4.4Граничные условия

При логарифмическом блуждании (2.24), ñòð. 58, линейная зависимость сноса и волатильности от x приводит к тому, что решение положительно x > 0. Однако не всегда возможно ограничить диапазон значений

решения в рамках только уравнений. Чаще задаются внешние к уравнению граничные условия. Они могут быть различных типов.

B Отражающие граничные условия изменяют знак приращения dx

при достижении границы. Например, броуновская частица, на которую действует сила тяжести, будет постепенно опускаться вниз. Однако сосуд, в котором она находится, ограничен снизу дном. При его достижении частица отразится и продолжит блуждание в соответствии с уравнением. Так как сила тяжести (снос) продолжает действовать, частица будет постоянно возвращаться и отражаться от граничной поверхности. В результате со временем установится некоторое стационарное распределение вероятностей координат и скорости броуновской частицы.

B Поглощающие граничные условия предполагают прекращение процесса при достижении границы. Если x координата частицы, то на

поглощающей границе она удаляется из пространства. Поэтому полная вероятность нахождения в пространстве должна со временем уменьшаться. Наиболее естественная интерпретация подобной ситуации состоит в блуждании в области [ :: ] большого числа частиц, концентрация кото-

рых пропорциональна плотности вероятности. По мере достижения ча- стицами границ они удаляются, и общая концентрация падает.

B Периодические граничные условия накладывают, когда при достижении некоторой границы x = происходит перемещение x на другую границу x = , откуда процесс продолжает развиваться в соответствии со

стохастическим уравнением. Примером периодических граничных условий будет блуждание броуновской частицы внутри кольца, заполненного водой. В этом случае угловая координата , задающая е¼ положение, об-

ладает свойством периодичности, так как значения = 0 и = 2 эквивалентны.

Решение стохастических дифференциальных уравнений при наличии граничных условий обычно уда¼тся получить только численным образом. Для этого моделируется процесс блуждания, в котором при достижении границы проводится локальное изменение x в соответствии с граничными

условиями. По большому числу реализаций подобных выборочных процессов можно вычислить средние значения интересующих нас величин или плотность условной вероятности.

Более удобным инструментом изучения поведения системы в таких

ситуациях является уравнение Фоккера - Планка (4.10), ñòð. 107, для плотности вероятности P = P (x0; t0 ) x; t):

Перепишем его в следующем виде:

Функция J(x; t) называется потоком вероятности. Пусть эволюция x происходит в границах [ :: ]. При этом одна или обе границы могут находиться на бесконечности. Проинтегрируем (4.15) ïî x:

Изменение вероятности нахождения x в области < x < определяется значениями J на границах области. Уравнение (4.15) является законом

сохранения в дифференциальной форме, а (4.16) в интегральной. Ситуация эквивалентна любому закону сохранения. Так, сохранение заряда вобъ¼ме [ :: ] происходит, если суммарный ток на границе отсутствует

(сколько вошло зарядов за единицу времени, столько же и вышло). Для плотности вероятности более естественна аналогия с концентра-

цией частиц в единичном объ¼ме n(x; t). Если общее число частиц равно N, и вероятность нахождения в той или иной точке пространства равна P (x; t), то концентрация частиц равна n(x; t) = N P (x; t). В этом случае

ток вероятности представляет собой физический перенос частиц и определяется их скоростью в данной точке и концентрацией J = v n(x; t).

В тр¼хмерном пространстве дифференциальный и интегральный законы сохранения числа частиц имеют вид:

дикулярно S из объ¼ма V , который окружает поверхность S, наружу.

Поэтому ток, направленный из объ¼ма, приводит к уменьшению числа частиц, а вовнутрь к увеличению.

Для отражающих или периодических границ полная вероятность p нахождения x в интервале [ :: ] не изменяется:

При достижении периодической границы x = объект переносится в x = , так что токи на границах одинаковые и не равны нулю. При этом

плотность вероятности на границах должна совпадать, так как факти- чески это одна точка пространства (для блуждания внутри кольца это очевидно). В случае отражающих границ токи в точности нулевые. Символически это представлено на рисунках ниже:

При отражающих граничных условиях ток, отражаясь, образует прямое и встречное направления, поэтому суммарный поток на границе равен нулю. Поглощающая граница характеризуется нулевым значением вероятности P (x; t), так как частица в этой точке исчезает из пространства.

Таким образом, для тр¼х типов границ используются следующие граничные условия (P (x; t) = P (x0; t0 ) x; t)):

Отражающая или поглощающая границы могут быть в единственном виде или сосуществовать одновременно (например, слева отражающая граница, а справа поглощающая). Если граница одна, то обычно предполагается выполнение поглощающего граничного условия на бесконеч- ности P (1; t) = 0. Периодические границы по своему смыслу должны

присутствовать одновременно.

Естественно, можно использовать и более затейливые границы. Например, полупрозрачная граница, на которой с некоторой вероятностью происходит отражение частицы или прохождение е¼ через границу. Понятно, что подобных полупрозрачных границ в пространстве может быть несколько. Однако в большинстве задач достаточно перечисленных выше границ тр¼х типов.

Уравнение Фоккера-Планка для одной и той же системы с различными граничными условиями приводит к качественно отличающимся решениям. Рассмотрим два простых примера.

Для наглядности будем считать, что x координата частицы, которая испытывает постоянный снос, смещаясь в среднем влево (ось x направлена слева направо):

dx = dt + W:

Пусть в x = 0 существует отражающая граница. В этом случае воз-

можно стационарное решение уравнения Фоккера - Планка. Каким бы ни было начальное значение координаты x0 > 0, частица рано или поздно достигнет границы и отразится от не¼. Однако снос будет вс¼ время возвращать е¼ обратно. В результате установится стационарное состояние. При этом вероятность нахождения частицы в пространстве должна уменьшаться по мере удаления от границы. Найд¼м е¼ явный вид, решив стационарное уравнение Фоккера - Планка с @P=@t = 0:

Нормировочный множитель находим, интегрируя от нуля до бесконечности. В данном случае ток равен нулю не только на отражающей границе, но и во вс¼м пространстве. В противном случае не получилось бы стационарного решения.

Рассмотрим ту же систему, но с двумя периодическими границами [ :: ]. В этом случае (4.15) имеем:

станта интегрирования по x уравнения Фоккера-Планка с @P=@t = 0. Граничные условия для потока вероятности J( ) = J( ) выполняются автоматически, так как J(x) = J0 = const. Периодические граничные условия для плотности вероятности P ( ) = P ( ) выполняются только

ïðè P0 = 0. В результате P (x) равна константе J0= , значение которой находится из условия нормировки. Поэтому, P (x) = 1=( ).

Смысл этого решения легко понять. При отрицательном сносе частица постепенно дрейфует к левой границе x = . При е¼ достижении она

переносится на правую границу x = , и процесс повторяется. Понят-

но, что со временем установится однородное распределение вероятностей. Аналогично, при блуждании броуновской частицы внутри кольца вероятность е¼ нахождения в той или иной точке пространства постепенно станет постоянной. Напомню, что в открытом пространстве вероятность расплывается и стационарного режима у системы быть не может.

4.5Вероятность достижения границы

Найд¼м теперь вероятность достижения при блуждании границ интервала [ :: ]. Пусть это будут поглощающие границы, и в начальный

момент времени t0 = 0 частица находится в некоторой точке < x0 < . Вероятность p(x0; t) того, что в момент времени t она ещ¼ ни разу не коснулась границ и находится внутри интервала [ :: ], равна:

Второе равенство записано для однородных систем, у которых снос и волатильность не зависят от времени. Именно их мы сейчас и рассмотрим. Для таких систем можно сдвинуть начало отсч¼та времени, считая начальным t0 = t, а конечным t = 0. Возьм¼м производную по t выражения (4.17) и воспользуемся первым уравнением Колмогорова (4.6), ñòð. 105. В результате уравнение для p = p(x0; t) имеет вид:

Для плотности вероятности справедливо начальное условие в виде функции Дирака P (x0; 0 ) x; 0) = (x x0). Поэтому из (4.17) следует

начальное условие: p(x0; 0) = 1 (частица гарантированно находится в< x0 < ). Кроме этого, если x0 оказывается на границе, вероятность дальнейшего пребывания в интервале [ :: ] будет равной нулю, поэтому:

p( ; t) = p( ; t) = 0:

Обозначим через T время достижения одной из границ. Понятно, что T -

случайная величина и p(x0; t) это интегральная вероятность того, что T > t ( вс¼ ещ¼ находится ). Вероятность, что T < t, равна 1 p(x0; t). Е¼ производная по t даст плотность вероятности того или иного времени пребывания в интервале [ :: ]. Поэтому, например, среднее время пребывания равно:

Мы считаем, что p(x0; 1) = 0, т.к. частица в ограниченном пространстве [ :: ] рано или поздно достигает одной из границ. Для среднего n-той степени от T введ¼м следующее обозначение Tn(x0) = hT ni и найд¼м уравнение, которому удовлетворяет функция Tn(x0).

Проведя интегрирование по частям в определении hT ni, получаем:

Благодаря нормировочному условию h1i = 1 имеем T0(x0) = 1. Поэтому мы получили последовательность уравнений с правой частью, определяемой на предыдущей итерации. В частности, для среднего времени

T (x0) = T1(x0):

a(x0) T 0(x0) + b2(x0) T 00(x0) = 1 2

с граничными условиями T ( ) = T ( ) = 0 (если частица в начальном положении x0 была на границе, то она сразу покинет пространство).

Например, при винеровском блуждании с нулевым сносом = 0 и волатильностью имеем:

где A и B константы интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках x = 0; L. Тогда граничные условия T (0) = T (L) = 0 приводят к:

Максимальное среднее время hT i = L2=4 2 достижения границ получа-

ется тогда, когда в начальный момент частица находится в центральной части интервала x0 = L=2. В силу симметрии задачи (сноса нет) этот результат вполне ожидаем. Даже если x0 находится недалеко от x = 0, то при L ! 1 среднее время также стремится к бесконечности.

В качестве упражнения (l H27) стоит решить эту же задачу при ненулевом сносе и рассмотреть предел широкого пространства L ! 1.

Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей

суммы:

1

X

P (x0; 0 ) x; t) = An un(x) e nt:

n=0

Благодаря ортогональности собственных функций un(x) мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие P (x0; 0 ) x; 0) = (x x0) è (4.21), имеем:

Поэтому окончательно:

1

P (x0; 0 ) x; t) = L2 Xsin(!nx0) sin(!nx)e nt:

n=0

С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне [0::L] уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена

одной из границ.

Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах x = 0 и x = L ток (4.15), ñòð. 111:

должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: u0 (0) = u0 (L) = 0: В результате:

и n = 1; 2; ::. Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:

1

P (x0; 0 ) x; t) = L1 + L2 Xcos(!nx0) cos(!nx)e nt:

n=0

При t ! 1 решение стремится к P (x0; 0 ) x; t) ! 1=L, и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной L.

Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.

Теперь можно записать разложение общего решения по базису:

жим обе части (4.20) на функцию = (x) и подбер¼м е¼ таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Провед¼м интегрирование по частям:

тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:

граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:

I = (x)( (x)J (x) (x)J (x)) = 0:

Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе x4.4, ñòð. 110 приводят к нулевому значению I. Таким

образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию (x) (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее ре-

шение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:

где для определения an используются начальные условия P (x; 0).

4.7Уравнение для x(t; ")

Пусть случайный процесс x = f(t; ") в момент времени t выражен через гауссову переменную ". Несмотря на случайность величин, f(t; ")

представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найд¼м уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к f функция " = g(x; t). Нам потребуются перехо-

ды от частных производных f к g. Для этого запишем дифференциалы:

d" = @xg dx + @tg dt; dx = @"f d" + @tf dt;

ãäå @xg = @g=@x, и т.д. Подставляя dx в первое уравнение, получаем:

Выведем сначала уравнение для обратной функции g(x; t). Пусть в момент времени t случайная величина, от которой зависит x, равна "1. Через бесконечно малый интервал времени в t + dt это уже другая гауссова переменная "2:

где случайное число " не зависит от "1. Усредняя левую и правую части

ãäå D = b2 диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты Fk и просуммируем по k = 0; 1; ::::

ãäå F (g) = F0 + F1g + F2g2 + :: При усреднении производится интегри-

рование по "1 = g с плотностью вероятности P ("1). Для функций типа g0(x; t) предполагается, что после взятия производной необходимо выра-

çèòü x = f("1; t) и подставить в g0(x; t).