8.3Диверсификация

Участники рынка редко покупают только один финансовый инструмент. Чаще они формируют инвестиционный портфель, содержащий в сво¼м составе много различных активов, например, акций. Поэтому перед инвестором стоит задача выбора оптимального состава портфеля.

Изменения цены любой акции в два последовательных момента времени практически независимы. Однако между собой изменения цен различных акций за один и тот же период времени часто оказываются существенно скоррелированными. Этот факт необходимо учитывать при формировании портфеля.

Рассмотрим n компаний, акции которых можно купить на рынке. Пусть изменение цены акции i-й компании характеризуется логарифмической доходностью ri(t) = ln(xi(t)=xi(t 1)) dxi=xi. Доходность ri(t) может включать также дивидендный доход. Везде в этом разделе нижний индекс обозначает номер компании, а не момент времени.

При формировании портфеля необходимо принять решение, какую долю wi имеющихся денег потратить на покупку акций i-той компании. Если е¼ цена равна xi и их куплено Ni øòóê, òî wi = Nixi= . Сумма всех долей в портфеле должна равняться единице:

Примем модель, в которой последовательные доходности данной акции являются независимыми стационарными случайными числами, имеющими среднее ri и волатильность i. Тогда и суммарная доходность

портфеля из n акций за фиксированный период времени также будет случайной величиной:

ãäå Dij ковариационные коэффициенты доходностей между акциями i-й и j-й компаний.

Выбрав в портфеле тот или иной набор весов w1; :::; wn, ìû äëÿ íåãî получим некоторую среднюю доходность r и волатильность . Если перебрать все возможные портфели, то на плоскости ( , r) получится похожая на зонтик область, называемая достижимым множеством:

A

S

Из достижимого множества выбирается такой портфель, который при фиксированной волатильности имеет максимальный доход, или при фиксированной доходности минимальную волатильность. Таким портфелям на рисунке соответствует кривая AB, так называемое эффективное

множество. Действительно, зафиксировав (точка S) и поднимаясь вдоль прямой SP для получения наибольшего дохода, мы попад¼м в точку P на кривой AB. Аналогичное рассуждение справедливо и при движении в горизонтальном направлении.

Кривая AB явным образом отражает расхожее эмпирическое утвер-

ждение о том, что чем больше доход, тем выше риск, и наоборот. При этом: мерой измерения риска служит волатильность портфеля. Интуитивно это понятно. Чем больше волатильность, тем более вероятны существенные отклонения доходности портфеля от среднего, в том числе и в отрицательную область убытков.

Инвестор имеет определенную свободу в выборе точки на кривой

эффективного множества. Однако эта свобода исчезает, если помимо покупки акций планируется разместить часть средств в некоторый актив с гарантированной доходностью rf (risk-free). В качестве такого актива может выступать, например, банковский депозит или надежная облигация.

Предположим, что инвестор выбрал портфель акций с доходностью rM и волатильностью M . Тогда комбинацию из этого портфеля и безрискового депозита можно рассматривать, как новый портфель из двух активов. Один с параметрами ( M ; rM ), другой - с (0; rf ). Депозит име- ет нулевую волатильность и нулевую корреляцию с портфелем, так как независимо от ситуации на рынке он всегда приносит один и тот же доход rf .

214 Глава 8.

Пусть в акции вложена часть денег w1 = w, а остальные w2 = 1 w размещены в безрисковом активе. Тогда уравнения (8.1), (8.2) для двух активов имеют вид:

Эта прямая должна проходить как можно выше, т.е. при фиксированной волатильности давать максимальный доход. Одна е¼ точка (0; rf ) закреплена, а другая находится внутри множества портфелей. Поэтому выше всех (самая доходная) будет прямая, касающаяся сверху эффективной границы:

P rP

rf

P Μ

Точка касания M касательный портфель однозначно опреде- ляется безрисковой ставкой rf и статистическими параметрами акций. Эффективным множеством теперь становится отрезок rf M и его продолжение MB по граничной кривой эффективного множества.

Таким образом, в случае размещения в безрисковом активе даже небольшой части средств инвестора наиболее оптимальным портфелем акций оказывается касательный портфель. Рациональный инвестор может управлять своими рисками только пут¼м выбора доли w средств, которые

он вкладывает в акции, но не структурой этого портфеля. Достаточно неожиданный для интуиции результат!

Касательный портфель M представляет собой выделенную точку эф-

фективного множества. Он соответствует максимально возможному наклону прямой:

k = r rf = max:

Это отношение называется коэффициентом Шарпа.

Доходности акций сильно скоррелированы. Поэтому иногда используют модель линейной зависимости доходности акции и рынка в целом:

ãäå ri ежедневное или еженедельное изменение цены (доходность) i той акции, а rM изменение фондового индекса, такого, как S&P500 или Dow. Величины i считаются случайными воздействиями на конкретную бумагу, не зависящими от рыночных колебаний rM , ò.å. hrM ii = hrM i h ii. Это линейная модель (стр. 24), поэтому наклон прямой, характеризующий чувствительность изменения цены i-й бумаги к изменению цены рынка в целом (бета - коэффициент), равен:

Значения коэффициента i не ограничены пределами [-1...1]. Если бета больше единицы ( i > M ), это означает, что бумага в момент падения рынка, скорее всего, также упадет, причем сильнее, чем рынок, а при росте, наоборот, обгонит его. Отрицательные беты (крайне редкое явление) и положительные средние доходности ri дают возможность инвестировать в бумаги, судьба которых развивается в противофазе с рынком. Бумаги с i < 1 называют оборонительными.

Переход к линейной модели (8.4) позволяет существенно упростить вычисление ковариационных коэффициентов в портфельной теории:

Говорят, что волатильность акции состоит из двух составляющих об-

Если пренебречь величинами ij, то волатильность портфеля (8.2), составленного из n акций с весовыми коэффициентами wi, будет равна:

но оно будет несколько отличаться от точного, найденного из соотношений (8.1), (8.2).