7.3Дрожание земной оси

Наша Земля, несмотря ни на что, вращается вокруг своей оси с периодом, равным примерно 24 часа. Если ночью в хорошую погоду длительное время смотреть на зв¼здную сферу у нас над головой, видно, что она поворачивается вокруг некоторой точки в окрестности Полярной звезды (в северном полушарии). Именно туда направлена мгновенная ось вращения Земли.

Если бы наша планета была абсолютно тв¼рдым телом, то е¼ динамика подчинялась бы уравнениям Эйлера. Выберем систему отсч¼та, жестко связанную с Землей, направив ось z к северному полюсу, а x и y располо-

жив в плоскости экватора. В первом приближении Земля представляет собой симметричный эллипсоид (шар, несколько сплюснутый вдоль оси z). Поэтому е¼ моменты инерции, вычисленные в этой системе, равны

Jz = J1 = 2Mr22=5 è Jx = Jy = J2 = M(r12 + r22)=5, где M масса Земли, а ri радиусы эллипсоида в направлении к полюсу r1 и в экваториальной плоскости r2. Уравнения Эйлера для свободного вращения имеют вид:

Вектор = f x; y; zg это угловая скорость вращения. Она направлена вдоль мгновенной оси вращения и по модулю равна = d =dt повороту на малый угол d за время dt. Проекции вычислены в си-

стеме отсч¼та, связанной с Земл¼й. Поэтому, когда мы находимся на е¼ поверхности, положение наблюдаемого центра зв¼здной сферы зада¼тся .

Первое уравнение системы приводит к постоянству проекции угловой скорости z = const. Два вторых являются осцилляторными и имеют периодические решения:

Таким образом, вектор вращается по поверхности конуса с угловой ча- стотой !. Подобное вращение мы наблюдаем, запуская детский волчок,

который, быстро вращаясь вокруг своей оси, одновременно медленно поворачивает ось вращения по поверхности конуса.

Обычно различают два типа вращения мгновенной оси. Медленное с большой амплитудой это прецессия. Дополнительные небольшие периодические возмущения этого движения это нутация.

Для Земли M = 5:976 1024 êã, r1 = 6356:8 êì, r2 = 6378:2 êì. Ïåðè-

од вращения вдоль главной оси соответствует 24 часам, поэтому z = 2 =24 = 7:27 10 5 c 1. Òàê êàê (J1 J2)=J2 = (r22 r12)=(r22 + r12) = 1=298, то прецессионный период составляет примерно 300 дней и был предсказан ещ¼ Эйлером. Земной наблюдатель должен наблюдать прецессию (нутацию), как медленное перемещение центра вращения небесной сферы по окружности относительно неподвижных зв¼зд. Такое изменение положения земной оси впервые обнаружил астроном Чандлер в 1891 г.

Однако наблюдаемое движение вращения земной оси оказывается существенно сложнее и носит стохастический характер. Координаты x =

x è y = y являются угловыми (направление !), однако, так как их колебания очень невелики, можно считать, что ось вращения на поверхности Земли рисует вокруг северного полюса соответствующую кривую. Для перехода к метрам углы в радианах необходимо умножить на радиус Земли. Если устранить очень медленную трендовую составляющую (вековое движение), колебания по x и y выглядят следующим образом:

Слева представлено движение проекции Земной оси (arcsec) 2000-2008 (точки ежедневные наблюдения), а справа отдельно по каждой оси

за период 1960-2008. Максимальное отдаление от оси составляет около 0.3 arcsec (1arcsec=4:848 10 6 rad). Поэтому на поверхности Земли это

приводит к максимальному радиусу 9 м. В среднем он раза в два меньше.

Спектральный анализ показывает, что эти колебания являются суммой двух гармоник с периодом 365 дней и 433 дня. Первая периодич- ность совпадает с длительностью года. Вторая оказывается квазипериодической. Амплитуда первой гармоники около 0.09, а второй 0.15.

dx = ( x ! y) dt + Wx dy = (+! x y) dt + Wy:

Их математические свойства мы подробно изучали в разделе x6.3, ñòð.

160. В частности, после затуханpèя возникает квазипериодическое движение с типичным радиусом = и частотой !.

При помощи формулы Ито получаем следующее уравнение:

Стохастический член можно выразить через одномерную винеровскую переменную:

Действительно, если мы решаем уравнение итерациями, какие бы ни были значения x, y к некоторому моменту времени, сумма независимых от них гауссовых чисел "x, "y снова да¼т гауссово число. Так как x2+y2 = r2, то оно имеет единичную дисперсию. В результате, для радиуса можно записать одномерное уравнение рэлеевского типа:

ращается в ноль. Если расстояние от начала координат существенно больше r1, то детерминированная часть динамики начинает уменьшать радиус, и наоборот. Поэтому r совершает характерные стохастические колебания вокруг этого равновесного положения.

Так как решения для x(t) и y(t) известны, мы автоматически имеем

точное решение рэлеевского уравнения, выраженное через две случайные гауссовы величины. В асимптотическом пределе, который мы наблюдаем при изучении вращения Земли, радиус колебаний оси равен:

2 q

r = p "2x + "2y:

2

p p

В частности, среднее значение радиуса составляет r = =2 .

На самом деле, модель Колмогорова является очень упрощ¼нной имитацией стохастических колебаний. В частности, в ней присутствует только одна периодическая компонента, и, как следствие, нет наблюдаемых биений с периодом в 6.35 лет.