3.2Процесс Феллера

Рассмотрим стохастическое уравнение следующего вида:

При > 0, > 0 снос совпадает с уравнением Орнштейна-Уленбека

[(2.27), ñòð. 60], но волатильность шума не является постоянной. Благодаря зависимости от x в стохастическом члене при приближении x(t) к

нулю величина шума падает, и детерминированный снос возвращает процесс к равновесному уровню. Таким образом, блуждание (при небольших) всегда оста¼тся в положительной области x > 0. Модель (3.6) активно

используется в различных финансовых и экономических приложениях. Например, x может быть процентной ставкой или курсом валют.

Плотность вероятности P (x0; t0 ) x; t) имеет достаточно громоздкий вид (стр. 270). Однако выражения для средних значений x несложно получить при помощи динамического уравнения (3.2):

Благодаря линейности сноса выражение для среднего совпадает с процессом Орнштейна - Уленбека.

Аналогично для среднего квадрата при F = x2 â (3.3) имеем:

hx_2i = 2 x2 + (2 + 2) hxi :

Так как функция времени hxi нам известна, это уравнение легко интегрируется (l H21) и приводит к следующей дисперсии x2(t) = x2 hxi2:

x2(t) = 1 e t 2 + 2x0 1 e t e t;

ãäå = 2=2 . Обратим внимание, что, если x размерная величина (цена или координата), то ту же размерность имеют параметры и . Параметр имеет размерность обратного времени ( t безразмерно).

В отличие от процесса Орнштейна - Уленбека, величина дисперсии зависит от начального значения x0, однако она также стремится к константе = 2=2 при t ! 1. Обратим внимание, что эта константа

имеет дополнительный множитель .

При t ! 1 процесс имеет стационарный режим, плотность вероятности которого находится из уравнения Фоккера-Планка (стр. 80):

Проведя интегрирование, получаем гамма-распределение:

где = = и всегда x > 0. В знаменателе нормировочного множителя стоит гамма-функция ( ) (см. стр. 313). Распределение имеет следующий график и статистики:

hxni = ( + 1) :: ( + n 1) n:

x

xmax x

Заметим, что P (0) = 0 только при > 1 или 2 < 2 . В качестве

упражнения (l H22) предлагается вывести стационарное распределение при помощи уравнения для средних, выбирая F (x) = xn.

Найд¼м производящую функцию в произвольный момент времени:

которое несложно преобразовать в дифференциальное уравнение для функции = (t; p):

Оно решается (l H23) при помощи метода характеристик (стр. 316):

с начальным условием (0; p) = ep x0 . Если сделать аналитическое продолжение в комплексную область p ! {p, то получится характеристиче- ская функция, фурье-интеграл от которой даст P (x0; 0 ) x; t).

В предыдущей главе мы видели, что точные решения некоторых

стохастических уравнений можно выразить через скалярную гауссову случайную величину ". Подобного простого представления для процесса

Феллера не существует. Однако его можно записать при помощи двух скалярных случайных величин " и u:

q

x(t) = x0e t + 2x0 e t (1 e t) " + 1 e t u;

ãäå = 2=2 , а " и u имеют следующую совместную производящую функцию для средних:

совпадает с производящей функцией (3.8), åñëè f22 = 2f1 f3, а функции f1(t), f3(t) имеют вид:

По отдельности случайная величина " имеет распределение Гаусса, а u гамма-распределение. В асимптотическом режиме t ! 1, x(t) ! u на случайные свойства процесса оказывает влияние только величина u.

ãäå = = .

Представление решения через скалярные величины легко позволяет находить различные средние. Так как x = f1 + f2 " + f3 u, то, например:

x2 = f12 + f22 "2 + f32 u2 + 2f1f3 u = f12 + f22 + (1 + ) f32 + 2 f1f3;

что приводит к известному уже нам выражению для x2(t).

Найд¼м совместную плотность вероятности случайных величин " и u. Для этого при помощи замен p ! {p, k ! {k перейд¼м от производящей функции к характеристической и выполним фурье-интегрирование:

Интеграл по k вычисляется при помощи формулы (14), ñòð. 312:

Интеграл по p соответствует характеристической функции гамма - распределения (стр. 27) c x = u "2=2 > 0. Поэтому совместная плотность вероятности имеет вид:

Åñëè u < "2=2, то P ("; u) = 0. Этот факт важен, так как ограничивает отрицательные значения ", не позволяя случайному процессу x(t) стать отрицательным (по крайней мере, при небольших ).

Ниже представлена область ненулевого значения плотности вероятности на плоскости ("; u) (слева), и е¼ тр¼хмерная форма (справа):

Если распределение P ("; u) проинтегрировать по " или по u, получаются распределения для каждой случайной величины:

т.е. нормальное и гамма-распределения. Впрочем, этот факт следует из вида производящей функции (3.9).

Чтобы найти автоковариационную функцию, необходимо воспользо-

ваться свойством марковости рассматриваемого процесса. Решение выражается через две случайные величины x(t) = f(x0; t t0; "; u), поэтому:

где "; u статистически не зависят от "1; u1, и, следовательно, от xt. Ïî- этому, умножая xt+ íà xt и усредняя, получаем:

hxt+ xti = x2t e + (1 e ) hxti ;

где учтено, что x3t =2" = x3t =2 " = 0, так как h"i = 0, и hui = = = . Таким образом, автоковариационная функция равна:

cov(t; t + ) = hxt+ xti hxt+ i hxti = x2(t) e :

В асимптотическом пределе больших врем¼н t ! 1 процесс Феллера,

как и процесс Орнштейна-Уленбека, является стационарным в широком смысле. Автоковариационная функция зависит только от разницы врем¼н и имеет следующее спектральное представление (стр. 71)

От процесса Орнштейна-Уленбека эти величины отличает множитель .

Если нам известно решение одного стохастического уравнения, то

фактически мы знаем решение целого класса уравнений, которые полу- чаются из исходного при помощи замены переменной по лемме Ито.

Например, всегда можно подходящей заменой выбрать произвольную

функциональную форму у волатильности. При этом, естественно, изменится и снос. В уравнении Феллåра волатильность пропорциональна px.

p

Если сделать замену x ! 2 x, мы прид¼м к уравнению релеевского

òèïà:

ãäå = 2 2=2. Аналогично получаются другие уравнения, решение которых сводится к процессу Феллера.

Рассмотрим подробнее блуждание с постоянным сносом и волатильностью, имеющей зависимость в виде корня от x:

p

dx = a dt + x W: (3.11)

Совершив в уравнении Феллера предельный переход ! 0, так, что! a = const, получаем решение (3.11) в следующем виде:

где от сноса a зависит производящая функция для " и u, а не само ре-

Параметр в производящей функции и совместной плотности вероятности равен 2a= 2.

Среднее значение и дисперсия процесса эволюционируют следующим образом:

Как и в случае с процессом Феллера, не при любых параметрах возможно решение уравнения. Мы считаем процесс действительным, и наличие в волатильности корня делает невозможным уход в отрицательную область. Однако понятно, что при a < 0 подобная ситуация возможна, если

только в точке x = 0 не задать граничных условий, останавливающих

или отражающих блуждание. Этими вопросами мы займ¼мся в следующей главе. Сейчас же мы изучаем стохастический процесс без граничных условий, и его собственная динамика должна удерживать x(t) в положи-

тельной области значений.

Из вида совместной плотности вероятности (3.10) следует, что > 1=2, и, следовательно, a > 2=4. Таким образом, снос должен быть не толь-

ко положительным, но и большим четверти квадрата волатильности. В противном случае стохастический шум может выбить решение в отрицательные значения.

Естественно, аналогичные ограничения существуют и для процесса Феллера. Если , и x0 являются положительными величинами, снос уравнения притягивает решение к равновесному уровню x = . При

малых x волатильность шума уменьшается и динамика сноса поднимает его вверх. Однако так происходит только, если > 2=4.