6.4Линейные многомерные модели

Найд¼м решение линейных стохастических уравнений (по j сумма):

dxi = Aij (xj cj) dt + Bij Wj:

Постоянный вектор cj можно убрать сдвигом xj ! xj + cj. В решении делается обратный сдвиг. Поэтому будем изучать однородное уравнение, которое запишем в матричной форме:

dx = A x dt + B W;

где A и B не зависящие от x и времени матрицы.

Для определения среднего проще всего сразу воспользоваться соотношением (6.16):

Монотонная зависимость от t в матричной записи решения (6.20) îá-

манчива. Рассмотрим стохастический осциллятор из предыдущего раздела:

Так как матрицы 1 и q коммутируют друг с другом (q 1 = 1 q), экспонента суммы разбивается на произведение eAt = e 1 t eq !t. Раскладывая

второй множитель по степеням t и учитывая аналогичное разложение для синуса и косинуса, решение можно представить в следующем виде:

Оно же выше было получено другим методом. Таким образом, монотонная зависимость от времени в матричных соотношениях вполне может превратиться в периодическую функцию.

Найд¼м более практичное, чем (6.20), представление для решения линейного уравнения. Будем его искать в виде:

Постоянный вектор u является собственным вектором матрицы A, а параметр a е¼ собственным значением. Перенося (a u) в левую часть, получаем систему однородных уравнений относительно u, которая имеет ненулевое решение, только если е¼ детерминант равен нулю:

det(A a 1) = 0:

Это уравнение называется характеристическим и является полиномом n-той степени по a. Обычно оно имеет n различных решений a1; :::; an.

Часть из них может оказаться комплексными. Для каждого из них мы решаем уравнение (6.23) и находим собственные вектора u(k). Внимание!

Верхний индекс это номер собственного вектора, а не его компонента. Теперь общее решение для среднего значения вектора переменных со-

стояния можно записать в следующем виде:

X X

x(t) = k u(k) eakt; x0 = k u(k); (6.24) k k

ãäå k произвольные константы, выражающиеся через начальные условия x0 = x(0). Прямой подстановкой в исходное уравнение можно проверить справедливость этого решения. Действительная часть собствен- ных значений ak будет приводить к экспоненциально уменьшающимся (Re ak < 0) или увеличивающимся (Re ak > 0) решениям. Мнимая часть соответствует колебательным режимам.

Если матрица A симметрична, то собственные вектора можно выбрать ортогональными: u( ) u ( )

жение). В этом случае k = x0 u (k).

Когда k выражены через x0, можно найти явное представление экспоненты от матрицы. Действительно, из (6.20), âçÿв производную по компо-

В качестве упражнения (l H33) предлагается найти eAt для матрицы 2x2,

óкоторой A12 = A22 = 0. Необходимо это сделать прямым разложением экспоненты при помощи собственных значений.

Выразим теперь решение стохастической линейной системы через гауссовы переменные. Введ¼м новый вектор y, удовлетворяющий, по лемме Ито (6.13), ñòð. 157, следующему уравнению:

y = e At x => dy = e At B W = G(t) W:

Сумма независимых гауссовых чисел " (tk) снова пропорциональна гауссовому числу, которое удобно представить в виде суммы независимых величин " (второе равенство). Найд¼м значения g . Для этого вычис-

лим среднее от y(t) y(t0)) (y(t) y(t0) :

X

g g h" " i = G (tk)G (tl) h" (tk)" (tl)i t:

k;l

Учитывая независимость случайных величин h" (tk)" (tl)i = ; k;l è h" " i = ;, а также переходя к непрерывному пределу t ! 0, полу- чаем (t0 = 0):

Напомню, что (A B)T = BT AT (ñì. ñòð. 304). Решение для y запишем в матричном виде, учитывая, что y0 = x0 ïðè t = 0:

y = x0 + g(t)

Поэтому, так как x = eAt y, окончательное решение системы линейных стохастических уравнений имеет вид:

ãäå S = eAt g. Вектор = f"1; :::; "ng представляет собой набор независимых случайных чисел с гауссовым распределением, имеющим нулевое среднее и единичную дисперсию, а x(t) среднее значение (6.20), (6.24). В качестве упражнения (l H34) предлагается найти матрицу eAt äëÿ двухмерного осциллятора и проверить решение (6.27).

Вычислим матрицу дисперсий:

h i

D = h(x x) (x x) i = SiSj h"i"ji = S ST = eA t g gT eAT t :

Учитывая (6.26), имеем:

Это соотношение можно (l H38) сразу получить из уравнения для средних (6.17), ñòð. 159, из которых следует матричное уравнение:

Если существует стационарный режим, то D_ = 0 и уравнение (6.29) ïîç- воляет легко найти D.

Распределение для x имеет гауссовый вид, поэтому, зная матрицу дисперсий, можно записать марковскую плотность вероятности:

намических переменных. Они полностью определяют свойства процесса. В частности, характеристическая функция ( l H35):

he{ p xi = e{ p x 12 p D p

позволяет легко находить моменты произвольных порядков.

При помощи (6.27), (6.28) несложно ( l H39) найти ковариационную матрицу:

cov (t; t+ ) = hx (t)x (t + )i hx (t)i hx (t + )i = D(t) eAT : (6.30)

Если в пределе t ! 1 у системы существует стационарный режим, то в этом случае матрица дисперсий D становится постоянной, а ковариация зависит только от разности врем¼н .

Таким образом, алгоритм решения линейной задачи следующий: B Находим собственные значения и вектора матрицы A.

B Записываем решение для средних (6.24) и выражаем k через x0.

BПри помощи соотношения eAt = @x =x0 находим eAt.

BВычисляем матрицу дисперсий D .