Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стохастический_мир.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5147 48 49 50 51 > Следующая >>>

R: Стохастический справочник

279

VСистемы уравнений с одинаковым шумом

R45: Линейное уравнение:

dx = W dy = x W:

Решение получается по формуле Ито заменой F = y x2=2:

y = y0		21 ("2 1) t:
	+ x0 " pt +
x = x0	+ "pt

Волатильности:		t2
2	= y2 t +	t2		2
			;		= t:
			;		= t:
x	0	2		y
		2

R46: Броуновское движение на спирали:

dx = x dt y W dy = y dt + x W:

Решение получается переходом к комплексному z = x + iy:

x = x0 cos( Wt) + y0 sin( Wt) e( + 2=2)t y = y0 cos( Wt) x0 sin( Wt) e( + 2=2)t:

R47: Линейный снос с одинаковым шумом:

dx = ( 1 + 1 x + 1 y) dt + 1 W dy = ( 2 + 2 x + 2 y) dt + 2 W:

280

VI Системы дифференциальных уравнений

Если явным образом не указан знак суммирования и не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование.

R48: Нестационарное блуждание (стр. 172):

dxi = fi(t) dt + si (t) W :

Решение:

xi(t) = xi(t) + Si (t) " ;

где среднее значение и матрица дисперсии:

t	t
xi(t) = xi(t0) + Z fi( ) d ;	Dij = Si Sj = Z si ( )sj ( ) d
t0	t0

полностью определяют производящую функцию:

hep xi = ep x+12 p D p:

R49: Линейное уравнение в n измерениях x = fx1; :::; xng (ñòð. 164): dx = A x dt + B W;

где A и B постоянные матрицы, начальное условие: x0 = x(0) .

x(t) = eAt x0 = k u(k) eakt; k

x0 = k u(k); k

ãäå A u(k) = a^ u(k). Дисперсия D = h(x x )(x x )i :

D_ = A D + D AT + B BT :

В стационарном режиме при

D = 0. В общем случае D(t):

D(t) = Z0

eA(t ) B BT eAT (t ) d :

Матрица eAt находится из выражения для средних

eAt

= @x =@x0 .

Решение через

независимых гауссовых чисел

:::; "

= "1;

;

D = S S

T ;

ep x

i =

ep x+21 p D p:

) = x( ) + S

Автоковариация:

cov (t; t + ) = hx (t)x (t + )i hx (t)i hx (t + )i = D(t) eAT :

R: Стохастический справочник

281

R50: Затухающий осциллятор n = 2 (стр. 160):

dx = ( x ! y) dt + Wx dy = (+! x y) dt + Wy:

Средние значения:

x(t) = e t (x0 cos !t y0 sin !t) y(t) = e t (x0 sin !t + y0 cos !t):

Полное решение x = fx; yg, выраженное через две независимые гауссовы переменные " = f"x; "yg:

x(t)

x(t) + p2

1 e 2 t

"y p

y(t)

(t) +

1 e 2 t

Матрица дисперсий D = h(x x) (x x) i диагональна:

D11(t) = D22(t) = 2 1 e 2 t ;

Автоковариационная матрица:

cov(t; t + ) = 2 1 e 2 t e

D12(t) = D21(t) = 0:

sin !	cos !	:
cos !	sin !

R51: Логарифмическое блуждание (стр. 173), суммы по i нет:

	dxi	n
	dxi	Xj
	xi	= i dt + ij Wj:
	xi	=1
		=1

Решение с начальным условием x0i = xi(0):

xi(t) = x0i exp	( i 2		ij2	! t + ij"j pt:)
	1	n		n
		Xj		X
		=1		j=1

Среднее значение:

hxi(t)i = x0i e it:

Среднее значение квадрата:

xi2(t)	= x02i	exp	(2 it + ij2	t):
			n
			Xj
			=1

282

VII Стохастические интегралы Ито

R52: Определение. Интервал [0::t] разбит на n отрезков одинаковой длительности t = tk tk 1, ãäå tk = k t. При n ! 1 и t ! 0 имеем конечный предел: n t = t. Значения подынтегральной функции вычис-

ляются в начале отрезков. Сокращение fs(Ws)				обозначает возможную
зависимость функции от времени f(s; Ws).
Z	t	n
			Wk Wk 1		:
		fs(Ws) Ws = k=1 f tk 1; Wk 1
0		X

Можно считать, что Wk Wkp1 = "k t независимые случайные величины, а Wk = ("1 + ::: + "k) t.

R53: Свойства линейности и разделимости

fs(Ws) + gs(Ws) Ws = Z fs(Ws) Ws + Z gs(Ws) Ws;

где и некоторые константы.

Z fs(Ws) Ws = Z fs(Ws) Ws + Z fs(Ws) Ws:

Предполагается, что времена упорядочены t1 < t2 < t3.

R54: Лемма Ито

1 @2Fs(Ws)

@F (W

)

@Fs(Ws)

Ft(Wt) F0(W0) = Z0

s s

ds + Z0

Ws:

@Ws2

@Ws

Если функция не зависит от времени (F = F (W )):

F 00(Ws)ds + Z0

F (Wt) F (W0) = 2 Z0

F 0(Ws) Ws:

Интегрирование по частям (F = f(t) W )

f(s) Ws = f(t) Wt Z0

Ws f0(s) ds:

R: Стохастический справочник

283

R55: Средние значения для интегралов по W . При усреднении используются независимые гауссовы числа "1; "2; ::: N(0; 1).

* t	+
Z

fs(Ws) Ws = 0:

Среднее квадрата интеграла:

* 0 t 12

@ fs(Ws) WsA

=	Z	fs2("ps) ds:
	D			E

Для двух интегралов с различными подынтегральными функциями:

* t1 fs(Ws) Ws	t2 g (W ) W +	=	min(t1;t2)		fs "ps gs "ps	ds:
Z	Z		Z	D		E
0	0		0	D		E

R56: Средние значения для интегралов по времени . При усреднении используются независимые гауссовы числа "1; "2; ::: N(0; 1).

* t

fs(Ws) ds+ =

fs("ps) ds:

Среднее значение от квадрата интеграла:

*0Zt fs(Ws) ds12+

= 2 Zt ds Zs d f

"1p fs

"1p + "2ps :

0 0

Момент

*0 t

@fs

k того порядка:

(Ws) ds1k

= k!

t dtk tk dtk 1:::

t2 dt1

ftj

ti 1

A +

Z Z

t0	t0	t0				j=1		i=1
t0	t0	t0			t0
Произведение с функцией от процесса Винера:
*gt(Wt) Zt	fs(Ws) ds+ = Zt		gt	"1ps + "2pt s			fs	"1ps	ds:
0	0	D							E

284

R57: Базовые интегральные процессыp .

Далее, помимо винеровского Wt = " t, рассматриваются процессы:

St = Z0	t			Ut = Z0	t
	2
	W d =	tp3=3	;		W 2 d = t2:

Случайные величины "; N(0; 1) и имеют производящие функции:

eq "+k

= e(q

3 qk+k

)=2;

cos (p

)

В общем случае для совместной функции eq "+k +p справедливо выражение:

exp nq2

p2p

+ k2

23p h

p2p

1i + 23

22p hcos(1p2p) 1io

tg(p

)

tg(p

)

cos(p

)

Средние значения:

139

5473

51103

;

2 =

;

4 =

;

120

1680

4320

Смешанные средние:

" =

;

"2 = " 2 = 0;

"3 = " 3 =

3 3

"2n+1 = 0;

;

2n+1 = 0;

2 =

;

4 =

Åñëè 1 N(0; 1), независимая от ", то:

t3=2

St =

t + 1

Автоковариационные средние:

Wt Wt+ = t;

St St+ =

R: Стохастический справочник

285

R58: Элементарные интегралы по dt.

W d = St

W 2 d = Ut

S d = (t + 1) St t Wt

R59: Элементарные интегралы по W .

W = Wt

W W = 2 (Wt2 t)

W 2 W = 3 Wt3

2 Ut

W 3 W = 4 Wt4

W = t Wt St

W W =

Wt2

286

R60: Интегрируемая функция f(t) зависит от времени.

Z0	t	Z0	t
	f(s) Ws = 1 1;		f(s)Ws ds = 2 2;

где дисперсии процессов равны:

12 = Z	t	22 = Z	t	t
12 = Z	f2(s) ds;	22 = Z	Z	f( ) d ds;
			hs	i	2
0		0	hs	i

à 1 è 2 нормированныеp скоррелированные гауссовы величины. Если процесс Винера Wt = " t, то коэффициенты корреляции равны:

11p

" 1

f(s) ds;

t t

" 2

21p

f( ) d

ds;

f(s)

f( ) d ds;

1 2

Для степенной функции f(t) = tn:

tn+1=2

tn+3=2

Ws =

sn Ws ds =

1 + 2n

6 + 7n + 2n2

с корреляционными коэффициентами:

1 + 2n

6 + 7n + 2n2

2 + n

1 =

; 2

;

2 =

1 + n

2(2 + n)

Представление зависимых случайных величин 1, 2 через " и пару независимых от не¼ и друг друга гауссовых чисел "1, "2:

						1 2			s		1 12
					= 2 "+	1	2	"1			( 1	2)2
1	= 1	"+ 1	2 "1	; 2	= 2 "+		1	"1	+ 1	2			"2:
		q	1			p	1			2
			1							2

R: Стохастический справочник

287

R61: Некоторые средние для интеграла:

W n( ) d = n t1+n=2

Простые средние:

2ni

1 3 5 ::: (2n 1)

;

2n+1i

= 0:

n + 1

Моменты для 1:

h 1i = 0;

;

13 = 0;

14 =

;

15 = 0;

Моменты для 2:

139

5473

51103

h 2i =

; 22 =

;

23 =

; 24 =

;

25 =

120

1680

4320

Моменты для 3:

41877

h 3i = 0;

33 = 0;

350

R62: Некоторые средние для интеграла:

W m(t) W n( ) d = m;n tm+2 n +1

Средние значения случайной величины m;n:

h n;mi = 0; n + m = 2k + 1 = 1; 3; 5; :::

Не нулевые средние:


h 1;1i =			1	;	h 2;2i =	7	;	h 1;3i = 1				h 3;1i =			3	:

			2			6									2
h 1;5i =	15	;	h 2;4i = 4; h 3;3i =					9	;	h 4;2i =	11		;	h 5;1i =			15	:

	4							2			2						2

288

R63:

Формула Ито для n-кратного интеграла

Wt2

Wt3 :::1

Wtn

= tn!

0:: Z

0Z Wt1

n=2

Wt hn p ;

ãäå hn(z) полиномы Эрмита:

=2 dne z2=2

hn(z) = ( 1) e

dzn

В частном случае n = 2

2! h2 pt

= 2 (Wt2 t):

W 1

= Ws Ws =

t2=2

R64: Дифференциал произведения двух произвольных процессов x(t),y(t):

d(xy) = x dy + y dx + dx dy;

или в интегральной форме:

	t	t	t
Z0	xs dys = xtyt x0y0 Z0	ys dxs Z0	dxs dys:

R65: Неравенства:

	t2				t2	fs4(Ws) dt
	Z fs(Ws) W	4		6 36 (t2 t1) Z		fs4(Ws) dt
Dht1		i	E		t1
	1				1
	Z fs(Ws) W 6 36				Z fs2(Ws) dt
Dh		4	E	Dh		2	E
Dh	0	i	E	Dh	0	i	E

R: Стохастический справочник

289

290

VIII Скалярные случайные величины

R66: Нормальное распределение:

0.40

P( )

0.24	1 e 21 "2 :
P "

( ) = p

0.05

-2 -1 0 1 2

Производящая функция:

p2=2

p "

= e

Средние значения:

"2n

(2n)!

= 1 3 5 :::

(2n 1);

"2n+1 = 0:

2n n!

В частных случаях:

"2 = 1;

= 3;

= 15;

= 105;

"10

Вероятность

отклонения

от среднего:

= 945

n = Z

P (") d";

1 = 0:6827;

2 = 0:9545;

3 = 0:9973:

R67: Гамма-распределение:

P(x)

P (x) =

e x= :

( )

xmax

Производящая функция:

hep xi =

Средние значения:

hxi = ;

= ( + 1) 2;

hxni = ( + 1) ::: ( + n 1) n:

Положение

, асимметрия

, эксцесс

максимума:

= (

2=p

xmax

и нормального распределений.

R: Стохастический справочник

291

R68: 2 - распределение с n степенями свободы.

Сумма квадратов независимых гауссовых случайных чисел:

u = "21 + ::: + "2n:

подчиняется гамма-распределению с = n=2, = 2:

Pn(u) =		1			un=2 1e u=2:

	n=2
2		(n=2)
Производящая функция:
hep xi =				1		:

			(1	2p)n=2

Средние значения: hui = n;		u2 = 2n + n2:

R69: Смесь 2

Для n независимых гауссовых чисел определим:

"1	+ ::: + "N			"12	+ ::: + "N2
=	p		;	u =	p		:
		N				2

Обозначая = N=2, запишем производящую функцию и плотность вероятности при u > "2=2 (ïðè u < "2=2, P ("; u) = 0):

3=2

ek + p u

exp

P ("; u) =

u "

=2p

(1 p)

1 p

( 1=2)

Средние по это Гаусс, по u гамма с = 1:

= 1

:::

(2n 1);

1):

2n+1

= 0:

= (

+ 1)

:::

( + n

Средние смешанных произведений:

= 3(2 + );

= 1 + ;

ui = 0

2n+1um

= 0;

2u2

= 2 + 3 + 2;

4u2

= 3(6 + 5 + 2);

2u3

= 6 + 11 + 6 2 + 3;

4u3

= 3(24 + 26 + 9 2 + 3);

4u4 = 3(120 + 154 + 71 2 + 14 3 + 4):

292

IX Некоторые полезные соотношения

R70: Гауccовы интегралы

1
Z e x + x dx = r				e		=4
2			2
1		dx = r
1
Z e x =x					e 2p
2 2
1	(x x2) dx = r
1
Z e (x x1)								e (x2	x1)	=( + )
Z e (x x1)							+	e (x2	x1)	=( + )
2		2							2
1

R71: Интеграл вероятностей

	z	e x	dx:
erf(z) = p Z0
2		2

Свойства:

erf( z) = erf(z);

Представление в виде рядов:

erf(z) =	2	1	( 1)n		z2n+1
	p	X
			n!	2n + 1
		n=0	n!	2n + 1

Общий гауссовый интеграл:

erf(1) = 1;

erf(0) = 0:

2 2

= p e z

:::

(2n + 1)

z2n+1:

n=0

2 r

1 + erf

Z e x + x dx =

R: Стохастический справочник

293

R72: Гамма-функция, Re z > 0

xz 1e xdx = (z):

Свойства гамма-функции:

(n + 1) = n!;

(1=2) = p

;

(z + 1) = z (z);

22z 1

(z) (1 z) =

; (2z) =

(z) (z +

)

sin( z)

Формула Стирлинга:

n! p2 n

R73: Интегралы, сводящиеся к гамма-функции.

Ниже B(p; q) = (p) (q)= (p + q) бета-функция, и p > 0, q > 0:

xp 1 e a xq dx = (p=q)

q ap=q

0
=2		B(p; q)
Z0	(cos )2p 1 (sin )2q 1 d = 2	B(p; q)
	1

(1 t)p 1 tq 1 dt = B(p; q)

0
1	zq 1
Z0	zq 1
		dz = B(p; q)
	(1 + z)p+q	dz = B(p; q)

R74: Гиперболические функции.

sh x =	ex e x	;	ch x =	ex + e x	;	th =	ex e x
							ex + e x
2			2

294

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5147 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20151.88 Mб43Статьи о психолингвистике.pdf
#
10.05.201535.67 Кб7статьи по английскому.docx
#
16.11.2019168.45 Кб1Статья 8.doc
#
15.08.20194.04 Mб13Стегний. Социальное прогнозирование и проектиро...rtf
#
18.12.201849.01 Кб1стилистика.docx
#
16.03.20162.96 Mб112Стохастический_мир.pdf
#
16.11.20191.41 Mб5Стр мех ККР часть1.doc
#
10.05.2015518.42 Кб2страх взнос.rtf
#
22.09.2019167.94 Кб2Страхование как звено финансовой системы.doc
#
10.05.2015256.27 Кб4страхование.docx
#
16.11.2019838.66 Кб1СтрМех ККР часть 2.doc