а
					r	(1-e2sin2B)l 2
		J/1-e2sin2B				(1-e2sin2B)l 2
и
		J/I"=e2			cos в
		cos и
Из (29.5)
	cos В				J/1-e2
	--=-:--г====-
	соs и			J/1-e2 cos2		и

тогда, принимая во внимание (29.8) и умножая числитель и знаменатель в

ва а, получаем
du		а(1-е2)		1
dВ -	а (1-е2 sin2 в/12			V1-е2 cos2 и '
ипи окончательно			1
	du	М	1
	dB	а У1 -	е2 cos2 и
На основании (29.3)	и (29.9)
	м	1	-м!:!!_
	а	У1е2 cos2 и	-	ds '

откуда

(29.4)

{29.5)

(29.6)

(29.7)

(29.8}

(29.7)-

(29.9)

ds = а V1 - е2 cos 2 и da.

Далее, из	рис. 54 и 55 имеем:
	dш cos и = da sin а )
	N cos Bdl = dssin а ·
Откуда в результате деления получаем
	NcosB dl	ds
	соsи ТыТа'
Принимая	во внимание (29.10),

N cos В dl = а cos и V1- е2 cos2 u dш.

"Учитывая {4.22), получаем окончательно

(29.10}

(29.11)

(29.12)

dl = V1- е2 cos2 и dш.

(29.13)

125

:ii

2. Интегрирование дифференциальных уравнений

Оставляя прежние обозначения элементов полярного сферического треу

гольника, выполняем вспомогательные построения, показанные на рис. 57:

проводим из точки Р1 дугу большого круга перпендикулярно к продолжению

стороны А 1В 1 до пересечения с последней в точке С.

В образовавшемся прямоугольном треугольнике обозначим катеты Р 1С

через т, а А 1С через 90° - М. При заданных и1 и А 1 • 2 эти катеты можно счи ·тать известными. Они получаются из решения прямоугольного треугольника

Р,

А 1Р 1

С по формулам:

tg м =

tg И1

}

cos А1.

(29.14)

М = sin т_ctg А1. 2

Slll U1

sin т = sin А1• 2 cos и1,

(29.15)

А,

sin и1

cos и1 cos А1 2

. (29.16)

cos т =

sin М =

cos М ·

Рис. 57

Будем

в дальнейшем рассматривать точку

как

текущую, имеющую широту

и.

Из прямоугольного сферического

треугольника

В1 Р1 С

имеем:

sin и== cos т sjn (М +cr),

(29.17)

cos2 и= 1- cos2 т sin2 (М + а).

(29.18)

Подставив последние выражения

для

cos 2 и в (29.10), получим

ds = а У1-- е2 + е2 cos2 т sin2 (М+ cr) dcr

- 1;

1 + 1

е2

(29.19)

ds=a V1--е

_е2

cos

msin

(M+cr)dcr.

Приняв во внимание (2.6)

и (2.7), напишем

ds = Ь V1. + е'2 cos2 тsin2 (М+cr) dcr.

(29.20)

Обозначая е' 2

cos 2 т через

k2 ,

получаем

ds = Ь V1 +

k2 sin 2 (М+~) dcr.

(29.21)

Rак известно,

полученное

уравнение

не

интегрируется в элементарных

,функциях; разложим подкоренное выражение в биноминальный ряд с целью

последующего почленного интегрирования.

Имеем

V1 +k2 sin2 (М+cr) = 1++k 2 sin2 (!J,f + cr)--½- k4 sin4 (М+cr) +

+ :: sin6 (М+ cr)- .. ••

126

· В дальнейшем выводе ограничимся членами с k 4 • Заменим синусы четных:

·i'епеней через косинусы кратных дуг на основании известных соотношений:

sin2 (М+а)= : --½-cos 2 (М+

cr)

}

•

sin4 (M +а) ==в - 2

cos2 (М +а) +

cos 4(М +а)

(. Выполняя

указанную подстановку,

получаем

k') +

V 1 + k

sin

(М+cr) = (1 + 1k

( -1 k2 +116k4 )

cos 2 ( м+а) - :: cos 4 ( м+а).

Обоsначи:м;

А = 1+ ~4 - ~64 k4 '1

{·

= Т -

С- 128

Напишем

на

основании (29.21) и (29.23)

s = Ь S[A-Bcos 2(М +а)-2С cos4(M +а)+ ...}da.

(29.22}

(29.23)

(29.24)

(29.25

Интегралы от второго и третьего членов последнего ряда вычисляют та:к:

а	а	1sin 2 (М+а)=Вsin аcos (2М+ а),
ВScos 2 (М+ а)da =В\
о	о
а	а	·1 sin4(M +a)=Csin2acos(4М+2a)
2С Scos4(M +a)da=2C\

оо

•выражение для s в функции а получится

s = АЬа-ВЬ sin а cos (2М+cr)- СЬ sin 2а cos (4М + 2а).					(29.26)
Обратная зависимость будет иметь вид
s	в "		с,,
а"=~ ь++sincrcos(2М+a)++sin2crcos(4М+2a)+ ..• (29.27)
Обозначим:	_ р" •	А_	Вр"	_ Ср"	(29.28}

	а- ЬА,	t-'--yи '\'--у•
Тогда в окончательном виде выражение для а получится
а"= as+ ~ sin а cos (2М+			а)+ у sin 2а cos (4М+ 2а) + ...		(29.29)
Из (29.29)	можем написать для		s
s =..!..[а"- ~ sin а cos (2М +а)-у sin 2cr cos (4М+ 2а)- ..•].					(29.30)
а,

127

3 а в и с им о ст ь между"" Z и ro. Напишем предварительно соотно

шение для разности долгот на сфере

dro = da sin а sec и.			(29.31)
Из решения треугольника В1Р 1С получим
.	sin т		(29.32)
s~na=---.
	cos и
С учетом (29.32) формула (29.31)	примет вид
dro =	sin т	d	(29.33)
	cos2 и	а.

Обращаясь к исходному дифференциальному уравнению (29.13), отмечаем,

что по тем же соображениям, что и в предыдущем случае, подынтегральная

·функция предварительно должна быть разложена в бесконечный ряд. Поэтому

пишем

dl = ( 1 -

2и

cos4 и- .•. )

dro.

(29.34)

cos

Приступая к интегрированию

и принимая во

внимание (29.33),

находим

е2

2 U

е2

4 U )

sin т

l =ro- 2

COS

cos:l и

dG.

(29.35)

Так

как sin т -

величина постоянная,

то

напишем

l =ro

е2 sin т

s(1

е2

cos

)

а.

(29.36)

и_

Для замены переменной и через переменную cr воспользуемся выражением

·(29.18).

Имеем

l =ro

е2 sin т s[t

е2

• 2 (М

+а) ...

]

da.

+т-тсоs

тsш

Делая замену, согласно (29.22),

получаем

е2 sin т

s[1 + е2 -

е2

cos2 m+

е2

cos 2 т cos 2(М +а),]

da.

Интегрируя почленно,

находим

_е_2_s~_n_m_ а (1 + ~2

-~-2 cos2 т) -

е4 sin т cos2 т .

l = (u

sш cr cos (2М+cr).

(29.37)

Интеграл последнего члена вычислен аналогично (29.26).

Обозначая

е2

)

=а1

}

( т+т-16соs

cos2 тр"

__ R

(29.38)

-1-11

128

и выражая l в секундах дуги, имеем окончательно
l" = ш" - sin т {а1а" +~1 sin а cos (2М +а)}.	(29.39)

Формулами (29.29), (29.30) и (29.39) решается задача интегрирования полученных ранее дифференциальных уравнений. Формула (29.29) служит

для перехода от длины геодезической линии к дуге большого круга на шаре. R.ак видно из структуры этой формулы, вычисление а по s следует вести после довательными приближениями:

1	<Jo=CGS	1
2	о-1 = о-0 +~ sin о-0	cos (2М+ о-0)
	о-2 = 0-0 + ~ sin о-1	(29.40)
3	о-2 = 0-0 + ~ sin о-1	cos (2М +0-1 )+ у sin 20-1 cos (4М + 20-1 )
4	о-3 = о-0+ ~ sin о-2 cos (2М + 0-2) + у sin 20-2 cos (4М + 20-2)

и т. д. - до совпадения результатов вычислений двух последних приближений в пределах заданной точности.

Формула (29.30) используется при решении обратной геодезической за дачи. Коэффициенты а, р, у целесообразно выбирать из специально составлен ных таблиц.

Формула (29.39) служит для вычисления разности геодезических долгот l по разности сферических долгот ш после решения сферического треуголь ника - в прямой геодезической задаче.

Согласно этой формуле осуществляется и обратный переход - при ре шении обратной геодезической задачи.

Коэффициенты а 1 и р 1 также целесообразно вычислять по заранее со ставленным таблицам.

3. Порядок вычислеuия при реше1-1,ии прямой и обратuой геодезических задач

иформулы для решеuия сферического треугольuика

Прямая геодезическая задача

1.Вычисление приведенной широты исходного пункта по заданной геоде

зической широте

Можно применить формулу для разности (В 1 - и1), которая для размеров

эллипсоида Красовского имеет вид:

В1 -	и1	=~ 346,3143 sin 2В1 - 0,2907" sin 4В1 + 0,0003 sin 6В1	}
В1-	и1	= 346,3143 sin 2и1+ 0,2907" sin 4и1+ 0,0003 sin 6и1	(29.41)
			•

2. Вычисление вспомогательных величин т и М по формуля.м (29.14),

(29.15), используя известный азимут А 1 и вычисленную по (29.41) широту и1• Вычисление коэффициентов а, В, у, а1 , р1 •

3. Вычисление а по s по формуле (29.29), применяя способ последователь

ных приблия;ений (29.40).

9 П. С. Заиатов

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
10.06.2017781.82 Кб194Геодезические сети и их назначение.doc
#
10.06.201734.58 Mб731Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976).pdf
#
10.06.201730.92 Mб664Літинського В. (ред.) - Геодезичний енциклопедичний словник (2001).pdf
#
10.06.2017653.82 Кб348Лесных Н. Б. - Математическая обработка геодезических измерений. Метод наименьших квадратов. Практикум.doc
#
10.06.20172.32 Mб171Магуськин Б. Ф. - Уравнивание триангуляции.doc
#
10.06.20172.16 Mб238Минсайин Г. З. - Геодезические засечки.pdf
#
10.06.20172 Mб724Обратная геодезическая засечка.pdf