Глава 5

Стохастические интегралы

Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование, то естественно ввести и стохастическое интегрирование. Соответствующая техника даст нам ещ¼ один инструмент получения соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов. Это очень красивый раздел стохастической математики, который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.

В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых изменения снос, пропорциональный dt, и волатильность шума W .

Соответственно, возможно два вида интегралов. В первом разделе мы рассмотрим стохастические интегралы по dt, изучим их основные свой-

ства и найд¼м представление некоторых интегралов через обычные слу- чайные величины. Во втором разделе рассматривается интеграл Ито поW . Далее будут получены условия, при которых решение стохастиче-

ского дифференциального уравнения единственно, и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.

123

p

(n 1) "1 + ::: + 1 "n 1 ( t)3=2 = 1 12 + 22 + ::: + (n 1)2 ( t)3=2:

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через 1 N(0; 1). В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда 12 + ::: + (n 1)2 равна (n 1)n(2n 1)=6.

Устремляя n ! 1, t ! 0, так что n t = t, получаем:

Таким образом, St это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как t3=2, ò.å. St N(0; t3=3). Однако это

ещ¼ не вс¼. Величина 1 не является независимой от винеровского блуждания Wt. Действительно, Wt равен сумме гауссовых чисел "k, которые мы использовали для вычисления интеграла St:

Первая строка это запись винеровского процесса в момент времени t через накопленную сумму изменений 2 на каждом интервале. Втораяэто интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях 1 è 2 это гауссовы числа N(0; 1). Однако, они скоррелированы друг с другом:

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например Wt2 St2 = 5 t4=6.

Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что St более гладкий процесс, чем Wt. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы Wt è St имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

Воспользуемся записью (5.5) площади St в два различных момента

~

времени t и t + . Так как S независима от St è Wt, автоковариация легко вычисляется:

St St+ = St2 + St Wt = t33 + t22 ;

где учтено, что Wt St = t2=2. Разделив ковариацию на волатильности St è St+ , получим автокорреляционный коэффициент для S:

где T = =t. Аналогично проводятся вычисления для W :

Корреляция для Wt быстрее уменьшается с ростом T по сравнению с корреляцией для St. Графически это представлено ниже на левом графике:

Справа приведены выборочные траектории для Wt è St. Видно, что St существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

128 Глава 5.

В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции f(t) и гауссового числа N(0; 1) следующих соотношений:

p

Если процесс Винера Wt = " t, то коэффициент корреляции равен:

Например, для степенной функции f(t) = tn:

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени t.

При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить через " и независимую от не¼ случайную величину "1:

p

= " + 1 2 "1:

Теперь вычисление средних типа "2 2 не составит труда.

Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

t

Z

It = f (W ) d

t0

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса W , но и явная зависимость от времени: ft(Wt) = f(t; Wt), как, например, в (5.6). Функция f в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по Wt случае интеграл оказыва- ется нормально распредел¼нным. В более общем случае это не так.

Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать

достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции gt(Wt) и интеграла по времени от ft(Wt). Запишем в символическом виде интегральную сумму:

необходимо сгруппировать в ней k первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся n k во второе:

Òàê òàê "a è "b два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

YX

Другие полезные соотношения можно найти в приложении Стохастиче- ский справочник . Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.