1.8Случайные процессы

Âобщем случае мы называем случайным процессом упорядоченную последовательность случайных величин x1; x2; :::. Вместо индекса, пе-

речисляющего величины, удобно использовать функциональную форму x(t). Если параметр t принимает дискретные значения, то мы имеем де-

ло с дискретным случайным процессом . Если же t непрерывное время, то это непрерывный случайный процесс по времени. В этом случае x(t)

называется случайной функцией. Заметим, что она может быть и разрывной, например, если x(t) в каждый момент времени равно независимой

гаусовой величине " (гауссовый шум).

Случайный процесс необходимо описывать совместной плотностью вероятности для каждого момента времени:

ãäå ti явным образом указывают, к какому моменту времени относится значение случайной величины xi. Понятно, что в случае непрерывных процессов работать с такой плотностью вероятности достаточно сложно. Поэтому е¼ размерность стараются уменьшить. Если проинтегрировать по всем случайным величинам xi, кроме одной, получится плотность вероятности в фиксированный момент времени P (x; t). Аналогично можно

определить плотность вероятности в два произвольных момента времени P (x1; t1; x2; t2), и т.д. Заметим, что t, в отличие от x, это не случайная величина, а параметр.

Часто процесс изучается после того, как стало известным его началь- ное значение x0 в момент времени t0. В этом случае целесообразно применять условные плотности вероятности. Например, одноточечная:

P (x0 ) x1) P (x0; t0 ) x1; t1)

или двухточечная:

P (x0 ) x1; x2) P (x0; t0 ) x1; t1; x2; t2):

Они будут основными объектами при описании случайных процессов.

Случайные величины, совокупность которых образует случайный процесс, могут быть как независимыми, так и связанными. Если величины независимы, график выборочного процесса будет выглядеть, как хаоти- ческие выбросы вверх и вниз от среднего значения. Такой процесс называют шумом. При наличии некоторой связи между последовательными значениями график может иметь хотя и очень изломанную, но вс¼ же относительно связную динамику. Примером подобного процесса является дискретное аддитивное блуждание, рассмотренное выше.

Описание случайного процесса существенно упрощается, если его

полная плотность вероятности (1.43) или соответствующая ей условная вероятность обладают некоторыми свойствами, позволяющими связывать прошлые и будущие значения. Нас будет интересовать класс слу- чайных процессов, для которых условная вероятность зависит только от последнего известного значения, а не от всей предыстории:

P (:::; xt 2; xt 1; xt ) xt+1) = P (:::; xt 2; xt 1; xt; xt+1) = P (xt ) xt+1); P (:::; xt 2; xt 1; xt)

где опущены моменты времени. Как мы уже говорили, подобные процессы являются марковскими. При выполнении условия марковости совместную плотность вероятности произвольной размерности можно выразить через произведение условных вероятностей P (x1; t1 ) x2; t2), ñì. (1.42). В этом случае для полного описания свойств случайного процесса достаточно знания функции только четырех аргументов, а не бесконеч- ного их числа, как в формуле (1.43).

Чтобы в результате эмпирических исследований выяснить форму даже простой условной плотности вероятности P (x0; t0 ) x; t), необходимо достаточно большое количество реализаций случайных процессов. Поэтому, как и для обычных случайных величин, важную роль играют интегральные характеристики случайного процесса. Естественно, они становятся функциями времени. Если известно значение процесса x0 â момент времени t0, то условное среднее значение равно:

Аналогично определяется условная дисперсия (квадрат волатильности):

Далее мы будем говорить о решениях стохастических дифференциальных уравнений. В случае, когда случайные воздействия Noise на изменение величины x невелики, среднее значение будет приближ¼нно соответ-

ствовать гладкому решению обыкновенного дифференциального уравнения без стохастического воздействия. Волатильность при этом характеризует типичный коридор колебаний различных реализаций случайного процесса вокруг этого среднего значения.

цесса не полностью характеризуют основные особенности его динамики. Ниже на рисунке приведены несколько реализаций двух различных процессов:

Они имеют одинаковое среднее (центральная пунктирная линия) и волатильность точечный коридор , нарисованный вокруг среднего. Тем не менее хорошо видно, что характер этих процессов различный, и правый имеет менее гладкую динамику (l C12).

Поэтому важной характеристикой стохастического процесса является связь прошлого и будущего . Определим автоковариацию между двумя моментами времени t1 < t2 при условии, что при t = t0 наблюдалось

значение x0 = x(t0):

covt0 (t1; t2) = xt1 xt1 xt2 xt2 ; (1.46)

ãäå xt = hx(t)i среднее значение в момент времени t, а xti = x(ti). Приставка авто- в названии подч¼ркивает, что ковариация вычисляется между величиной в момент времени t1 и ей же в другой момент t2.

Среднее определяется при помощи условной плотности вероятности P (x0; t0 ) x; t) и предполагает однократное интегрирование по x [см.

(1.44).] Фактически xt зависит не только от t, но и от начальных усло- âèé x0 è t0. Для определения автоковариационной функции необходимо выполнить двойное интегрирование:

1

Z

covt0 (t1; t2) = (x1 x1)(x2 x2) P (x0; t0 ) x1; t1; x2; t2) dx1 dx2; (1.47)

1

ãäå P (x0; t0 ) x1; t1; x2; t2) плотность совместной вероятности значений x1 è x2 в моменты времени t1 è t2 при условии, что в момент времени t0 мы имеем x0 = x(t0).

Эту вероятность можно выразить через марковские условные вероятности. По определению (опуская для краткости времена):

Для тр¼хточечной совместной вероятности P (x0; x1; x2) запишем цепочку марковских вероятностей [см. (1.42), ñòð. 37]:

P (x0; x1; x2) = P (x0) P (x0 ) x1) P (x1 ) x2):

Подставляя е¼ в формулу (1.48) и возвращая моменты времени, окон- чательно получим:

P (x0; t0 ) x1; t1; x2; t2) = P (x0; t0 ) x1; t1) P (x1; t1 ) x2; t2): (1.49)

Для независимых величин x1 è x2 совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой из переменных. В марковских процессах для условных вероятностей это тоже происходит, но функции цепляются друг за друга, в нашем случае аргументом x1. Поэтому в (1.47) нельзя разделить интегралы, и автоковариация в общем случае не равна нулю.

Индекс начального момента времени t0 в записи автоковариационного коэффициента мы будем часто опускать, однако он всегда подразумевается. Как и для волатильности случайной величины, автоковариацию можно вычислять по эквивалентной формуле:

где мы перемножили в определении (1.46) скобки и разбили среднее суммы на сумму средних. Заметим, что автоковариация при t1 = t2 = t равна дисперсии процесса: 2(t) = cov(t; t).

Автокорреляция является нормированной автоковариацией и определяется следующим образом:

Как и для обычных случайных величин, автокорреляция является мерой возможности прогнозирования будущего значения x2 = x(t2), если наблюдается x1 = x(t1). Ïðè ýòîì è x1, è x2 являются случайными вели- чинами. Детерминированным обычно считается только начальное условие x0 = x(t0), хотя и это не обязательно.

1.9Мартингалы и бесплатный сыр

Бесплатного сыра, как известно, не бывает. Этот эвристический принцип оказывается мощным и конструктивным в теории финансов.

Если цена при блуждании в среднем не изменяется, hxi = x0, то такую модель называют мартингалом. Для не¼ лучшим прогнозом будущей це- ны будет текущее значение x0. Это очень общая математическая концепция. Например, в дискретной аддитивной модели x = x0 + "1 + ::: + "n для е¼ мартингальности не требуется независимость и стационарность случайных изменений "i цены. Два последовательных изменения могут быть скоррелированы, и P ("1; :::; "n) 6= P ("1) ::: P ("n). Единственное, что требуется, это неизменность цены в среднем при любом n:

1

Z

("1 + ::: + "n) P ("1; :::; "n) d"1:::d"n = 0:

1

Таким образом, среднее значение накопленного изменения цены оказы- вается равным нулю и hxi = x0. Для мартингального процесса не имеет значения, когда начинается и заканчивается накопление изменения. На любом интервале времени оно должно быть нулевым. Чтобы проиллюстрировать этот важный момент, рассмотрим двухшаговое дискретное блуждание по дереву:

Из начальной цены x0 = 5 возможны равновероятные переходы к ценам 6 и 4 и т.д. по дереву. На рисунках представлены два различных процесса. В обоих случаях на втором этапе вероятности состояний равны f1=4; 1=2; 1=4g и среднее значение цены равно начальному:

Однако для правого процесса это свойство нарушается в промежуточ- ных состояниях. Рассмотрим нижний узел первого ветвления с ценой 4. Если мы находимся в н¼м, то среднее значение будущей цены отлично от четырех: 0:5 5 + 0:5 2 = 3:5 6= 4: Поэтому второй процесс не является

мартингалом и позволяет заработать, начиная с состояний 4 или 6.

При обсуждении стохастических процессов в литературе часто ис-

пользуют достаточно формальные обозначения. Следуя Колмогорову, который построил аксиоматику теории вероятностей, говорят о вероятностном пространстве. Оно определяется тройкой ( ; F; P), где

пространство элементарных событий, F -алгебра событий и P распределение вероятностей. Разбер¼мся с каждым из этих понятий.

Пространство элементарных событий представляет собой множе-

ство простейших, не делимых далее событий, которые не могут произойти одновременно (попарно несовместные). Например, при броске игральной кости это пространство состоит из шести возможных событий, соответствующих выпадению тех или иных очков: = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.

Алгебра событий F это множество всех возможных составных со-

бытий, включая элементарные. Для броска кости примерами таких событий могут быть A = число делится на 3 =(3 6) и B = число больше

4 =(5 6). Над событиями возможны операции объединения A + B, пере-

сечения A B и отрицания A (стр. 298). В результате получаются новые события. Множество F является замкнутым, т.е. эти три операции всегда приводят к событиям, находящимся в F. Множества и операции, обладающие таким свойством, называют -алгеброй.

Распределение вероятностей P это функция p : A 7!P (A) : A 2 F, которая ставит в соответствие каждому событию A из F вещественное число 0 6 p 6 1. Другими словами, это вероятности всех возможных событий. Указание вероятностей P(F), а не P( ), существенно для задач, в которых событий из бесконечно много и они несч¼тны. Вероятность

каждого из них может быть равна нулю. Так, равна нулю вероятность конкретного значения x непрерывной случайной величины. В то же вре-

мя составное событие из F может иметь отличную от нуля вероятность (например, вероятность попадания в некоторый конечный интервал).

Случайной величиной x называется объект, возможные реализации которого попадают в те или иные элементы алгебры событий F. Если x вещественная величина, то в F находятся все возможные отрезки вещественной оси, в которых может находиться x. Соответственно, P определяет вероятности попаданий x в такие отрезки.

Случайный процесс x(t) это дискретное xt = x1; x2; ::: или непрерывное x(t) упорядоченное множество случайных величин, которые могут

быть, например, ценами финансового инструмента в различные моменты времени. Случайный процесс можно также рассматривать, как многомерную случайную величину x = (x1; x2; :::; xt).

Конкретная история значений случайного процесса x(t) является элементом множества алгебры событий F случайного процесса. Если рассматриваются цены до момента времени t включительно, то такую историю обычно обозначают в виде Ft. Для дискретного случайного про- цесса Ft имеет вид:

Ft = :::; xt 2; xt 1; xt:

В общем случае это бесконечная последовательность, идущая из прошлого.

Если известна некоторая история, то для данного процесса существует определ¼нная вероятность появления следующего значения. Эта вероятность является условной, так как описывает наступление события при условии реализации данной истории.

Среднее значение случайного процесса в момент времени ti ïðè óñëî- вии реализации той или иной истории Fj = :::; xj 1; xj часто обозначают следующим образом:

Другими словами, среднее значение цены в момент времени ti равно по- следнему известному историческому значению в момент tj.

Для марковских процессов, которые мы обсуждаем в этих лекциях, вероятность x(t) зависит только от его значения в прошлом x(t0) и не зависит от всей предыдущей истории. Марковский процесс будет мартингальным, если для любых моментов времени t0 < t выполняется соотношение:

где индекс у знака среднего обозначает усреднение с условной вероятностью P (x0; t0 ) x; t). Моменты времени могут быть номерами на дискретной сетке или вещественными числами в модели непрерывного времени. Чаще всего мы считаем цены финансовых инструментов положительными величинами. В таких случаях плотность вероятности P = 0

при x < 0, и, следовательно, интегрирование реально будет происходить от нуля до плюс бесконечности.

Если средняя цена случайного процесса со временем не уменьшается,

то он называется субмартингалом, а если не увеличивается супермартингалом. В обозначениях условного среднего субмартингал определяется следующим образом:

E(xijFj) > xj:

Аналогично для супермартингала:

E(xijFj) 6 xj:

Каждый мартингал является и субмартингалом, и супермартингалом. Понятно, что если процесс одновременно обладает обоими свойствами, то он является мартингалом.

Рассмотрим простой пример. Пусть подбрасывается монета, и при выпадении орла один игрок платит другому доллар, а при выпадениирешки наоборот. Тогда накопленная сумма у каждого игрока является стохастическим процессом, так как она случайно изменяется со временем. Если монета симметрична и вероятность выпадения каждой из сторон p = 1=2, то капитал каждого игрока является мартингалом. При

смещ¼нном центре тяжести p 6= 1=2 для проигрывающего в среднем игрока это будет супермартингал, а для выигрывающего субмартингал.

Мартингальные процессы оказываются удобной и очень общей мо-

делью эффективного рынка, на котором нельзя гарантированно или в среднем получать прибыль. Если бы hxi в будущем было отлично от x0, òî ïðè hxi > x0 такой финансовый инструмент имело бы смысл покупать, а при hxi < x0 продавать, получая в среднем доход j hxi x0j. На самом деле, цены на многих рынках в долгосрочной перспективе растут. Например, рост экономики сопровождается ростом фондовых рынков. Однако, в силу их существенной волатильности, на относительно краткосрочных интервалах времени мартингальная модель вполне адекватна. Она обычно лежит в основе вычисления справедливых цен опционов и других производных ценных бумаг.

В заключение отметим, что, при всей своей математической изящности, непрерывные стохастические процессы являются лишь моделью, прич¼м достаточно ограниченной. На самом деле рынки имеют разрывную динамику, так как существуют периоды времени, когда они закрыты и торговля не вед¼тся. Достаточно искусственным является также допущение о непрерывности торговли в ультракоротких периодах времени. Тем не менее, аппарат непрерывных стохастических процессов достаточ- но эффективно используется в вычислительных финансах и является обязательным инструментом любого финансового аналитика.