Системы уравнений

6.1Скоррелированные блуждания

Прекрасным примером скоррелированных блужданий является фи-

нансовый рынок. На н¼м одновременно изменяются во времени цены тысяч финансовых активов. Их динамика образует n-мерный случайный

процесс x(t) = fx1(t); :::; xn(t)g. Иногда эти активы можно рассматривать независимым образом, однако в большинстве сво¼м они тесно связаны. Подобная связь обычно возникает за сч¼т внешних синхронизирующих факторов новостийного или макроэкономического характера. Например, цены акций компаний из одного сектора экономики ежедневно изменяются достаточно синхронно. Ещ¼ более жесткая связь возникает на рынке деривативов. В этом случае, хотя цена фьючерса или опциона испытывает случайные колебания, она, тем не менее, тесно связана с другой стохастической величиной финансовым активом, лежащим в основе дериватива. В конечном сч¼те, финансовый рынок должен описываться единой, и достаточно большой системой стохастических дифференциальных уравнений.

Рассмотрим сначала два случайных дискретных процесса, накопленные изменения которых равны:

Несколько тяжеловесная функциональная запись номера изменения позволит нам не путаться при описании множества процессов. Мы по-прежнему

считаем, что каждое изменение (i) не зависит от предыдущего и являет- p

ся гауссовым. Аналогично для (i). Поэтому суммы равны t, умножен-

ному на гауссову случайную величину, которую для первого процесса мы обозначили через , а для второго через . Однако теперь дополни-

тельно предположим, что на каждом этапе изменения процессы скоррелированы друг с другом:

h (i) (j)i = ij; h (i) (j)i = h (i) (j)i = ij; (6.2)

ãäå ij символ Кронекера, равный единице при i = j и нулю в противном случае. Это очень похоже на фондовый рынок, на котором ежедневные изменения цен двух акций скоррелированы h (1) (1)i = , но

изменения последовательных дней, как для одной бумаги h (1) (2)i, так и попарно h (1) (2)i, практически равны нулю.

Процессы (6.1) со свойствами изменений (6.2) будем называть скоррелированными дискретными винеровскими блужданиями .

Аналогично одномерному процессу можно вычислить различные соотношения между средними. Так, пусть в момент времени s мы знаем значение xs. Да¼т ли эта информация возможность предсказать yt â íåêî- торый последующий момент t > s? Найд¼м корреляционный коэффициент между xs è yt. Для этого разобь¼м время на два интервала [1; :::; s]

è [s + 1; :::; t]:

Величины и пропорциональны накопленным первым s изменениям каждого из процессов. Среднее их произведения тоже равно :

p p

h i s s = (1) + ::: + (s) (1) + ::: + (s) = s ;

так как при перемножении скобок после усреднения выживут только s пар с одинаковыми индексами. Накопленные изменения 0 второго про-

цесса не зависят от предыстории и не скоррелированы ни с , ни с . Поэтому ковариация равна:

cov(yt; xs) = hytxsi = ( ps + 0pt s) ps = s :

Это означает, что в линейной регрессионной модели возникает следующая связь между случайными величинами:

где, как и раньше, ошибка предсказания модели (случайный шум нашего незнания развития процесса после момента времени s).

По отдельности каждый из процессов это обычное винеровское дискретное блуждание с начальным значением, равным нулю. Если мы знаем ys в момент времени s, то прогноз его в момент t равен yt = ys +

(ñì. ñòð. 36). Если нам известно только начальное значение y0 = 0, то лучшим прогнозом yt будет ноль. В случае, когда процесс xt

îò yt, знание xs нам не поможет для прогноза yt. Однако для скоррелиро- ванных процессов это не так. Если > 0 и xs находится в положительной области, то и yt вероятнее будет находиться там же. Хотя этот прогноз не зависит от того, совпадают ли моменты времени t = s или t s, и величина его ошибки увеличивается со временем t s.

В непрерывном пределе мы будем рассматривать m независимых

винеровских блужданий W(t) = (W1(t); :::; Wm(t)), каждое из которых определяется суммой бесконечно большого числа N ! 1 гауссовых

изменений, каждое из которых происходит за бесконечно малое время

t ! 0:

p p p

Изменения этих процессов W являются шумом для динамических пе-

ременных x = (x1; :::; xn) той или иной системы. Например, вектор x может представлять собой цены различных инструментов на финансовом рынке или координаты, задающие положение броуновской частицы в тр¼хмерном пространстве.

Обратим внимание на то, что в общем случае количество m порождающих (см. x2.8, ñòð. 72) процессов Винера может быть отлично от числа n интересующих нас случайных функций x. Обычно предполагается, что m 6 n. Например, возможна ситуация, когда один и тот же одномерный шум m = 1 оказывает воздействие на n переменных состояния системы.

Однако чаще у каждой переменной состояния свой шум, и, следовательно, m = n.

Многомерное винеровское блуждание с произвольными сносами и волатильностями можно записать в следующем виде:

xi(t) = i t + iW (t):

По повторяющемуся индексу происходит суммирование, которое пере- мешивает при помощи матрицы i независимые винеровские процессы W (t). В общем случае i = 1; :::; n, а = 1; :::; m. Если n = m и матрица i является диагональной, то xi(t) являются нескоррелированными. Иначе i задают не только волатильности процессов, но и коэффициенты их корреляции.

Аналогично одномерному случаю стохастическое уравнение, которому удовлетворяет этот процесс, имеет вид:

dxi = i dt + i W ;

или в матричных обозначениях:

dx = dt + W;

ãäå = ( 1; ::::; n) вектор сноса, определяющий детерминированную составляющую изменения случайных функций x(t).