9.5Ошибки вычислений и ускорение сходимости

Если мы хотим найти изменение во времени среднего значения или волатильности случайного процесса, необходимо создать большое коли- чество выборочных траекторий, на основании которых провести соответствующее усреднение. На конечные результаты могут оказывать влияние ошибки тр¼х видов:

1)Конечность выборки

2)Конечность временного шага

3)Ошибки округлений

Статистические ошибки конечности выборки достаточно хорошо контролируемы при помощи соотношений, приведенных в разделе x9.2. Ïðè

расч¼те любой интегральной величины v (среднее, квадрат среднего, и

т.д.) необходимо вычислять также выборочную волатильность ~v ýòîé

величины. Стандартная ошибка, которую мы будемpïîлучать для выборочного среднего v~ по n экспериментам, равна ~v= n. При необходимо-

сти можно определить доверительные интервалы, в которые с заданной достоверностью попадает истинное среднее значение.

Простым рецептом проверки наличия ошибок округления может быть переход от двойной точности double к одинарной oat äëÿ òèïà Float. Если результаты при этом изменяются несущественно (на той же последовательности случайных чисел), то вс¼ нормально. Так как мы определили тип Float в начале файла stat.cpp, для подобной проверки достаточно изменить только одну строку.

Рассмотрим теперь величину ошибок, связанных с конечностью временного шага в итерационной схеме. Чтобы статистические ошибки не мешали, воспользуемся следующим при¼мом. Как известно, конкретная траектория винеровского процесса полностью определяет любую траекторию диффузного процесса, если е¼ изменения стоят в стохастическом члене дифференциального уравнения (порождающий процесс: стр. 72).

Для процессов, точные решения которых выражаются явным видом через винеровскую переменную x = f(t; Wt), можно вычислить среднюю абсолютную ошибку расхождения точного решения и численного:

E = jx(tk) xexact(tk)j

Для этого необходимо получить дискретную траекторию Винера при помощи последовательности случайных гауссовых величин "1; :::; "n è, èñ- пользуя их же, построить итерационную схему.

Для уравнения dx = a(x) dt + b(x) W базовая итерационная схе-

ма, которой мы пользовались на протяжении книги, называется схемой Эйлера : p

xk+1 = xk + ak t + bk "k t;

ãäå "k N(0; 1), à ak = a(xk), bk = b(xk). Естественно, сам Эйлер о стохастических уравнениях не слышал, а использовал подобное приближение для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Чем меньше интервал времени t, тем ближе последовательность зна- чений случайного процесса xk = x(tk) находится к непрерывной траекто- ðèè xexact(t) в моменты времени tk. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений уменьшение шага итерационной схемы для повышения точности решения обычно не вызывает особых сложностей, то в

стохастическом случае ситуация значительно сложнее. Чтобы получить среднее значение случайного процесса с относительной точностью 10 3,

необходимо проделать около миллиона экспериментов. В результате временные затраты становятся в миллион раз больше, чем в детерминированном случае. Понятно, что, если при каждом из таких экспериментов, уменьшая t, мы должны выполнять большое число итераций, то ситу-

ация становится критической. Поэтому важную роль играют различные методы ускорения сходимости итерационной процедуры.

 x5.6, ñòð. 148, при рассмотрении метода последовательных приближений мы получили следующую итерационную схему:

ãäå a0k = a0(xk), b0k = b0(xk), а N(0; 1) случайная величина, статистически не зависящая от ". Добавление к схеме Эйлера второй строки

называется схемой Милстейна. Третья строка является следующим приближением по времени, и добавление е¼ мы будем называть модифицированной схемой Милстейна. Новое случайное число k

даря интегралу от винеровской траектории St, который, являясь случай-

ным процессом, зависит от формы Wt, поэтому не определяется только p

значением Wt = " t в момент времени t. Случайная величина пропорциональна площади отклонения от трапеции, соединяющей начальное и конечное значения винеровского процесса на интервале [t; t + t] (см.

x5.1, ñòð. 124).

Рассмотрим программу, вычисляющую средние ошибки при использовании модифицированной схемы Милстейна

printf (" %12.8 f\t %12.8 f\t %12.8 f\n" ,dt ,av , si );

}

}

В данном случае использовано логарифмическое блуждание

dx = x dt + x W:

Во внешнем цикле происходит табулирование временного шага t. Далее

проводится nex экспериментов, для каждого из которых по итерационной схеме вычисляется значение случайного процесса в момент времени t1,

которое сравнивается с точным

x(t) = x0 eWt+t=2;

которое зависит от значения винеровской переменной w в тот же момент времени.

Привед¼м результаты для логарифмического блуждания на интервале времени t = [0:::1]. Ниже в таблице приведены абсолютные отклонения

траектории процесса от точного решения для различных временных шагов t и итерационных схем. Усреднение ошибок проводилось по 10000

экспериментам:

При постоянном применении итерационной схемы ошибка со временем накапливается, и с ростом t достаточно быстро увеличивается. Этот рост

является экспоненциальным, и на интервале t = [0:5; :::; 3] для схем Эй-

лера, Милстейна и модифицированной Милстейна может быть аппроксимирован функциями:

EE = 0:39 e1:33 t ( t)1=2; EM = 0:61 e1:42 t t; E2 = 0:23 e1:34 t t:

Естественно, константы в этих функциях зависят от вида уравнения, однако экспоненциальная зависимость от времени и степенная от шага итерационной схемы являются достаточно универсальными. Таким образом: 1) с увеличением диапазона времени t ошибки накапливаются очень быст-

ро; 2) схемы Милстейна существенно лучше схемы Эйлера, их ошибка быстрее убывает с уменьшением интервала t.

Ниже приведен пример динамики ошибок в виде их натурального логарифма, как функции времени t для t = 10 2 è 10 3. Прямые линии

в этом масштабе означают экспоненциальную зависимость от t.

-10

-12

На самом деле, логарифмическое блуждание, являясь линейной задачей, достаточно комфортно для любого численного моделирования, по крайней мере, пока значения процесса в силу экспоненциального роста среднего значения не сильно выросли. В частности, в модифицированной схеме Милстейна не задействован член со случайным числом .