1.5Характеристическая функция

Характеристическая функция (q) является фурье-образом (стр. 314) плотности вероятности случайной величины x:

С е¼ помощью легко получать средние значения произвольных степеней x. Проведя один раз Фурье-интегрирование и найдя характеристиче-

скую функцию, можно затем простым дифференцированием определяются значения hxni:

Характеристическую функцию можно записать как среднее от экспоненты: (q) = he{qxi. Очевидно, что (0) = 1. Коэффициенты разложения

(q) в ряд по q являются средними степеней величины x:

Иногда мы будем рассматривать действительный вариант характеристической функции с: q ! q={ и называть е¼ производящей функцией:

(q={) = (q) = heqxi.

Допустим, случайная величина y связана с x линейной зависимостью y = a + b x. Тогда е¼ характеристическая функция равна:

DE

y q = he{qyi = e{q(a+bx) = e{qa e{qbx :

Следовательно, при линейном преобразовании появляется дополнительная фаза, и происходит масштабирование переменной q в :

для дельта-функции Дирака (стр. 315), приводит к плотности вероятности P (y) = (y a). Это уже не случайная величина, а детерминирован-

ная константа y = a.

Привед¼м примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:

Для нахождения (q) распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция (q) Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней P (x). В третьем случае

по формуле (16), ñòð. 313, для гамма-функции проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши (q) не аналитична по q и распределение не имеет конечных моментов hxmi ïðè

m > 1.

Рассмотрим два независимых случайных числа x, y с произвольными распределениями P1(x), P2(y) и их сумму z = x+y. Найдем плотность вероятности P (z) для случайной величины z. Для этого вычислим среднее от произвольной функции (пределы от 1 до 1):

где сделана замена y = z x. Поэтому

Z

P (z) = P1(x)P2(z x) dx:

Характеристическая функция суммы двух независимых величин равна произведению их характеристических функций:

DE

z(q) = e{q(x+y) = he{qxi he{qyi = x(q) y(q);

где мы воспользовались фактом независимости x и y. Понятно, что и

в общем случае n независимых случайных величин xi характеристиче- ская функция их суммы будет равна произведению характеристических функций каждого слагаемого:

z = x1 + ::: + xn => z(q) = 1(q) :: n(q):

Если распределения каждого xi одинаковые, то z(q) = n(q). Теперь можно показать что Гаусс, Коши и гамма бесконечно делимы ( l H6).

При изучении случайных процессов мы будем активно использовать

факт бесконечной делимости нормального распределения. В частности, åñëè "1, ..., "n независимые гауссовы величины с нулевым средним и

единичной дисперсией "i N(0; 1), то их сумма также гауссова: p

"1 + ::: + "n = " n: (1.30) Множитель pn выделен для того, чтобы " N(0; 1) [ (1.21), ñòð. 23 ]. Â

результате "i и " имеют одинаковое распределение с одинаковыми пара-

метрами (среднее, моменты, и т.д.). Характеристичåñкая функция для p

величины " удовлетворяет уравнению (q)n = ( n q) и равна (q) =

e q2=2.

В общем случае распределение P (x) называют устойчивым, если для любого n существуют такие константы an è bn, ÷òî

ãäå x1; :::; xn и x имеют одинаковое распределение P (x). Если an = 0, òî

такое распределение называется строго усòойчивым. Таковым является p

распределение Гаусса с константой bn = n.

Заметим, что условие (1:31) сильнее огранивает класс допустимых рас-

пределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении (1.31) слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с одинаковыми параметрами, тогда как для делимости это необязательно.

Аналогично линейному масштабированию (1.29), для характеристиче- ской функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:

Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (1.32), называются распределениями Леви-Хинчина:

(q) = e{q [1+{ sign(q) tg( =2)] jqj ; (q) = e{q jqj { q ln jqj;

где sign(q) = q=jqj знак q, параметр 0 < 6 2. Кроме этого, j j 6 1,> 0. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе тр¼хпараметрическим, и оказывается пределом первого при ! 1.

Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с толстыми хвостами (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.

Рассмотрим n независимых случайных величин x1; :::; xn имеющих произвольные, но одинаковые распределения, и изучим свойства суммы:

при n ! 1. Без потери общности можно считать, что hxii = 0, так как сдвигом x ! x hxi всегда можно перейти к таким случайным

величинам. В этом случае среднее значение u также равно нулю. Среднее его квадрата в силу независимости xi равно среднему квадрата x:

Для одинаковых произвольных распределений xi с (q) при больших n характеристическая функция для u имеет вид:

так как hxi = 0. По определению, число Эйлера является пределом ex = (1 + x=n)n, при n ! 1. Поэтому характеристическая функция и распределение для u стремятся к гауссовому виду:

u(q) ! e 2q2=2: (1.33)

В качестве упражнения (l H7) стоит найти асимметрию и эксцесс при больших n для характеристической функции z(q) = n(q).

Результат (1.33) является исключительно важным и формулируется следующим образом:

распределение суммы большого числа независимых случайных величин стремится к нормальному распределению .

Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс е¼ значе- ний подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако е¼ распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за сч¼т синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы верн¼мся к обсуждению этих вопросов в главе 8.

1.6Многомерное распределение Гаусса

При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно

использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:

По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс i во втором

равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют немыми . В процессе вычислений их можно переобозна- чить в любую букву, которая ещ¼ не используется в выражении. Третье равенство в уравнении (1.34) это матричная форма той же суммы, в которой матрица S = S и вектор " = f"1; :::; "ng перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.

Рассмотрим n независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произве-

дения равно единице для совпадающих индексов и нулю для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:

1 i = j

h"i"ji = ij = 6

0 i = j:

Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин :

= S iS j "i"j = S iS j ij = S iS i = S iSiT = (SST ) : (1.35)

При суммировании с символом Кронекера ij в сумме остаются только слагаемые с i = j. Поэтому одна из сумм (по j) и символ Кронекера ис- чезают, и оста¼тся только суммационный индекс i. Затем вводится новая

матрица SiT = S i с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соот-

ветствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.

Матрица S может имеет обратную S 1, если выполняется уравнение:

S S 1 = S 1 S = 1;

ãäå 1 = ij единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определ¼нного выше вектора = ( 1; :::; n) можно записать:

где мы умножили левую и правую части на S 1.

Пусть " = ("1; :::; "n) стандартные независимые гауссовые случайные величины "i N(0; 1), а величины = ( 1; :::; n) получены из них (1.34) при помощи перемешивающих коэффициентов S . Среднее значе- ние произведения определяется матрицей дисперсий (1.35):

Найд¼м производящую функцию для случайных величин . Для этого

введ¼м вектор b = (b1; :::; bn) и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения b = b1 1 + ::: + bn n (по n нет суммы!):

eb = eb S " = ebiSi1"1 ::: ebiSin"n = e12 f(biSi1)2+:::+(biSin)2g:

Мы воспользовались независимостью величин "i, разбив среднее произве- дения на произведение средних, и формулой (1.11), ñòð. 16. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:

(biSi1)2 + ::: + (biSin)2 = biSik bjSjk = bi Sik SkjT bj = b S ST b:

Поэтому окончательно производящая функция равна:

(b) = eb = e12 b D b:

Взяв частные производные по b , несложно найти среднее от любого про-

изведения . Проверим, что среднее равно D . Возьм¼м производную производящей функции по b . Учитывая, что b D b равно biDijbj, имеем:

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что D = D . Àíà- логично бер¼тся вторая производная:

@2 (b)

@b @b

= D (b) + D ibi D jbj (b):

Полагая b = 0 и учитывая, что

k = D D k + D D k + D kD :

Таким образом, среднее любых степеней полностью определяется матрицей дисперсии D.

Найд¼м теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин 1; :::; n. Запишем сначала плотность вероятности для "1; :::; "n:

При замене переменных = S "

элемент объ¼ма интегрирования dn" = d"1:::d"n, умножив его на якобиан:

Так как при транспонировании матрицы е¼ определитель не изменяется,

а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то det D = (det S)2 и, следовательно:

ñòð. 304). Как и любая плотность вероятности, P ( 1; :::; n) нормирована

на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функцииeb , можно записать значение следующего n-мерного гауссового инте-

грала:

До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими

постоянный вектор , который будет иметь смысл средних значений :

= + S " :

Тогда общее n-мерное гауссово распределение принимает вид:

где в плотность вероятности P ("1; :::; "n) подставлено " = S 1 ( ).

Рассмотрим в качестве примера случай n = 2. Запишем элементы симметричной матрицы D при помощи тр¼х независимых констант 1,

2 è :

Несложно проверить, что определитель D равен

det D = 12 22(1 2);

а обратная к D матрица имеет вид:

В результате совместная плотность вероятности для 1; 2 может быть записана следующим образом:

ãäå xi = ( i i)=i относительные отклонения i от своих средних i. Параметры i являются волатильностями: ( 1 1)2 = D11 = 12, à коэффициент корреляции: = hx1x2i.

Матрица D = SST является симметричной, тогда как S в общем слу- чае нет. Поэтому D зависит от тр¼х параметров, а S от четыр¼х,

и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц S. Так, можно записать:

где = sin( + ). Понятно, что возможны различные комбинации углови , дающие один и тот же корреляционный коэффициент .

Если = , то = 0, и D является диагональной, а при 1 =2 = 1 единичной. Матрицу S, удовлетворяющую уравнению SST = 1, называют ортогональной.

Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.