Стохастические уравнения

2.1Уравнение Ито

Рассмотрим дискретную модель блуждания (стр. 34), в которой, кро-

ме случайных толчков "i, на каждом шаге происходит постоянный сдвиг x на величину 0. Через n таких шагов результирующее значение x будет

Параметр 0 называют сносом процесса. Если 0 > 0, то траектория по-

степенно (в среднем) будет сдвигаться вверõ, иначе вниз. Накопленное p

стохастическое изменение "1 +:::+"n = " n пропорционально гауссовой переменной " N(0; 1) с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть длительность каждого шага t, и в течение времени t t0 их количество равно n = (t t0)= t. Обозначим дисперсию за единицу

чаться то или иное x в момент времени t. Таким образом, процесс x(t)

имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со ско-

ростью , и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню pt t0.

Рассмотрим теперь изменение dx = x(t) x(t0) за бесконечно малый интервал dt = t t0. В этом случае из (2.2) следует:

дифференциальных уравнений вида dx = a(x; t)dt, подобное уравнение

содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ , а не d .

Процесс, подчиняющийся уравнению (2.3), называется непрерывным винеровским процессом.

Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений (n ! 1), то гауссовость величин "i на самом деле не важна. В силу вычислений на стр. 29, сумма большого числа независимых случай-

ных величин окажется гауссовой величиной. Важным являетсяp факт их независимости, в результате которого возникает множитель t (l C13).

Общие процессы Ито представляют собой деформацию простого винеровского блуждания при помощи функций a(x; t) и b(x; t). Предположим, что снос и волатильность это функции времени t, которые могут также зависеть от значения x:

Функция a(x; t) называется коэффициентом сноса, а b(x; t) коэффициентом волатильности, квадрат которого b2(x; t) называют диффузией. Локально, если функции a(x; t) и b(x; t) примерно постоянны, процесс

Ито это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно изменяющее свои свойства (l C14).

Уравнение Ито (2.4) позволяет легко моделировать временную дина-

Для этого выбирается малый интервал времени t и начальное значение x0. Затем генерится нормально распредел¼нное случайное число "1 è âû- числяется следующее значение x1. После чего x1 подставляется на место x0, время сдвигается t1 ) t0 + t. В результате получается последова- тельность случайных чисел x0, x1, x2,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. Заметим, что на каждой итерации генерится новое случайное число "k.

Сходимость итерационной процедуры (2.5) имеет одну особенность. Решая обычное дифференциальное уравнение dx = a(x; t) dt в разностях

xk+1 = xk + a(xk; tk) t, мы предполагаем, что при заданных начальных условиях x0 = x(t0) решение в момент времени t будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьшении временного шага t ! 0. Однако для стохастических уравнений

это абсолютно не так! Какой бы малый интервал t мы не выбрали, за

сч¼т случайных чисел "k будут получаться различные траектории x(t), удал¼нные друг от друга достаточно далеко.

Сходимость алгоритма (2.5) означает, что при уменьшении t должны к определ¼нному пределу стремиться среднее значение x(t), волатильность (t) и функция распределения вероятностей P (x0; t0 ) x; t) слу- чайного процесса x(t).

50 Глава 2.

Снос a(x; t) и волатильность b(x; t) имеют простой смысл. Если x в

момент времени t0 равен x0, то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал t ! 0 будут равны:

где усреднение проводится при условии x0 = x(t0). Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего:

1

Z

(x x0)k = (x x0)k P (x0; t0 ) x; t) dx:

1

Моменты времени t0 и t явным образом указывают, когда происходит наблюдение x0 è x.

Проверим, что дискретная схема Ито (2.5) приводит к (2.6). В бесконечно близкий к t0 момент времени отклонение от x0 можно записать в следующем виде:

Напомню, что x и " это случайные величины, а x0 в данном случае константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно:

D E

(x x0)2 = a20 ( t)2 + 2a0b0 ( t)3=2 " + b20 t "2 = a20 t2 + b20 t;

ãäå a0 = a(x0; t0), b0 = b(x0; t0), и учтено, что h"i = 0, "2 = 1. Разделив на t и устремив его к нулю, получим b2(x0; t0). Â (2.7) начальное

условие x0 считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина ".

Несложно проверить, что моменты более высоких порядков

в ведущем приближении пропорциональны ( t)k=2 и после деления на t при k > 2 будут стремиться к нулю.

Класс процессов, свойства которых полностью определяются только бесконечно малыми локальными изменениями первого и второго порядка (2.6), называются диффузными.

Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние (2.6) в различные моменты времени и при различных x0. Кроме этого, необходимо

обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ëè (x x0)k = t к нулю при k > 2 и t ! 0. Иногда это проще, чем

восстановление из данных функции четырех аргументов P (x0; t0 ) x; t).

Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины ". Важно ч¼тко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени t0 нам известно, ÷òî x = x0. После этого x начинает изменяться x = x(t). В каждый фиксированный момент времени t > t0 величина x случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить слу- чайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому:

означает, что случайная величина x в момент времени t выражается, например, через гауссову случайную переменную ", а, следовательно, плотность вероятности P (x0; t0 ) x; t) можно получить некоторым преобразованием из нормального распределения. При помощи (2.8) легко вычисляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства "

хорошо известны.

Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени x(t)

это случайная величина, свойства которой определяются при помощи "

èзначения t. Время изменяется, и изменяются е¼ свойства. В результате случайная величина x превращается в процесс.

Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны использовать другую случайную величину ". Пусть процесс наблюдается после

t0 в последовательные моменты времени t1 è t2, тогда:

Первое уравнение (2.9) является решением в момент времени t1. Величи- íà x0 детерминированная константа, задаваемая начальными условия- ми. В противоположность ей x1 случайная величина. Е¼ случайность определяется "1. Первое равенство уравнения (2.10) имеет аналогичный смысл. Однако "2 это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от "1, так как знание значения x1 (и, следовательно, "1) да¼т нам дополнительную информацию о возмож- ных значениях x2. В частности, считая, что задано начальное условие x1 = x(t1), мы можем записать второе равенство в (2.10). Величина "3 определяет случайность после момента времени t1, и, следовательно, она независима от "1. Второе равенство в (2.10) имеет смысл функциональной связи между случайными величинами x2 è x1, "3. Заметим, что функция f во всех соотношениях (2.9), (2.10) одна и та же, а все случайные величины "i имеют одинаковое распределение N(0; 1).