4.3Решение уравнения Фоккера-Планка . . . . . . . . . . . . . 108

4.4Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.5 Вероятность достижения границы . . . . . . . . . . . . . 114

4.6Разложение вероятности по базису . . . . . . . . . . . . . 116

4.7Уравнение для x(t; ") . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1Площадь под траекторией Винера . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2Интегралы Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3Квадратичный функционал . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.4Интегрирование стохастических уравнений . . . . . . . . . 140

6.3Стохастический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4Линейные многомерные модели . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.5Многомерие помогает одномерию . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.6Некоторые точные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.7Как решать стохастические задачи? . . . . . . . . . . . . . 176

7.1Теория броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2Стохастический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3 Дрожание земной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.4Электронный шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.5Хищники и их жертвы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.1Финансовые рынки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.2Эмпирические закономерности . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.3Диверсификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8.4Портфель на всю жизнь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.5Опционы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.6Формула Блэка-Шоулза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.7Кривая доходности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.1Основы языка C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.2Статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.3Случайные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.4Моделирование стохастических процессов . . . . . . . . . . 250

9.5Ошибки вычислений и ускорение сходимости . . . . . . . . 254

9.6Вычисление средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

VСистемы уравнений с одинаковым шумом . . . . . . . . . . 279

VПолезные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Эти материалы представляют собой расширенный конспект курса лекций для сотрудников компании Altus Assets Activities , организованного Центром Фундаментальных Исследований. При их подготовке ставилась задача дать быстрое и простое введение в стохастические дифференциальные уравнения, не теряя при этом убедительности аргументов.

Случайные процессы происходят в самых разнообразных финансовых, биологических и физических системах. Соответствующий математиче- ский аппарат, хотя и оперирует нетривиальными конструкциями, на самом деле весьма прост. Мы исходим из того, что для практических приложений неформальное понимание методов на начальном этапе важнее, чем их строго аксиоматическое изучение. В отличие от общепринятого подхода, мы будем редко использовать стохастическое интегрирование. Это существенно упростит изложение и позволит сразу перейти к практическим приложениям.

Рекомендуемое прохождение материала по главам условно можно представить в виде следующей диаграммы:

Базовыми являются первые шесть глав, которые содержат основы стохастической математики. Седьмая и восьмая главы посвящены приложениям и могут быть прочитаны в любом порядке. Это относится не только к главам, но и к параграфам внутри них. В девятой главе рассматривается численное моделирование случайных процессов на компьютере, и для е¼ чтения желательно знакомство с любым языком программирования.

В тексте разбросаны небольшие задачи, помеченные символом ( l Hi), где i номер решения в приложении Помощь . Кроме этого, встреча-

ются ссылки (l Ci), которые имеет смысл просматривать только в том случае, если в процессе чтения возникли вопросы. Возможно, ответ будет найден в приложении Примечания под номером i. Зв¼здочкой отмече-

ны те разделы, которые на первом этапе можно пропустить.

Кроме приложений Помощь и Примечания в книге присутствуют Математическое приложение и Стохастический справочник . В первом приведены активно используемые факты теории вероятности, математического и тензорного анализа. Во втором собраны различные формулы стохастической математики.

Справочник может оказаться полезным и для Читателя, знакомого со стохастическими дифференциальными уравнениями. Однако, перед его чтением настоятельно рекомендуется прочитать страницу 51 и просмотреть разделы x2.6, ñòð. 64, è x5.1, ñòð. 124.

Последняя версия лекций на русском и английском языках находится в Интернете по адресу synset.com/. Автор будет признателен за сообщения об ошибках, неточностях и неясностях, устранение которых будет сделано в последующих редакциях этой книги.

http://synset.com

1.1Стохастический мир

Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в

сво¼ распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые вели- чины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

Функция x(t) > 0 может описывать количество кроликов, скорость раз-

множения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если > 0, то

это уравнение называют уравнением роста, в противном случае уравнением распада. В решении присутствует произвольная константа x0, для определения которой необходимо задать, например, начальное коли- чество кроликов x0 = x(0) > 0 в момент времени t0 = 0.

Экспоненциальная функция раст¼т очень быстро. Если бы кролики размножались вс¼ время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции dx=x = A dt в общем случае может быть функцией x. Разложим е¼ в ряд

A(x) = x + :::, ограничившись линейной зависимостью. Второе сла-

гаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, которая со временем выходит на стационарное значение = (при > 0):

Решение уравнения (1.2) получается ( l H1) после замены x(t) = 1=y(t). Асимптотически (t ! 1) равновесное значение x1 = = легко найти из уравнения, в котором dx=dt = 0 (l C1). Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма ( l C2).

Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила F (x) изменяет импульс p = mx частицы:

массу частицы. К примеру, если сила линейна F (x) = kx, то координата частицы совершает колебания x(t) = x0 cos(wt) + (p0=!m) sin(wt)

p

с частотой w = k=m (l H2). Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты x0 = x(0) и импульса p0 = p(0).

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

ãäå x(t) = fx1(t); :::; xn(t)g вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция a(x; t) определяет е¼ динамику. Лю-

бые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе (1.4) введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона (1.3).

Мы записали (1.4) в виде изменения вектора x(t) за бесконечно малый интервал времени dt. Такое представление да¼т простой алгоритм

численного интегрирования уравнений (1.4) в ситуации, когда аналити- ческое решение получить не уда¼тся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные x = xk+1 xk, t = tk+1 tk. В результате (1.4) соответствует дискретной итерационной схеме:

Задав начальный вектор x0, мы получаем его новое значение x1 через интервал t. Затем x1 подставляем вместо x0 и находим x2. Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора x(t) в дискретные моменты времени t0, t1 = t0 + t, t2 = t0 + 2 t, и т.д. Чем меньше интервал времени t, тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к истинному решению уравнения (1.4).

Успехи естественных наук, использующих дифференциальные урав-

нения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещ¼ большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат x(t) пыльцы в этом случае настолько велика, что е¼ производную по

времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохасти- ческих (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за сч¼т случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (1.2), íà

самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция x0et â

реальности сильно искажается экономическими подъ¼мами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо вероятностное:

Обыкновенные дифференциальные уравнения это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения ( l C3).

В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы x. Так как dx предпола-

гается малым, соответственно, определ¼нным образом при уменьшении интервала времени dt должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения

будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума Noise(x; t; dt), обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция x(t),

которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной:

Несмотря на то, что случайная функция x(t) предполагается непрерыв-

ной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение [x(t + t) x(t)]= t при t ! 0.

Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за сч¼т случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определ¼нному пределу. Понятно, что для такого dx многие факты математического

анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (1.6). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитиче- ские соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном сч¼те разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.