5.2Интегралы Ито

Рассмотрим теперь ещ¼ одну возможность введения случайных инте-

гральных величин. В обычном анализе мы говорим об интеграле РиманаСтилтьеса, когда под дифференциалом стоит функция, а не обычная переменная интегрирования:

Подобным образом можно определить и стохастический интеграл по изменению функции винеровского процесса W . Для этого рассмотрим n

бесконечно малых отрезков t (для простоты одинаковой длительностиt = tk tk 1), содержащихся в конечном интервале t. Предполагается, что n t = t при n ! 1 и t ! 0:

Значения винеровского процесса Wk = W (tk) на границах отрезков заданы суммой (5.1), ñòð. 124. Интеграл по изменению случайного винеровского процесса определим следующим образом:

процесс, эволюция которого определяется винеровской траекторией Wt. Например, процессы Орнштейна-Уленбека или Феллера не выражаются в явной функциональной форме через Wt, но полностью ею определяют- ñÿ.

Стоит обратить внимание на тот факт, что значения функции под дифференциалом вычисляются на краях отрезков: tk = k t, а подынтегральная функция в его первой точке tk 1. Другими словами, в духе итерационного решения стохастического уравнения мы считаем, что сна-

определения стохастического интеграла.

Винеровский процесс имеет нулевой снос a = 0 и единичную волатильность b = 1. Поэтому в силу леммы Ито (2.15), ñòð. 55, для его квадрата имеем следующее уравнение:

Чтобы его формально проинтегрировать, мы должны определить:

Первое слагаемое в правой части выглядит естественным для обычных правил интегрирования, чего нельзя сказать о втором. Попробуем с ним разобраться. Для этого запишем представление интеграла в виде суммы:

где выполнено элементарное алгебраическое преобразование, которое про-

ще проверить в обратном направлении. При суммировании W 2 W 2

k k 1

взаимно сокращаются, за исключением границ интегрирования. Так как на нижней границе W0 = 0, мы получаем Wt2. Для третьего члена:

Вообще говоря, этот интеграл отличаpåòся от формулы (5.8), так как бесконечно малое изменение W = " dt стоит в квадрате. Для обычных

детерминированных функций подобнаяp сумма оказалась бы равной ну- лю. Однако благодаря фактору dt этот стохастический интеграл имеет

конечное значение. В разделе x2.2, ñòð. 52, мы видели, что величина

u = ("21 + ::: + "2n)=n при n ! 1 имеет нулевую волатильность u ! 0

и, следоâательно, является детерминированным числом со значением, равным u = 1. Фактически плотность вероятности P (u) при больших n

ýòî 2 - распределение (l C26) с очень узким и высоким максимумом

âокрестности единицы. Таким образом, стохастический интеграл:

t

Z

0

равен детерминированной величине t, и мы приходим к (5.10). Часто

(5.11) записывают в символическом виде ( Wt)2 dt, что, вообще говоря, неверно. Например, интеграл от W ( W )2 не равен интегралу W d .

132 Глава 5.

Представим при помощи стохастического интеграла решение нестационарного уравнения Ито с нулевым сносом:

Мы видели ( (2.18) ñòð. 56), что оно выражается через гауссову переменную " N(0; 1), поэтому:

ZZ

Если подынтегральная функция зависит не только от времени, но и от винеровской переменной W , интеграл уже не будет иметь нормальное распределение. Однако, используя рассуждения на стр. 74, несложно убедиться, что для стохастического интеграла

То есть, чтобы вычислить It2 , необходимо возвести подынтегральную функцию в квадрат, усреднить, а затем проинтегрировать по . При

усреднении мы используем обычную случайную гауссову величину ", p

представляя W = " .

Повторив рассуждения на стр. 74, несложно записать среднее для произведения двух процессов I1(t1) è I2(t2) с различными подынтегральны- ми функциями f1 è f2 в различные моменты времени:

Соотношения (5.12)-(5.14) позволяют вычислять среднее и волатильность случайного процесса, если его решение выражено через стохастиче- ский интеграл. Ряд других полезных формул можно найти в приложенииСправочник , стр. 282.

Используя определение стохастического интеграла в виде суммы

(5.8), аналогично обычному анализу можно доказать свойство линейности:

где и некоторые константы. Кроме этого, пределы интегрирования можно разбивать на несколько частей:

t3 t2 t3

Z Z Z

f( ; W ) W = f( ; W ) W + f( ; W ) W :

t1 t1 t2

Естественно, предполагается, что времена упорядочены t1 < t2 < t3.

Воспользуемся теперь леммой Ито для F (t; Wt), считая, что x(t) = Wt винеровский процесс с нулевым сносом и единичной дисперсией.

Интегрируя левую и правую часть, можно записать интегральную версию леммы Ито (F0 = F (0; W (0))):

Понятно, что в этом соотношении, как и во всех выше, нижний предел в интеграле может быть произвольным моментом времени t0. Åñëè ôóíê- ция F не зависит от времени:

где штрихи это производные по W . Это соотношение можно использовать для интегрирования по частям . Например, если F = W 2, имеем:

Подобное сведение интеграла по W к интегралу по времени d в ряде

случаев бывает удобным. Однако, если подынтегральная функция при этом зависит от W , взять такой интеграл не проще, чем по W .

5.3Квадратичный функционал

Рассмотрим процесс, равный интегралу по времени от квадрата винеровской траектории:

где мы сразу положили n t = t. Введ¼м гауссовы случайные величины:

k = "1 + ::: + "k; h i ji = Dij = min(i; j):

Их матрица дисперсий D имеет единичный определитель det D = 1. Дей-

ствительно, вычитая из всех строк первую строку, затем из всех лежащих ниже второй вторую строку, и т.д., мы приходим к треугольной матрице с единичными элементами. Например, для n = 4 имеем:

Матрица D определяет плотность вероятности величин k (x1.6, ñòð. 30):

P ( 1; :::; n) = (2 ) n=2 e 12 D 1 :

Для скалярной случайной величины :

найд¼м производящую функцию:

Умножая обе части (5.16) на D и учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а det D = 1, получаем:

Нам необходимо найти предел этого выражения при n ! 1.

Для матрицы D размерности n x n с элементами Dij = min(i; j) докажем следующее соотношение:

Поэтому An = det (1 D) = det D 1 , ãäå = x2=n2, èëè

Вычисление определителя по первой колонке да¼т следующее рекуррентное уравнение:

An = (2 ) An 1 An 2:

Решим его сначала в более общем случае: An = ( + ) An 1 An 2. Перенося влево An 1 è An 1, получим две геометрические прогрессии:

An An 1 = (An 1 An 2) = n 2 (A2 A1) An An 1 = (An 1 An 2) = n 2 (A2 A1):

Если 6= , то можно исключить An 1 и найти An:

В нашем случае и являются корнями уравнения x2 (2 ) x+1 = 0, для которых можно сразу взять ведущий порядок малости по 1=n:

Воспользовавшись предельным определением экспоненты, получаем:

что и требовалось доказать.

Найд¼м совместную производящую функцию для винеровского процесса и двух интегралов от него по времени:

которого отлична от нуля только последняя компонента. Проведя интегрирование, получаем:

ãäå F = A 1 обратная к A матрица. Значение детерминанта нам из-

вестно, осталось вычислить показатель экспоненты. Запишем его при помощи векторов u и z

где мы воспользовались тем, что матрица F, как и A, симметрична. Первое выражение в круглых скобках равно сумме всех элементов F, второе

сумме элементов последней колонки, а третье - элементу в нижнем правом углу матрицы.

Так как матрица F является обратной к A, справедливы следующие соотношения:

(D 1 ( =n2) 1) F = F (D 1 ( =n2) 1) F = 1;

ãäå = 2p t2. Умножая их на D, мы приходим к двум матричным уравнениям размерности n x n:

Нас интересует их решение F при больших n.

Для того, чтобы их найти, необходимо подставить решение, например,

00

Поэтому окончательно производящая функция равна:

eM=2

eq Wt+k St+p Ut = q p ;

cos( )

ãäå = 2p t2, è

Заметим, что, если = 0, то

eq Wt+k St = e12 (q2t+13 k2t3+kqt2)

соответствует двум скоррелированным гауссовым случайным величинам. Привед¼м значение некоторых средних:

Wt2 St = Wt St2 = Wt Ut2 = St Ut2 = 0;

Другие соотношения можно найти в разделах R57, R61, R62 Стохасти- ческого справочника (стр. 284).