6.3Стохастический осциллятор

В качестве примера решения стохастической задачи в двух измерениях n = m = 2 рассмотрим движение по окружности с частотой ! и по-

степенным уменьшением радиуса. Детерминированная версия подобной спирали может иметь следующую зависимость координат от времени:

Примеры систем с таким поведением мы рассмотрим в следующей главе. Сейчас наша цель математическое описание стохастической динамики. Для этого найд¼м решение системы уравнений следующего вида:

dx = ( x ! y) dt + Wx dy = (+! x y) dt + Wy:

pp

Предполагается, что шум Wx = "x t, Wy = "y t по каждой координате нескоррелирован. В качестве упражнения ( l H29) стоит записать эту же систему для скоррелированного шума.

Зависимость среднего значения от времени находим из (6.16):

x_ = x ! y y_ = +! x y:

Умножим второе из уравнений на мнимую единицу { ({2 = 1) è ñëî-

жим их. В результате для комплексной величины z = x+{y и параметра= {! получим одномерное уравнение z_ = z: Оно легко инте- грируется:

z(t) = e t z0 = e t+{! t z0 = e t(cos !t + { sin !t)z0;

ãäå z0 = z(0) = x0 +{y0 начальное условие. Приравняв действительную и мнимую части:

получаем решение для эволюции средних значений координат в виде спирали. По каждой координате происходят затухающие периодические колебания. Параметр ! является их частотой, скоростью затухания.

Найд¼м теперь, как вед¼т себя среднее значение квадрата расстоя-

Таким образом, когда колебания затухнут ( t ! 1), останется ненуле-

вая дисперсия квадрата, тем большая, чем медленнее происходило затухание! Этот результат свидетельствует о стабилизирующей роли сильного трения (большие ) при внешних стохастических толчках. Несмотря

на то, что находится в знаменателе, особенности при = 0 нет. Раскладывая экспоненту, несложно убедиться, что при = 0 среднее равно

x2 = x20 + y02 + 2 2t. Это означает, что, как и в винеровском блуждании, внешние толчки со временåм размываþт круговую траекторию. Найти асимптотическое решение x2(t), y2(t), xy(t) в ситуации скоррелированно-

го шума предлагается в качестве упражнения ( l H30).

Выразим решение задачи через гауссовы переменные. В комплексных обозначениях стохастическое уравнение имеет компактный вид:

dz = z dt + W;

p

ãäå W = " dt, " = "x + {"y комплексное гауссово число, а z и

определены выше. Перейд¼м, при помощи формулы Ито, к переменной F = ze t. Е¼ динамическое уравнение не будет содержать сноса:

dF = e t W = S(t) W;

ãäå S(t) = e t. Решим уравнение dF = S(t) W итерациями (k = 1:::n):

Xp

F = F0 + S(tk 1)"(tk) t:

Как функция S(t), так и "k являются комплексными величинами, поэто-

Опуская штрихи и повторяя рассуждения одномерного случая (стр. 56), мы можем окончательно записать:

t0

ãäå " = "x+{"y по-прежнему комплексная гауссова случайная величина. Заметим, что действительная и мнимая части выражения "0 = e{ "

являются независимыми гауссовыми числами. Действительно, распишем

их в явном виде:

"0x = "x cos "y sin "0y = "x sin + "y cos

или в явном виде для действительной и мнимой частей:

где x(t) и y(t) средние, определяемые выражениями (6.18). В качестве

упражнения стоит найти x2(t), y2(t), xy(t) и проверить справедливость

уравнений для средних (l H31).

Квадрат величины jzj2 = x2 + y2 является квадратом радиус-вектора,

для которого уже известно среднее значение. Сделаем это ещ¼ раз при помощи (6.19):

jztj2 = jz0j2 e 2 t + 2 1 e 2 t :

Обращаем внимание на то, что j"j2 = h"" i = "2x + "2y = 2, где зв¼здочка обозначает комплексное сопряжение.

В решении, аналогично одномерному случаю, можно выразить z в момент времени t + через z в момент t:

что легко позволяет вычислить, например, среднее hzt zt+ i (l H32).