Добавил:
polosatiyk@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

.pdf
Скачиваний:
402
Добавлен:
10.06.2017
Размер:
34.58 Mб
Скачать

в каждой точке кривой. Согласно § 11, нормали Ап1, ап2, Ьп3, сп4 пересекают малую ось эллипсоида в разных точках, поэтому плоскости АаЬп2, аЬсп3, bcdn4 не совпадут между собой и точки А, а, Ь, с, d и т. д. дадут на поверхности эллип­

_соида непрерывную кривую двоякой кривизны.

В изложенном методе построения геодезической линии каждая последу­

ющая точка геодезической линии определяется по двум предшествующим при

условии бесконечно малых расстояний между каждыми двумя смежными точ­

ками.

Очевидно, для построения геодезической линии на поверхности между _sаданными точками А и В необходимо знать направление первого элемента

;дривой.

в

Рис. 22

Покажем другой путь построения геодезической линии между точками А

.и В. Пусть на рис. 21 АаВ - прямое нормальное сечение в· точке А, а ВЬА -

Jiрямое нормальное сечение в точке В.

Соединим А и В хордой и из середины ее проведем нормаль к поверхности

эллипсоида; пусть С - точка пересечения этой нормали с поверхностью эллип­ _соида. Проведем плоскость через нормаль в точке С и точку А; в этой плоскости

будет лежать хорда АВ. Следовательно, эта плоскость пройдет и через точку В.

Сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида показано кривой АсСсВ.

.Очевидно, эта плоскость будет плоскостью прямого нормального сечения из

точки С на точку А и на точку В.

Проведем прямое нормальное сечение в А на точку С; пусть это сечение изобразится кривой АаС, которое расположится на поверхности эллипсоида

.южнее, чем обратное сечение СсА, поскольку точка С на чертеже располагается севернее точки А. Аналогично этому прямое нормальное сечение в точке В

на точку С изобразится кривой ВЬС, которая будет расположена севернее нор­

мального сечения СсВ, так как точка С находится южнее точки В.

Соединим хордами точки А и С, В и С и из середины этих хорд проведем

нормали к поверхности эллипсоида, которые пересекут последнюю в точках d

и е; затем исполним те же действия, какие произвели ранее в отношении точки С: проведем нормальную плоскость в d через А так, что она пройдет и через

точку С и изобразится кривой Ad 1 dd'C. Точно так же построим нормальную плоскость в е, проходящую через С; она пройдет и через точку В и изобразится кривой Се1е'В. Прямое нормальное сечение в А на точку d изобразится кри­

вой Aa 1 d; прямое нормальное сечение с С на d - кривой Cc

1 d; прямое сечение

с В на е изобразится кривой ВЬ 1е, прямое сечение с С на е -

кривой Сс2е.

Далее

поступаем так же: соединяем хордами точки А и d, d и С, С и е,

.е и В (рис.

22); из середины этих хорд проводим нормали к поверхности эллип-

50

соида, которые пересекут ее в точках f, g, h, i; проводим нормальные плоскости

в этих точках, проходящие соответственно через точки А, d, С, е, В, затем

соединяем хордами точки А и f, f и d, d и g и т. д., т. е. выполняем во вновь

отмеченных точках такие же действия, как и раньше.

Если продолжать такое построение до бесконечности, то плоскости, про­

водимые через нормаль в середине каждой хорды, обратятся в соприкаса­

ющиеся плоскости. Число хорд, а следовательно, и число точек пересечения

нормалей, проходящих через середины хорд, будет бесконечно ве~ико. Э:.и

точки образуют непрерывную кривую, которая и будет геодезическои линиеи"

так как выполнено условие,

определяющее геодезическую

кривую; в каждой точке ее

нормаль к поверхности будет

лежать в соприкасающейся плоскости кривой.

в

А

А

Рис. 23

Рис. 24

В результате построения (тем или иным путем) геодезическая линия займет­

положение относительно взаимных нормальных сечений, показанное на рис. 23.

При азимутах линий, не близких к 90 или 270°, положение геодезической

линии относительно взаимных нормальных сечений будет несколько иным. Определим приближенно угол, который образует геодезическая линия

с прямым нормальным сечением.

При азимутах линий, близких к 90 или 270°, нормальное сечение, которое

проходит через нормаль к поверхности эллипсоида, проведенную из середины

хорды, соединяющей конечные точки кривой, делит углы между взаимными

нормальными сечениями пополам. Так, на рис. 21 сечение АсСсВ делит пополам углы при А и В между кривыми АаВ и ВЬА, сечение Аd 1 dd' С делит пополам

углы при А и С между кривыми А аС и АсС. Это положение доказывается

в фундаментальных курсах высшей геодезии [27, стр. 56-57]. К этому же

выводу можно прийти на основании геометрических соображений.

Воспользуемся этими свойствами кривых на эллипсоиде для приближен­

ного решения поставленной задачи. Обозначим: Л - угол между взаимными

нормальными сечениями в точке А, т. е. между кривыми АаВ и ВЬА, б -

51

1

• ....

1 1

'

'1'!

1 1 !

(

1' 1

!I 11 \

-угол начального элемента геодезичес'кой линии в А с прямым нормальным:

.сечением на В, т. е. с кривой АаВ. Будем иметь (см. рис. 21 и 24) углы между

~кривыми:

АсС и АаВ, равный ~ ,

АсС >> АаС

>>

л

4'

 

 

Ad1D >> АсС

>>

л

8'

 

 

Ad1 d>> АаВ

))

 

 

))

л

 

16'

 

 

 

>>

л

 

32'

 

 

Afd >> АаВ

>>

 

,и т. д.

В пределе, при бесконечном продолжении описанного выше построения,

,угол между кривой АаВ и нормальным сечением, проходящим через нормаль, проведенную из середины ближайшей к точке А хорды, обратится в б. Тогда

,;по аналогии с написанной выше таблицей будем иметь:

б -

 

л

 

 

л

л

л

л

 

 

 

 

2

 

 

8

32

128

512

... '

 

 

л(

1 -

1

1

1

1

 

)

 

о 2

 

 

4

- 16

- 64

- 256

- • • • '

·ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о =-

Л

{

1 -

( 1

1

1

1

+ ...

)}

.

2

 

4

+16

+ 64

+ 256

 

Сумма членов геометрической прогрессии, стоящей в круглых скобках, ~равна 31 . Следовательно,

б = ~ (1-_!_)

'

2

3

(12.1)

Отсюда следует, что геодезическая линия на поверхности эллипсоида

,(при азимутах, не близких к 90 или 270°) делит угол между взаимными нор­

·мальными сечениями в отношении 1 : 2 и располагается в данной точке ближе

1~ прямому нормальному сечению.

Иначе говоря, угол между геодезической линией, соединяющей точки А

и в,

u

1

 

и прямым нормальным сечением в каждои из этих точек равен

3

угла

 

 

 

между прямым и обратным нормальными сечениями в данной точке.

В дальнейшем этой зависимостью нам придется воспользоваться при полу­ ,чении формулы поправки в направления за переход от прямого нормального

"сечения к геодезической линии.

,52

Если между двумя точками поверхности эллипсоида натянуть упругую

нить, то нить примет форму геодезической линии. Действительно, равнодей­ ствующая упругих сил нити в каждой точке должна лежать в соприкасающейся

плоскости, а сопротивление поверхности направлено по нормали к поверхности.

При равновесии нити эти две силы уравновешиваются и соприкасающаяся плос:кость будет содержать нормаль к поверхности.

§ 13. Упрощенный вывод основного уравнения

геодезической линии

Расс:'lютрим элементарный полярный треугольник АРВ' (рис. 25), обра­ зованный дугами меридианов АР, В'Р и элементарной дугой геодезической

линии ds.

Пусть направление начального элемента геодезической линии ds из точки А

задано азимутом А. Проведем из точки В' элементарную дугу параллели В'С.

Разности широт и долгот точек А и В' обозначим: через dB и dl, сближение меридианов в точке В' - через dA.

Из э:тементарного треугольника АВ'С имеем:

М dB = dscos А,

 

r dl = N cos В dl = ds sin А,

(13.1)

где r - радиус параллели.

Имея в виду, что угол при вершине В' треугольника СРВ' равен 90° -

-dA, напишем:

cos (90° -- В) = ctg dl ctg (90° - dA)

} '

 

 

tg dl si n В = tg dA

 

(13.2)

 

 

dA = dl sin В

 

 

 

 

 

dA = ds sin А tg В

 

(13.3)

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (13.1) и (13.3) напишем:

 

 

 

 

dB

= cos А = ~ cos А

1

 

 

8

 

1

 

 

 

ds

М

с

 

 

 

:: =

 

i;А sec В =

:

sec Вsin А

} .

(13.4)

dA

=

sin А

У

.

'

 

7,s

-w-tgB = ctg ВsшА

J

 

Заметим, что первые два

уравнения

из

системы

(13.4)

могут относиться

к элементам любой кривой на поверхности эллипсоида, поскольку они выра­ жают линейные элементы поверхности; последнее уравнение относится только

к ~еодезической линии (см. [2, стр. 71-72] или [55, стр. 33-37]).

Система уравнений (13.4) имеет весьма важное значение в высшей геодезии,

так как она представляет собой исходные дифференциальные уравнения для решения прямой и обратной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.

1

1

i\

11

11

:,

!J

)

53

Докажем важную теорему для геодезической линии: п р о и з в е д е я и е

радиуса параллели на синус азимута в каждой

р

точке геодезической ли­

нии - величина постоян­

на я, т. е.

r sin А = const.

Изобразим меридиан точки А в пло­

скости чертежа (рис. 26). Если радиус.

р

А

 

 

 

 

Рис. 25

 

 

 

Рис. 26

параллели точки А обозначить через r,

то радиус параллели точки С будет

r + dr, причем по чертежу для dr будем иметь

 

-dr = М dB sin В.

(13.5)

Из уравнений (13.1) пишем

 

 

dB

 

 

 

 

(13.6)

cosA ds'

.

А

 

dl

(13.7)

 

=rds.

Помножим левую и правую части уравнений (13.6) на rdA, а уравнения

(13. 7) на dr и сложим. Будем иметь:

 

d: sin Вdl,

 

r cos А dA = Mr

 

drsinA=rdr :: = -Mr :~ dBsinB

или

r cos А dA +dr sin А = О.

В правой части мы получили полный дифференциал, интеграл которого

равен

 

r sin А= const.

(13.8)

Следовательно, теорема доказана. Согласно (4.21),

 

r=acosu,

 

поэтому уравнение (13.8) может быть переписано

 

а cos и sin А = с

(13.9)

или

 

cos и1 sin А1 = сьs и2sin А2 = ... = с.

 

54

Из уравнения (13.9) следует, что для геодезической линии на поверхности

эллипсоида вращения пр о из ведение к о с ин у с а пр и веден -

ной широты точки геодезической линии на синус азимута геодезической линии в той же точке есть

в е л и ч и н а п о с т о я н н а я.

-Уравнения (13.8) и (13.9) представляют собой два вида основного уравнения

геодезической линии на поверхности эллипсоида вращения.

Эти уравнения в дальнейшем будут использованы при выводе формул

.для вычисления геодезических координат при больших расстояниях между

:пунктами.

§ 14. Аналитический вывод основного уравнения

геодезической линии на поверхности вращения

-Учитывая большое значение, которое имеет геодезическая линия в высшей

геодезии, в этом параграфе получим: общий вид дифференциального уравнения

геодезической линии на любой поверхности исходя из ее определения и, далее, как частный случай, получим уравнение линии для поверхности эллипсоида

.вращения.

Пусть имеем поверхность, уравнение которой

F (х, у, z) = О.

Параметрическое уравнение геодезической линии в общем виде будет

х = f(s); у= ер (s); z = (s),

(14.1)

где s - длина геодезической линии.

Известно, что косинусы углов а, ~' "l, образуемых нормалью к поверхности

.е, осями координат, будут равны:

дF

 

дF

 

 

дх

 

дl'j

 

 

соsа--л-;

cos Р. -- · - .

 

 

 

t-'- D '

 

 

rде

 

 

 

 

Известно также, что косинусы

углов, образованных г л а в н о й нор­

малью :к кривой с осями координата № ~N, "lN,

равны

 

 

 

d2y

d2z

 

cos~N=Rds2;

COS"'N=R1

--,

 

 

 

ds2

тде R - радиус первой кривизны.

Геодезическая линия определяется как кривая на данной поверхности,

'В каждой точке которой ее соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль

к поверхности в той же точке; это определение равносильно требованию совпа­ дения главной нормали кривой в каждой ее точке с нормалью к поверхности l3 той же точке (главной нормалью кривой называется прямая, полученная

-в результате пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей, относя­

щихся :к одной точке кривой). Это совпадение произойдет, если

дF

-IR d2x

 

дF

 

дF

 

дх

Ту _ R d2y I

дz _

R a2z

D

-

ds2

'

---Л- -

ds2

---Л- -

ds2 '

55

или

 

DF

 

дF

дF

 

дх

 

дz

.

72x=RD;

__!!Jj_ = R D · 72z=RD.

 

d2y

'

 

ds2

ds2

ds2

 

Следовательно, уравнение геодезической линии для произвольной поверх­

ности имеет вид

 

 

 

дF

дF

дF

 

дх

ду

дz

(14.2)

~=a2y=d2z .

ds2

ds2

ds2

 

Для нас представляет интерес уравнение геодезической линии и ее свой--·

ства на поверхности земного эллипсоида, являющегося поверхностью вращения.

 

р

 

 

 

 

х

 

 

 

/

/

 

 

idx

 

 

 

1

 

 

AТi.yt

с

ь

1

1

 

xl

 

 

 

1

 

 

1

1

А (:х.у z)

c------...____._!I

о

!!

d!J

Рис. 27

 

Рис. 28

Это уравнение будет частным случаем уравнения (14.2). Напишем уравнение­

поверхности вращения в виде

x2+y2+f(z)=O.

Соответствующие частные производные, входящие в (14.2), будут равны:

дF _

.

дF _

.

дF _

lf

,

(14.3)

дх -

2х,

ду -

2у,

дz -

(z).

Следовательно, уравнение геодезической линии на поверхности вращения" согласно (14.2) и (14.3), будет иметь вид

 

f' (z)

 

 

d2x =

d2y =~

 

 

ds2

ds2

ds2

 

или

 

 

 

 

 

d2x

d2y

= О.

 

 

У ds2

- Х ds2

 

Интегрируя, получаем

 

 

 

 

dx

dy

 

 

 

у--х-=С

 

 

ds

ds

'

 

или

 

 

 

 

 

+ у dx-xdy =-: С ds,

(14.4)

где С.. -

постоянная интегрирования.

 

 

Определим геометрический смысл выражения Cds. Пусть координаты

точки А

(рис. 27), расположенной на поверхности эллипсоида,

равны х, у, z,

56

причем ось z расположена по оси вращения эллипсоида ОР, а оси х и у нахо­

.дятся в плоскости, перпендикулярной к оси ОР (первая система координат);

пусть А а - элемент геодезической

линии, имеющий

длину ds

и

азимут а.

Проекция элемента ds на параллель, т. е. отрезок А Ь,

равна ds sin а.

 

Так как точка а находится на бесконечно малом расстоянии от А, то коор­

.динатами точки а будут х

+ dx, у + dy,

z + dz,

а ее проекции на плоскость

параллели точки А, т. е.

координатами

точки

d, будут х + dx; у

+ dy и z.

Радиус параллели точки А , равный АС = ЬС, обозначим через r.

 

 

Определим площадь

треугольника А dC = Р, изобразив

его

отдельно

на рис. 28,

 

 

 

 

 

 

 

Р = 21 {(х+ dx) (у+ dy)- ху-2х dy-dx dy},

 

 

 

Р = 1

dx -

х dy)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Площадь сектора А ЬС (см. рис.

27) будет равна ~rds sin а.

 

 

При бесконечно малых dx и dy площади треугольника А dC и сектора А ЬС

'Равны между собой, поэтому

 

 

 

 

 

 

{

dx- хdy) = { r ds sin а,

 

 

 

или, по (14.4),

С ds = r sin а ds,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

rsiнa= С,

 

 

 

(14.5)

или

а cos и sin а = С,

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.6~

, ,,,.

т. е. получили уравнения (13.8) и (13.9).

§ 15. Расхождение взаимных нормальных сечений

Возьмем на поверхности эллипсоида две точки А и В, имеющие разные

широты п долготы (рис. 29). Обозначим:

nd, - точки пересечения нормалей к поверхности эллипсоида в точках А

иВ с малой осью;

а- угол между прямыми паА и паВ;

АаВ -

прямое нормальное сечение в А на точку В;

В ЬА -

прямое нормальное сечение в В на точку А;

АВ -

хорда - линия пересечения плоскостей прямого и обратного сече­

 

ний АВпа и АВпь;

8 -

угол паВпь,

Для определения отрезка папь воспользуемся формулами (11.2) и (11.3),

из которых получим (см. рис. 17 и 29):

Опа= ае2 sin В1 (1 + ~ е2 sin2 в1),

Опь = ае2 sin 8 2 ( 1 +½ е2 sin2 В2).

57

Следовательно, с ошибкой порядка ае4

2

-

В

1

) можем написать:

 

 

 

 

 

 

 

или

папь = Опь - Опа= ае2 (sin В2-

sin В1),

где

 

 

 

 

 

 

 

(15.1)

в - В1+В2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т-

2

 

 

 

 

 

Отметим, что треугольник АпаВ можно считать равнобедренным, так как

Апа ~Впа,

следовательно, угол А Ьпа

приближенно равен 90° - ~. Обозна-

,.чим через f угол между плоскостями

 

АВпа и АВпь двух взаимно

обратных

 

нормальных сечений.

Приняв за центр

 

точку В, построим сферический треуголь­

 

ник Ап~пь, соответствующий трехгран­

 

нику с ребрами ВА, Впь, Впа (рис. 29

 

и 30). В этом треугольнике стороне п~пь

 

будет соответствовать угол е,

стороне

 

Ап~ - угол АВпа,

равный

90° -

; .

 

Угол при вершине треугольника А

бу­

А

дет искомым углом

f,

а угол при] ni,

 

а

Рис. 29

Рис. 30

 

равен 360° - А2 • 1 ,

так как плоскость,

проходящая через точки В, па, nь, есть

плоскость меридиана точки В.

 

 

 

Иs треугольника Ап~п;, имеем

 

 

 

sin /

 

sin е

(15.2)

 

sin (360° -А2.1) -

sin ( 90 0 _

 

~)

Иs треугольника Впапь (см. рис. 29) следует

 

 

 

sin е

nanь

 

 

sin (90° 2+е) = ~ -

 

Заменяя nьna,

согласно (15.1), и пренебрегая в знаменателе левой части

последнего уравнения величиной е, получаем

 

 

sin е

ае2 2 -В1) cosBm

откуда

cosB 2

 

N2

 

 

 

 

 

sin е ае2

(В2-В1) cos В2 cos Вт

 

 

 

N2

 

58

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1;

или с ошибкой порядка е4

2 -

В1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin е = е2 2- В1) cos В2cos Вт.

(15.3)

На основании (15.2)

. f

= -

sin в sin А2

'

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Slll

(J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2

 

 

 

 

или, принимая во внимание (15.3) и заменяя cos В2 на cos Вт, получаем

 

 

 

 

 

 

sin/= _

e2 (B2-B1)cos2BmsinA 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r.osт

 

 

 

 

Но приближенно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2- В1) == s cos А12(1)1 ~ а cos А1,2•

 

Полагая А

2

,

1

= А

182

±180°, получаем, пренебрегая ошибкой порядка е20' 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f" = е20' cos А12cos2 Вт sin А1.2Р",

 

или

 

 

 

 

 

/" = ~

е2а cos2 Втsin 1

_2р".

(15.4)

 

 

 

 

 

 

При s = 1()0км, а ~

t , Вт= 45° и А 1.{= 45°:

 

 

 

 

 

 

 

60

t"~6".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, f

- угол между плоскостями взаимных нормальных сече­

ний - величина малая второго порядка. Для максимальных длин сторон тре­

 

 

 

 

 

 

 

 

угольников

триангуляции 1 класса, рав-

 

 

 

о

 

 

 

ных 40-50 км, значение /" равно 2-3 ".

Следовательно, угловые и линейные рас­

хождения между взаимными нормальными

сечениями будут величинами малыми.

Поэтому при последующем выводе фор-

А

d

/{2 !(

 

к,

 

 

 

Рис. 32

Рис. 33

мул можно дуги АаВ и АЬВ рассматривать как

сферические с центром в па

или п••

дуга прямого нормального сечения в точке А, рассма-

На рис. 31 АаВ -

триваемая как дуга окружности с центром в па;

А ЬВ -

обратное нормальное

59