Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

1

Предпо.ложим теперь, что точка N удаляется в бесконечность. Потенциал

VN будет стремиться к нулю, а работа R будет равна потенциалу в точке ]1.f, т. е.

н о й то ч к е р а в е н р а б о те, к о то р у ю н е о б х о д и м о с о -

вершить силе притяжения при перемещении еди­

ничной массы из бесконечности в данную точку*.

На основании (55.7) можно написать

т. е. п р о и з в о д н а я о т п о т е н ц и а л а п р и т я ж е н и я п о

любому направлению равна составляющей силы, д е й с т в у ю щ е й в э т о м н а п р а в л е н и и. Следовательно, из потен­ циала силы может быть получена ее слагающая по любому направлению.

Из уравнения (55.6) следует, что dV зависит от косинуса угла между на­

правлением силы тяжести и направлением перемещения точки; отсюда сле­

дует, что потенциал V может получать приращение положительное, отрица­

тельное и равное нулю.

Рассмотрим два предельных случая:

1. Если cos (F, s) = О, что соответствует перемещению точки под прямьш

углом к направлению F, то и работа силы будет равна нулю, т. е.

нение поверхности, точнее семейство поверхностей, которые мы будем полу­ чать, давая С различные значения. Очевидно, эта поверхность может быть полу­

чена, если представить себе, что точка с единичной массой будет перемещаться

во всех направлениях под прямым углом к направлению силы тяжести; в этюr

случае будет описана поверхность, обладающая свойством, что потенциа:э: будет всюду сохранять постоянное значение.

м а л и к э т о й п о в е р х н о с т и, а с о с т а в л я ю щ и е с и JI ы

по касательной к поверхности в любой точке рав­ н ы н у л ю. Такие поверхности называются у р о в е н н ы м и.

2. Если cos (F, s) = 1, то это значит, что перемещение точки происходит

по направлению действия силы, потенциал получает максимальное приращение

Если же перемещение происходит в направлении, противоположном дей­

ствию силы, то, очевидно, в этом случае

cos (F, s) = - 1

* Этот вывод справедлив не для всех видов потенциальной функции: в частности, он

не применим к потенциалу силы тяжести.

240

il 1

Следовательно, зна:к приращения потенциала зависит от направления перемещения точ:ки; в одном случае потенциал будет увеличиваться (прираще­ ние положительное), а в другом случае уменьшаться (приращение потенциала

отрицательное).

но в данном случае ds представляет собой рас,стояние между взятыми уровен­

ными поверхно,стями. Обозначая это расстояв:ие через dh, получаем

Полученные выражения (55.16) соответствуют случаю перемещения точки,

по нормали к центру тела, т. е. когда

cos(F, s) = + 1.

При перемещении точки в обратном направлении, т. е. при cos (F, s) = -1,.

выражения (55.16) примут вид:

Из равенств (55.16) и (55.17) следует, что расстояния между двумя близ­

кими уровенными поверхностями в общем случае не равны в разных точках,.

а обратно пропорциональны силе, действующей в этих точках.

а I V•JdV

Из изложенного свойства потенциальной функции вытекает еще сущест­

венное обстоятельство. Пусть рис. 107 изображает сечение уровенных поверх­ ностей, соответствующих уравнениям:

V+dV, V+2dV, V+3dV;

конечно, они, согласно (55.16), изобразятся кривыми, <шепараллельны:ми>>· между собой *.

Кривая аЬ пересекающая уровенные поверхности ортогонально, назы­

вается с и л о в о й л и ни ей. Иначе, силовыми линиями называются кривые,

* В данном и последующих случаях под непараллельными поверхностями будем пони­

мать та:кие, расстояния между :которыми, считаемые по нормали к одной из поверхностей,

.в различных точках разные.

касательные к которым совпадают с направлением векторов F, предста­

_вляющих силу притяжения.

Выше установлены свойотва, присущие поr:rенциальным функциям, в том

числе потенциалу силы притяжения.

Потенциалы силы притяжения объемных масс, кроме указанных выше,

обладают еще иными важными свойствами; некоторые из них будут указаны

далее, после рассмотрения потенциалов притяжения некоторых простейших тел.

§ 56. Потенциал притяжения некоторых простейших тел

Найдем потенциал притяжения некоторых простейших тел.

1. Потенциал притяжения материальной точки выражается функцией

,(53.6), т. е.

-точку.

Допустим, что притягивающие массы заключены между двумя очень

близкими поверхностями G и 0' произвольной формы (рис. 108), расстояние

1

между которыми равно h. Если dcr - элементарная площадка на поверхности,

то элементарный объем Л-т: выразится

:где r - расстояние элемента dcr поверхности до притягиваемой точки.

Будем неограниченно приближать поверхность О'1 к поверхности а, не

·f!Зменяя при этом массу Лт внутри каждого элемента объема Л-т:. В результате -такого перехода на каждом элементе da будет сконденсирована масса dm.

-242

i'

3. Потенциал притяжения однородного простого сферичесRого слоя на материальную точRу (внешнюю и внутреннюю).

Пусть имеем сферу радиуса R, поверхность Rоторой соответствует усло­ виям, определяющим простой слой (рис. 109).

Возьмем две точRи А и А 1 : одну находящуюся вне сферы (точRа А) и дру-­

гую - внутри сферы (точRа А 1).

Для определения положения точеR на сфере воспользуемся системой сфе-­

ричесRих Rоординат. За полярную ось примем диаметр сферы, совпадающий с направлением ив центра сферы О на точRу А (или А 1 ). ТочRи N и S назовем

северным и южным полюсами соответственно.

Положение неRоторой точRи М определится сферичесRими Rоордината-­

ми 'Ф и 'А.

Согласно (56.6), потенциал однородного простого сферичесRого слоя равен

вданном случае следует принять:

для внешней точRи А

r=MA=r,

для внутренней точRи А 1

V = fµ 2n55а R2 sin ф dл dф • (56.10)

VR2+p2-2Rp соsф

оо

Заметим, что пределы интегрирования, распространяющиеся на всю по""'

верхность сферы, устанавливаются от О до n для полярного расстояния 'Ф

и от О до 2n по долготе 'А. Интегрируя по л, получаем

о

rmax-rmiп = 2R

для внутренней точки А

(56.16)

На основании (56.14) и (56.15) получим окончательное выражение для

,потенциала однородного простого сферического слоя на внешнюю точку

,вывод, что однородный сферический слой создает во внешнем пространстве

та~.ой же потенциал, который был бы создан массой М, сосредоточенной в

центре сферы.

Из соображений симметрии следует, что притяжение слоя будет напра1влено от притягиваемой точки А по направлению к центру сферы О, т. е. пор.

Дифференцируя (56.20) по р, получаем

(56.21)

т. е. о д н о р о д н ы й с ф е р и ч е с к и й с л о й п р и т я г и в а е т в о в н е ш н е м п р о с т р а н с т в е п о з а к о н у Н ь ю т о н а, к а к

т о ч е ч н а я м а с с а, р а с п о л о ж е н н а я в ц е н т р е с ф е р ы.

244

1

1 1

1

Итак, шар, состоящий из концентрических однородных ·слоев, притяl'И•

вает так, как будто вся его масса сосредоточена в центре. Иначе говоря, шар

создает во внешнем пространстве потенциал, равный потенциалу точки с массой

М, расположенной в его центре.

Теперь допустим, что притягивающая точка А расположена внутри шара

на расстоянии р от центра О (рис. 110). Проведем через А концентрическую

сферу, которая разделит массу на две части: массу слоя s 0 , имеющего потен­

р

Согласно (56.29),

V1=tntt(P3 -RП,

Потенциал слоя получится

(56.36)

246

Масса т шара, ограниченного сферической поверхностью радиуса р, равна

4 m=злбр3 •

Поэтому выражение для силы притяжения F (56.38) примет вид

Следовательно, на основании (56.39) можно сделать вывод, что и в случае

"Енутренней точки притяжение действует по закону Ньютона, т. е. обратно

11ропорционально квадрату расстояния и прямо пропорционально притягива­

ющей массе с той только оговоркой, что в данном случае притягивает не вся

масса шара, а только та, которая расположена вну­

-три сферической поверхности, проходящей через точ-

ку А. Точка А притягивается при этом: так, как если

·бы вся масса внутреннего слоя (радиуса р) была со­

,средоточена в центре шара.

Из (56.38) очевидно, что притяжение массы всего

шара действует по другому закону, т. е. прямо пропор­ -ционально расстоянию р от точки А до центра О; в -центре шара р = О и, следовательно, сила притяже-

ния также равна нулю.

новый результат, т. е.

V = i nf 6R2,

Отсюда можно сделать вывод, что потенциал силы притяжения и его пер­

вая производная (составляющая силы притяжения) при пересечении границы тела однозначны и :меняются непрерывно, без разрыва.

Вычислим вторые производные от потенциала для точки на поверхности

шара, используя его выражения, полученные для положения точки вне и

247

Таки~r образом, значения вторых производных от потенциала при выходе

притягиваемой точки на поверхность шара из внешнего пространства и изнутри

различаются на величину 4л/б.

Э о значит, что вторая производная от потенциала, взятая по направлению

нормали, при прохождении через поверхность шара имеет разрыв и изменяется

скачком на величину 4л/б. Исследования показали, что и в более общем слу­ чае, когда на поверхности, разделяющей две среды, плотность б меняется скач­

ком, вторые производные потенциала также испытывают скачок. Это свойство

вторых производных от потенциала имеет важное принципиальное значение.

248

Символически уравнение Лапласа пишется так:

(57.7)

Обычно сим:вол

называют о п е р а т о р о м Л а п л а с а.

Уравнение Лапласа справедливо для точек пространства, расположенных

вне притягивающего тела. Это следует из того, что если притягиваемая точка

лежит внутри тела, то разности (а - х), (Ь - у) и (с - z), а следовательно, и r могут стремиться к нулю. В этом случае подынтегральное выражение в (57.4) в пределе обращается в 0/0.

Приведем: вывод более общего уравнения Пуассона для случая, когда

притягиваемая точка находится внутри тела.

Допустим, что вокруг притягиваемой точки, расположенной внутри тела, описана малая сфера конечного радиуса, но столь малого, что плотность веще­ ства внутри этой сферы можно было бы считать одинаковой. Заметим, что при­ тягиваемая точка должна располагаться внутри этой сферы, но необязательно в центре; сама сфера должна полностью находиться внутри тела.

Обозначим:

так как для него значение расстояния r нигде в нуль обращаться не может.

Потенциал V 2 сферы, очевидно, представляет собой потенциал притяжения

шара на внутреннюю точку, полученный в § 56. Поэтому, согласно (56.37),

имеем

2

V2 = з -л/б (ЗR2р2).

Для нашего случая R - постоянный радиус сферы, а р определяется

как функция координат из выражения

б ;._ плотность вещества внутри выделенной в теле сферы.

Для вычисления Л 2 V 2 первоначально находим первую производную

Из (57 .11) легко вычисляем:

р ~~ = - (а - .т).

249