Глава 3
Средние значения
Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) это лишь
один из возможных языков описания стохастического процесса. В ситуации, когда система эволюционирует со временем, средние значения также изменяются и подчиняются определ¼нным дифференциальным уравнениям. Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.
Мы начн¼м эту главу с вывода динамического уравнения для средних. С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности в ситуации, когда система имеет стационарный режим. Затем мы подробно проанализируем две стохастические задачи: уравнение Феллера и логистическое уравнение. В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени и квазидетерминированное приближение.
77
78 |
Глава 3. |
3.1Динамическое уравнение для средних
Для получения информации о случайном процессе x(t) можно сна-
чала решить уравнение Ито, а затем вычислить наблюдаемые характеристики процесса, которые, в конечном сч¼те, являются средними между различными величинами. Было бы здорово сразу иметь уравнения для наблюдаемых, исключая первый этап.
Рассмотрим итерационную схему в моменты времени t и t + dt:
p
x(t + dt) = x + a(x; t) dt + b(x; t) " dt: (3.1)
Значение процесса x = x(t) и гауссова величина " являются двумя неза-
висимыми случайными величинами. В результате вычисления (3.1) возникает новое случайное число x(t+dt). Чтобы найти его среднее значение
необходимо проинтегрировать левую часть (3.1) с марковской плотностью P (x0; t0 ) x + dt; t + dt). Эквивалентный результат получится при усреднении правой части с P (x0; t0 ) x; t) P ("), где P (") гауссова плот-
ность вероятности. Так как x и " независимы и " = 0, то усреднение последнего слагаемого в (3.1) да¼т ноль, поэтому:
x(t + dt) = x(t) + a(x(t); t) dt:
Перенося x(t) влево и разделив обе части на dt, мы приходим к динамическому уравнению для среднего:
|
|
_ |
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
x |
|
= |
a(x; t) : |
(3.2) |
Åñëè a(x; t) = (t) + (t) x, òî (3.2) имеет ту же форму, что и детерминированное уравнение:
_
x = (t) + (t) x :
Поэтому при любой волатильности b(x; t) среднее значение процесса с линейным по x сносом совпадает с детерминированным решением. Однако
в нелинейном случае это не так!
Абсолютно аналогично, усредняя произвольную функцию F = F (x; t), изменение которой подчиняется лемме Ито (2.15), ñòð. 55, получаем:
d |
F (x; t) |
|
= |
@F |
|
@F |
|
b2(x; t) @2F |
|
|
|
||
h |
|
i |
|
+ a(x; t) |
|
+ |
|
|
|
: |
(3.3) |
||
|
dt |
|
@t |
@x |
2 @x2 |
||||||||
Выбирая те или иные функции F (x; t), можно получить множество полезных соотношений для средних величин.
Средние значения |
79 |
В качестве примера рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
dx = (x ) dt + W;
решение которого в предыдущей главе мы выразили через гауссову переменную. В данном случае снос является линейным по x, и сразу полу-
чается зависимость среднего от времени:
hx_ i = hxi |
=> |
hxi = + x0 e t:
В качестве начального условия при t0 = 0 выбрано значение среднего,
равное x0. Вообще, если в начальный момент времени x = x0, òî ñðåä- ние произвольной степени при t0 = 0 равны hxni = xn0 . Действительно, средние детерминированных величин равны им самим, а начальная плотность вероятности равна дельта - функции: P (x0; t0 ) x; t0) = (x x0).
В более общем случае можно рассматривать произвольное начальное распределение вероятностей, задавая xn в момент t0 = 0.
Выбирая теперь F = x2, получим уравнение для квадрата:
x_2 = 2 x2 + 2 x + 2:
Функция x нам известна, и уравнение несложно проинтегрировать:
x2 = + x0 e t 2 + 2 1 e 2 t ;
p
где = = 2 . Откуда волатильность процесса равна:
p
x(t) = 1 e 2 t:
Если в задаче возможен стационарный режим, то уравнения для средних часто позволяют получить асимптотические значения величин. Для
этого достаточно положить производную по времени равной нулю. Так, для процесса Орнштейна - Уленбека, выбирая F = xn, имеем:
x_n = 0 |
=> |
xn = xn 1 + (n 1) 2 xn 2 : |
Так как среднее единицы равно единице: x0 = 1 = 1, из этого уравнения последовательно находим:
x = ; |
x2 |
= 2 + 2; |
x3 |
= 3 +3 2; |
x4 |
= 4 +6 2 |
2 |
+3 4 |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно, этот же результат можно получить и из асимптотического |
|
||||||||||
решения, выраженного через гауссову переменную (стр. 60): |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x = + ": |
|
|
|
|
|
||
Для этого необходимо возвести |
|
x в соответствующую степень и усред- |
|||||||||
В качестве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
íèòü, ñ ó÷¼òîì |
"2n+1 |
= 0, |
"2n |
|
= 1 3 5 :: (2n 1). |
|
|
|
|||
упражнения предлагается найти среднее для уравнения: dx = ( + x) dt + ( + x) W (l H19).
80 |
Глава 3. |
Из соотношения (3.3) несложно получить уравнение, которому удовлетворяет плотность вероятности P (x) в стационарном режиме. Выберем функцию F (x), не зависящую от времени, и положим производную
F (x) равной нулю. Запишем усреднение в явном виде:
1 |
P (x) a(x) |
@F |
|
b2(x) @2F |
dx = 0: |
||
Z |
|
+ |
|
|
|
||
@x |
2 @x2 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям первое слагаемое один раз, а второе два, и счи- тая, что P (x) достаточно быстро убывает на бесконечности, получаем:
1 |
@(a P ) |
|
1 @2(b2 P ) |
|
||||
Z |
|
+ |
|
|
|
|
|
F (x) dx = 0: |
@x |
2 @x2 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как функция F (x) произвольна, то интеграл будет равен нулю, толь-
ко если равно нулю выражение в квадратных скобках. В результате получается стационарное уравнение Фоккера - Планка :
@ |
a(x) P = |
1 @2 |
b2(x) P |
|||
|
|
|
|
|
||
@x |
2 @x2 |
|||||
которое легко интегрируется:
a(x)P = |
1 @ |
b2(x) P : |
2 @x |
Для диффузных процессов плотность вероятности быстро убывает на бесконечности, так что существуют средние произвольной степени hxmi.
Поэтому, устремив x ! 1, мы получим слева и справа ноль, что подтвер-
ждает правильность выбора нулевой константы интегрирования. Таким образом, стационарное уравнение Фоккера - Планка оказывается уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:
1 P 0(x) |
= |
|
a(x) |
|
b0(x) |
; |
(3.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 P (x) |
b2(x) |
b(x) |
||||||||
где штрих у функций это производная по x. Его решение имеет вид:
P (x) = b2(x) exp 2 Z |
b2((x)) dx |
: |
(3.5) |
|||
|
C |
a x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Константа интегрирования C находится из условия нормировки. Выпол-
нимость этого условия является критерием возможности стационарно-
го решения. Так, для логарифмического блуждания (стр. 58) со сносом a(x) = x и волатильностью b(x) = x имеем P (x) x 2+2=2 . Íè ïðè
каком значении параметров эта функция не может быть отнормирована.
Средние значения |
81 |
В качестве простого примера стационарного решения уравнения Фоккера - Планка рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека:
dx = (x ) dt + W:
Интегрирование в (3.5) приводит к следующей плотности вероятности:
P (x) = r |
|
|
exp |
|
( 2= ) |
2 |
|
; |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
которая является распределением Гаусса. В терминах случайных вели- чин P (x) можно записать в виде:
x = + p ";
2
где " N(0; 1) гауссова переменная с нулевым средним и единичной
дисперсией. Аналогично, предлагается найти ( l H20) асимптотическую плотность вероятности для процесса dx = (x ) dt + x W .
Рассмотрим ещ¼ одну задачу:
p
dx = 2 + x2 W:
Так как снос равен нулю a = 0, то среднее значение не изменяется со
временем |
x |
= x0. Для среднего квадрата имеем: |
2 |
t 2: |
||
x_2 = 2 ( 2 + x2 ) |
=> |
x2 = ( 2 |
+ x02) e |
|||
Поэтому дисперсия процесса
x2(t) = ( 2 + x20) e 2 t 1
в пределе t ! 1 стремится к бесконечности. Тем не менее, в этом слу-
чае стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к распределению Коши:
= P (x) = x2 + 2 ;
к которому действительно приближается плотность вероятности процес-
са. В этом случае стационарность несколько патологична. В частности, не существуют xn ïðè n > 1.