2.2Остановка перед восхождением

Прежде чем изучать способы решения стохастических дифференци-

альных уравнений, имеет смысл остановиться и поразмышлpÿòь. Мы выбрали в качестве математической модели шума величину " dt. Она умно-

жается на некоторую функцию b(x; t) и, тем самым, может изменять со временем и значением x свою волатильность (величину шума). Однако единственен ли подобный выбор?

Что, если рассмотреть уравнения без корня от временного интервала? Пусть, например:

dx = " dt:

В этом случае скорость dx=dt это случайная величина с гауссовым распределением. Решим уравнение в разностях:

x1 = x0 + "1 t; x2 = x1 + "2 t = x0 + ("1 + "2) t; :::

Через n итераций получится сумма гауссовых чисел, которая статисти-

÷åñки эквивалентна единственному гауссовому числу, умноженному на p

n: p

x = x0 + ("1 + ::: + "n) t = x0 + " n t:

Записывая итерационные решения, мы предполагаем, что в конечном сч¼те необходимо будет сделать предельный переход t ! 0, n ! 1.

При этом произведение n t = t равно конечному интервалу времени,

прошедшему от начального момента t = 0. Полученное решение имеет p 0

âèä x = x0 + " t t, и при t ! 0 стремится к тривиальной константе x0. Ни какой стохастической динамикой подобное уравнение не обладает.

Рассмотрим другую возможность со случайным шумом, также пропорциональным dt:

dx = "2 dt:

Âэтом случае решение имеет вид:

x = x0 + ("21 + ::: + "2n) t = u (n t) = u t;

где введена случайная величина:

В сумме по i и j усредняются n2 слагаемых. Из них n имеют одинаковые

индексы типа "41 , а оставшиеся n2 n слагаемых с различными индек- ñàìè: "21"22 , è ò.ä. (l C15). Так как случайные числа "i независимы, то среднее их произведения равно произведению средних: "21"22 = "21 "22 . Кроме этого, для нормированных гауссовых величин мы имеем: "2 = 1,

"4 = 3.

В результате дисперсия величины u равна u2 = u2 hui2 = 2=n и стремится к нулю при n ! 1. Это означает, что плотность вероятности

P (u) при n ! 1 становится бесконечно узкой и высокой в окрестности значения u = 1. Мы имеем дело с детерминированным числом! Этот результат не зависит от типа распределения " и предполагает только су-

ществование конечного момента четв¼ртого порядка "4 . Аналогичная ситуация и для уравнения dx = "m dt (l H8).

Таким образом, члены вида ( W )2 = "2 dt в дифференциальном уравнении приводят к детерминированной динамике x(t) = t, такой же, как и в отсутствие "2. Это утверждение часто записывают в символическом виде неслучайности квадрата изменения винеровской переменной:

Подобное соотношение необходимо понимать в смысле детерминирован-

ности бесконечной итерационной процедуры. Оно справедливо и в слу- чае, когда dx = (x; t) "2 dt, так как локально на малом интервале t

функцию (x; t) всегда можно считать примерно постоянной. При этом возможно разбиение сколь угодно малого интервала t на большое ко-

личество n итерационных шагов.

pМы видим, что альтернатив для записи малого шума Noise " dt

не так и много. Только сочетание " с корнем из dt сохраняет свою слу-

чайность при бесконечном итерационном решении уравнения. Поэтому уравнения Ито являются если и не единственным, то очень естественным методом введения шума в дифференциальные законы изменения величин со временем (l C16).

Естественно, шум в реальных системах не обязательно будет аддитивен, как в (2.4). Например, параметр частоты осциллятора ! вполне мо-

жет оказаться случайной величиной. Однако в этом случае для него можно рассматривать отдельное динамическое уравнение типа Ито и решать систему стохастических уравнений.

2.3Лемма Ито

Пусть процесс x(t) подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обыч-

ную гладкую функцию F (x; t). Если вместо x в не¼ подставить x(t), то

F (t) = F x(t); t станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:

с x = G(F; t), где G обратная к F функция. Для этого необходимо найти функции сноса A и волатильности B, а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора F (x; t) = F (x0 + x; t0 + t) в окрестности начального фиксированного значения x0 по небольшим x и t:

где все производные справа вычислены в точке x0; t0. Для ряда остав- лен член второго порядка малости по x. При помощи (2.7) мы можем записать ( x)2 в следующем виде:

p

( x)2 = a0 t + b0 " t + ::: 2 = b20 "2 t + :::;

где оставлено ведущее приближение по t. Таким образом, если в на- чальный момент времени t0 функция равна детерминированному числу F0 = F (x0; t0), то через малый промежуток времени, в зависимости от значения ", это будет случайная величина вида ( l C17):

Для моментов более высоких порядков в пределе t ! 0 получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при t ! 0 стремятся к

нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (2.13). Поэтому необходима полная проверка диффузности , проведенная выше.

Считая уравнение (2.14) первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу x2.2.

Сумма слагаемых вида "2 t приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие "2. Поэтому можно положить "2 ! 1.

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запи-

шем дифференциал функции F (x; t) в форме Ито при помощи бесконеч- p

но малой винеровской переменной W = " dt:

Это соотношение называется леммой Ито . Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов (l C18).

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции F (x; t), в которую подставили решение x = x(t) уравнения

dx = a(x; t)dt, имеет вид:

В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы

Ито проникают функция диффузии b2(x; t) и вторая производная по x. p

Происходит это, как мы видели, благодаря корню dt. Ýòî, â ñâîþ î÷å- редь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Для винеровского уравнения dx = dt + W с постоянным сносоми волатильностью дифференциал квадрата траектории y = x2, â соответствии с (2.15), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:

d(x2) = (2 x+ 2) dt+2 x W => dy = (2 py+ 2) dt+2 py W:

Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.