194 |
Глава 7. |
7.4Электронный шум
Âэлектротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.
Основными характеристиками процессов, происходящих в электриче-
ской цепи, являются напряжение (разница потенциалов) U между двумя точками и проходящий по ней ток I. Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: I = dQ=dt.
Большинство электротехнических устройств состоят из тр¼х элементарных деталей резистора, конденсатора и индуктивности:
R |
C |
L |
U = R I |
U = Q |
U = L dI |
|
C |
dt |
Резистором является любой проводник, затрудняющий прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: U = R I, где R
константа, называемая сопротивлением.
Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ¼мкостью C, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда,
тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: U = Q=C. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию E = Q2=2C ýëåê-
трического поля.
Индуктивность это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для не¼ справедлив закон Ома в виде: U = L dI=dt. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную E = LI2=2.
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.
|
L |
Q dI |
U |
R |
|
|
R I + C + L dt = U: |
|
|
C |
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах UR + UC + UL должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через U.
Стохастическая природа |
195 |
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:
dQ = I dt
dI = ( Q + 2 I) dt + W;
где = 1=LC, = R=2L и U = L W . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума . В его отсутствие ( = 0) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:
d2Q + 2 dQ + Q = 0: dt2 dt
Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд Q и ток I являются
динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:
E(Q; I) = |
LI2 |
+ |
Q2 |
=> |
dE |
= RI2: |
(7.6) |
|
2 |
2C |
|
dt |
|||||
Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных RI2. Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и проис-
ходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ( потенциальная ) в магнитную ( кинетическая ) на индуктивности, и обратно.
Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем слу- чае матрица системы A и е¼ собственные значения имеют вид:
A = |
0 |
1 |
a1;2 = i!; |
|
2 |
p
ãäå ! = 2. Мы предполагаем, что сопротивление невелико и 4L=C > R2. По стандартному алгоритму (стр. 165) несложно найти:
|
|
|
|
+ Q0)=!) sin !t e t |
|
||
Q(t) = |
Q cos !t + ( I0 |
(7.7) |
|||||
I(t) = |
I00 cos !t |
|
( I0 |
+ Q0)=!) sin !t e t: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможно, более быстрый путь это решение уравнения второго порядка в виде Q(t) = (A cos !t + B sin !t)e t и определение констант при
помощи начальных условий Q0 = Q(0), I0 = Q_ (0).
196 |
Глава 7. |
Если некоторая система имеет температуру T , можно воспользовать-
ся распределением Гиббса (стр. 184) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:
P (I; Q) = P0 e E(I;Q)=kT : |
(7.8) |
Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:
|
@(a P ) |
1 |
@2 |
|
hBikBjkP i = 0: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
@xi |
2 |
@xi@xj |
|
|
|
|||||||||||||
В данном случае x = fQ; Ig и |
0 |
1 |
; B BT = 2 |
0 |
1 |
|
|||||||||||||||
a = fI; Q 2 Ig; |
|
|
Bij = |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
Поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@P |
|
@P |
|
@(IP ) |
|
2 @2P |
|
|
|
|||||||||||
I |
|
Q |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= 0: |
|
|
|
|||||
@Q |
|
@I |
|
@I |
2 |
@I2 |
|
|
|
||||||||||||
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:
(L )2 = 2 kT R:
Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:
p |
|
U2 = 2 kT R dt: |
|
U = 2 kT R W |
=> |
(7.9) |
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме ( t ! 1) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), ñòð. 167. Положив D_ = 0, имеем:
A D + D AT + B BT = 0;
откуда:
|
2 |
1 |
0 |
|
C |
0 |
|
D = |
|
0 |
= kT |
|
0 |
1=L ; |
(7.10) |
4 |
что согласуется с вероятностью (7.8) и n мерным гауссовым распреде-
лением на стр. 342. Заметим, что Q2 = kT C, I2 = kT=L, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу диспер- сий при произвольном t (l H45), а также ковариацию и спектральную
функцию в стационарном режиме (l H46).
