П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

11.135. = · arctg − 12 ln (1 + 2) − 12 (arctg )2.

§ 11.3. Производные высших порядков

Если функция ′( ) имеет производную в точке ( , ), то эта

производная называется второй производной или производной второго порядка функции = ( ) в точке ( , ) и обозначается через

Ре ш е н и е. Первую производную этой функции можно записать

ввиде

′ = (sin )′ = cos = sin + 2 ).

Таким образом, при дифференцировании функции = sin аргу-

11.139. Доказать, что функция = cos удовлетворяет

§ 11.4. Геометрический смысл производной

Пусть существует касательная к графику функции = ( ) в точке 0( 0, 0) ( 0 = ( 0)) (рис. 11.1). Тогда существует производная функции = ( ) в точке 0, которая равна угловому

коэффициенту этой касательной: ′( 0) = tg 0. Верно и обратное: ес- ли существует производная ′( 0) функции = ( ) в точке 0, то су-

ществует касательная к графику функции = ( ) в точке 0( 0, 0),

угловой коэффициент которой равен этой производной ( геометрический смысл производной ).

Геометрическая интерпретация производной позволяет записать уравнение касательной к графику функции = ( ) в точке

0( 0, 0):

Рис. 11.1

Прямая, проходящая через точку касания 0 перпендикулярно к

касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали:

Теперь составим уравнение касательной, согласно формуле (11.4):

= 14 − 14 ( − 2)

или + 4 − 3 = 0. 2

11.156. В каких точках кривой = 2 + − 2 касательная к ней параллельна оси ?

11.157. При каком значении касательные к кривым = 2 и = 3 параллельны?

11.158. В какой точке касательная к параболе = 2 а) параллельна прямой = 4 − 5, б) перпендикулярна прямой

2 − 6 + 5 = 0?

11.159. Составить уравнение касательной к кривой = ln . В какой точке эта касательная а) параллельна прямой = −1, б) перпендикулярна прямой 2 + 3 = 1?

11.160. При каком соотношении коэффициентов , и парабола = 2 + + касается оси ?

11.161. Написать уравнения касательных к кривой = 4 − − 2 в точках пересечения кривой с осью абсцисс. Построить график.

11.162. Написать уравнение касательной к кривой = 2− − + 1 в точке пересечения кривой с осью ординат. Построить график.

§ 11.5. Экономическая интерпретация производной

Одним из примеров применения понятия производной в экономическом анализе служит расчет производительности труда в заданный момент времени. Рассмотрим количество произведенной продукции как функцию от времени t, т. е. = ( ). Тогда приращение

= ( + ) − ( ) показывает количество произведенной продук-

производительность труда за этот период. Следовательно, производ-

времени , то есть производительность труда — это скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени .

Аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельные издержки производства и т.д. Например, предельные издержки производства определяются как производная функции издержек производства = ( ) по количеству выпускаемой продук-

ции .

П р и м е р 11.8. Объем продукции, произведенной группой работников за восьмичасовую смену, описывается уравнением

= −23 3 + 132 2 + 150 + 50 ед.,

где — рабочее время в часах ( 1 6 6 8). Вычислить производительность труда в начале и в конце рабочего дня.

Р е ш е н и е. Производительность труда вычисляется по формуле

′( ) = −2 2 + 13 + 150 ед./ч.

труда данной группы работников будет равна ′(8) = −2 · 82+ +13 · 8 + 150 = 126 ед./ч.

Итак, мы наблюдаем спад производительности труда к концу рабочего дня. 2

11.163. Объем производства продукции цеха за восьмичасовую смену описывается уравнением

= −45 3 + 10 2 + 90 + 200 ед.,

где — рабочее время в часах (1 6 6 8). Найти производительность труда в начале и в конце рабочего дня.

11.164. Объем производства некоторой продукции можно описать уравнением

= 13 3 − 72 2 + 6 + 2100 ед.,

где — календарный месяц года. Найти производительность труда: а) в начале года ( = 0), б) в середине года ( = 6), в) в конце года ( = 12).

11.165. Объем продукции , произведенный бригадой рабочих, описан уравнением

= −56 3 + 152 2 + 100 + 50 ед.,

где — рабочее время в часах (1 6 6 8). Вычислить произво-

дительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

11.166. Объем продукции цеха в течение рабочего дня задан функцией

= − 3 − 5 2 + 75 + 425 ед.,

где — рабочее время в часах (1 6 6 8). Найти производительность труда через два часа после начала работы.

11.167. Объем продукции, произведенной группой работников за восьмичасовую смену, описывается уравнением

= −23 3 + 3 2 + 60 + 45 ед.,

где t — рабочее время в часах (1 6 6 8). Вычислить производительность труда через четыре часа после начала работы.

11.168. Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением

= −100 −0,15 + 100 ед.,

где — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда в начале рабочего дня.

11.169. Объем продукции цеха за восьмичасовую смену описывается уравнением

= − 3 + 8 2 + 120 + 10 ед.,

где — рабочее время в часах (1 6 6 8). Найти, когда по-

сле начала работы будет наблюдаться спад производительности труда.

Г л а в а 12

Дифференциал функции

§ 12.1. Понятие дифференциала функции

1 . Дифференциал функции. Функция = ( ) называется

Функция = ( ) является дифференцируемой в точке тогда

и только тогда, когда она имеет производную в этой точке, при этом справедливо равенство = ′( ).

Это утверждение позволяет отождествлять понятие дифференцируемости функции с понятием существования ее производной.

Первое слагаемое или главная линейная часть представления (12.1) называется дифференциалом функции = ( ) в точке и обозначается символом .

Выражение для дифференциала имеет вид

где принято обозначение = .

2 . Свойства дифференциала.

1.= 0, где — постоянная.

2.( ) = .

3.( ± ) = ± .

4.( ) = + .