Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

312 Лекция 22. Функциональные ряды

о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства

jan(x)j 6 cn следует

Äm

¯n=1 an(x)¯

n=1 jan(x)j 6 n=1 cn: Введем две частичные

суммы¯

, Sm

= n=1 cn

, и будем рассматривать

=¯ ¯n=1 an(x)¯

их, как последовательности¯ ¯

при различных значениях m. Тогда,

¯ P

их неравенств,¯ с учетом¯

свойств последовательностей получаем

¯ P

¯n=1 an(x)¯ 6 n=1 cn. ¤

22.1. Основные свойства равномерно сходящихся рядов

	Рассмотрим некоторые свойства равномерно сходящихся ря-
дов, имеющие важное прикладное значение.
	22.1.1.		Почленный переход к пределу. Известно равен-
ñòâî m				m
lim	P	an(x) =		P	lim an(x):
x!¯ n=1				n=1 x!¯
	Однако, когда сумма имеет бесконечное число элементов это
равенство не всегда справедливо
	Теорема 22.3.				Пусть функциональный ряд (22.1) равно-
мерно сходился на множестве fxg к некоторой сумме S(x),

и для всех членов ряда существует в точке ¯ предельное
значение	lim an(x) = bn:
	lim an(x) = bn:
	x!¯
Тогда функция S(x) имеет предельное значение
		1	1
	lim S(x) =	lim an(x) =	bn:
	x!¯	n=1 x!¯	n=1
		X	X
	1

Ïðè ýòîì ðÿä n=1 bn является сходящимся.

Эта теорема позволяет символы предела и бесконечной суммы переставлять местами.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равномерной сходимости ряда имеем для 8" > 0 9N > 0, независящее от x такое, что при

n > N выполнено неравенство jSm+p(x)¡Sm(x)j < " äëÿ 8p > 0:

22.1. Основные свойства равномерно сходящихся рядов

313

Тогда

jSm+p(x) ¡ Sm(x)j = ¯k=n+1 ak(x)¯ < " .

сумме

n+p

конечное число элементов.¯

Поэтому¯

символы предела

è Pсуммы переставлять местами. Переходя к пределу, получим

k=n+1

ak(x)

n+p

Äëÿ ðÿäà

âû-

lim

a (x)

, ãäå¯

=¯

jSbm+p

¡ S¯bmj

¯6 "

¯Sbm =

1 bn:

1 bn

n!¯

¯k=n+1

k¯

полнен признак Коши. СледовательноPон сходится.

Из сходимости рядов следует

¯S(x) ¡ 1 bn¯

= jSm(x) ¡ Sbm + Rm(x) ¡ Rbmj 6

n=1

Sm(¯x)

bmj

Rm(x) +

6 j

ãäå R(x), Rm остатки рядов (22.1) è

P bn: Тогда из равномер-

n=1

ной сходимости функционального ряда и сходимости числового ряда, с учетом того, что суммы Sm(x) ¡ Sbm имеет конечное

число членов, следует. Для 8" > 0 9N > 0 такое, что при n > N будут справедливы неравенства

jSm(x) ¡ Sbmj <		"	, jRm(x)j <			"	jRmj <	"	,

		3				3		3
откуда следует	¯S(x) ¡		1 bn¯		< ":¤
	¯		n=1	¯
	¯		X	¯
	¯			¯
	¯			¯

Из теории непрерывных функций, известно, что конечная сумма непрерывных функций является непрерывной, что не всегда справедливо для бесконечной суммы.

Теорема 22.4. Пусть функциональный ряд (22.1) равномерно сходился на множестве x к некоторой сумме S(x),

и элементы этого ряда являются непрерывными функциями в любой точке ¯ 2 x. Тогда сумма ряда S(x) тоже будет

непрерывной функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия непрерывности элементов ряда следует

lim an(x) = an(¯):

x!¯

P1 an(x)

314	Лекция 22. Функциональные ряды
Из условий теорема следует, что ряд		1
Из условий теорема следует, что ряд		=1 an(¯) сходится. Тогда
		nP

заменив в доказательстве теоремы 22.3 bn íà an(¯), получим справедливость утверждения данной теоремы. ¤

22.1.2. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. Известно, что конечные суммы функций можно почленно интегрировать и дифференцировать, что не всегда возможно для бесконечных сумм. Поэтому рассмотрим условия, позволяющие почленно интегрировать и дифференцировать бес-

конечные суммы функций

Теорема 22.5. Если функциональный ряд n=1 имеет своим членами непрерывные на промежутке [a, b] функции

и сходится равномерно на этом отрезке к функции S(x),

то эта сумма S(x) является интегрируемой, а ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.

1 Zb	Zb
X

an(x)dx = S(x)dx:

n=1 a

Следует отметить, что существуют ряды, не удовлетворяющие условию теоремы, однако они допускают почленное интегрирование.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функция S(x) является непрерывной на отрезке [ab]. Следовательно, она

будет интегрируемой. Из условий равномерной сходимости ряда следует, что для 8" > 0 9N > 0 такое, что при n > N будут

справедливы неравенства

		"							"
	jS(x + ¢x) ¡ Sm(x + ¢x)j <			, jS(x) ¡ Sm(x)j <						:
	jS(x + ¢x) ¡ Sm(x + ¢x)j <		3	, jS(x) ¡ Sm(x)j <					3	:
Èç	условия	непрерывности функций an(x) следует,							÷òî äëÿ
" > 0 ± > 0 такое, что при выполнении условия					j	¢x < ± ,будет
8	9				j	"		j
справедливо неравенство jSm(x + ¢x) ¡ Sm(x)j <								Тогда полу-
справедливо неравенство jSm(x + ¢x) ¡ Sm(x)j <							3	Тогда полу-
÷èì		jS(x + ¢x) ¡ S(x)j =
		jS(x + ¢x) ¡ S(x)j =

= jS(x + ¢x) ¡ S(x) + Sm(x + ¢x)¡ ¡Sm(x + ¢x) + Sm(x) ¡ Sm(x)j 6

6jS(x + ¢x) ¡ Sm(x + ¢x)j + jS(x) ¡ Sm(x)j +

+jSm(x + ¢x) ¡ Sm(x)j < ":

P1 an(x)

22.1. Основные свойства равномерно сходящихся рядов		315
Таким образом, имеем, что для 8" > 0 9± > 0 такое,		÷òî ïðè
выполнении условия j¢xj < ± ,будет	справедливо неравенство
jS(x + ¢x) ¡ S(x)j < " что означает	непрерывность	функции
S(x), а следовательно, ее интегрируемость не отрезке [ab].
Из равномерной сходимости ряда	следует, что для 8" >

> 0 9N > 0 такое, что при n > N будут справедливо неравенство

jRm(x)j < b ¡" a:

Тогда		m b an(x)dx¯			¯b Rm(x)dx¯
¯b S(x)dx		m b an(x)dx¯		=	¯b Rm(x)dx¯			6 b	Rm(x) dx < ":
¯Z		¡ n=1 Z	¯		¯Z		¯	Z j	j
¯		X a	¯		¯		¯
¯			¯		¯		¯
¯			¯		¯		¯
¯	a		¯		¯	a	¯	a
	a					a		a

Это означает, что ряд можно почленно интегрировать.¤

Теорема 22.6. Если в некотором отрезке [a, b]

1. функциональный ряд n=1 an(x) сходится к сумме S(x); 2. члены an(x) данного ряда имеют непрерывные производ-

íûå;	nP
	1	an0 (x)сходится равномерно;
3. ряд этих производных	=1

то данный функциональный ряд n=1 можно дифференцировать в каждой точке отрезке [a, b]

X1 a0n(x) = S0(x):

n=1

почленно

(22.2)

P an0	(x) = G(x). Так как данный ряд сходится равномерно и
Ä1 î	ê à ç à	ò å ë ü	с т в о. Обозначим сумму ряда
n=1
производные a0		(x) являются непрерывными, то этот ряд можно
	n
почленно интегрировать
	x	1 x	1
	a	X a	X
	Z G(x)dx = n=1 Z an0		(x)dx = n=1 (an(x) ¡ an(a)) =
		= S(x) ¡ S(a)

Продифференцируем данное неравенство, учитывая свойства определенного интеграла, в результате чего получим G(x) =

= S0(x), откуда следует равенство (22.2).¤

316 Лекция 22. Функциональные ряды

22.1.3. Способы определения области сходимости. Для
определения интервала сходимости функционального ряда необ-
ходимо решить одно из следующих неравенств:
lim	an+1(x)	j	< 1,	lim n	a (x)	j	< 1:	(22.3)
n!1 j	jan(x)j	j		n!1 pj	n	j

Затем следует проверить сходимость ряда на границах получен-

ного интервала.

Пример 22.1. Найти область сходимости функционального

ðÿäà

4 ¢ 3n2 tgn

(2x):

n=1

Первое неравенство (22.3) для данного примера имеет вид

tgn+1(2x)pn

nlim

3ntgn(2x)

¯ < 1:

n + 1

Преобразуем левую часть¯

неравенства

!1 ¯

32 tg(2x)pn

= p

n + 1 = p

nlim

pn + 1

jtg(2x)j nlim

jtg(2x)j < 1:

!1 r

Решая¯

это неравенство,¯

получим

< tg2x < p1

= ¼k

< 2x < ¼k +

)

¼k

< x <

¼k

, k 2 Z:

Проверяем сходимость ряда на границах полученного интервала

доказано в примере 21.2.P

1. tg2x = p1

. Этот ряд расходится, как было

)

n=1

2. tg2x =

(

1)n p1 . Ряд абсолютно не схо-

)

дится. Однако, выполнены условия

= 0: Ñëå-

n +

довательно, ряд сходится условно. Тогда областью сходимости

исходного ряда будут полусегменты:

¼k

6 x <

¼k

, k 2 Z:

22.2. Степенные ряды

317

22.2. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

anxn: (22.4)

n=0

Выведем формулы для определения области сходимости для степенного ряда, используя формулы (22.4).

an+1(x)

an+1xn+1

an+1 x

nlim

= nlim

anxn

= nlim

j j j

< 1:

an(x)

j j

Решив это неравенство, получим

x < lim

janj

an+1

j j

!1 j

откуда следует формула для определения радиуса сходимости R

R = lim

janj

(22.5)

n!1 jan+1j

Из второй формулы (22.3) èìååì

lim

< 1,

n!1 pjan(x)j = n!1 pj

nj j j

откуда получает

R = lim

(22.6)

n!1 pjanj

Степенной ряд в области сходимости удовлетворяет условиям
всех теорем 22.1-22.6, которые были рассмотрены в предыдущих
пунктах.
Пример 22.2. Найти область сходимости степенного ряда
		X
		1 nxn		:
			3n	:
		n=0
Воспользуемся формулой (22.5).
	n	n+1			n
	n	3		3	n		3
		3
R = nlim 3n ¢		(n + 1) =			n + 1	=		:
R = nlim 3n ¢		(n + 1) =		nlim	n + 1	=		:
!1				!1
На границах интервала (¡3, 3) получаем два ряда
1				1
	X	(¡1)n n,		X
		(¡1)n n,		n:
	n=0			n=0

318	Лекция 22. Функциональные ряды

Оба ряда расходящиеся, так как не выполнены необходимые
условия сходимости	nlim n = 1. Следователь-
nlim (¡1)n n ¡ не существует, а
!1	!1

но, областью сходимости исследуемого ряда, является интервал (¡3, 3)

22.2.1. Разложение функции в степенные ряды. Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда, с областью

сходимости (¡R, R).

f(x) = an (x ¡ ®)n:

n=0

Степенной ряд удовлетворяет условию теоремы 22.6. Ряд произ- водныхP1 nanxn¡1, является степенным рядом с радиусом сходимо-

n=1

сти равным радиусу сходимости исходного ряда

R = lim	n janj	=	janj	:
	(n + 1) jan+1j		jan+1j
n!1

Поэтому ряд можно почленно дифференцировать.

	1
f0	X	00(x) =
f0	(x) = nan (x ¡ ®)n¡1, f	00(x) =
	n=0
1			1
X			X
= n (n ¡ 1) an (x ¡ ®)n¡2 , ¢¢¢ , f(n)(x) =			n!an, ¢¢¢
n=0			n=0
Полагая во всех равенствах x = ®, получим
f(®) = a0, f0(®) = a1, f00(®) = 2a3, ¢¢¢ , f(n)(®) = n!an, ¢¢¢ ,

откуда следует общая формула для вычисления коэффициентов
ðÿäà	f(n)(®)
	f(n)(®)
an =			, n = 1, 2, ¢¢¢ :		(22.7)
an =	n!		, n = 1, 2, ¢¢¢ :		(22.7)
Таким образом, получаем ряд		f(n)(®)
	1	f(n)(®)
	X			(x ¡ ®)n :
f(x) =			n!	(x ¡ ®)n :	(22.8)
	n=0

22.3. Ряды Фурье

319

Определим область сходимости

= nlim

f¯

(n+1)(®¯)

(n + 1) = 1:

R = nlim

f((n+1)(®)

f(n)(®)

n + 1)!

f(n)(®)

Если все производные функции ограничены в точке x = ®, òî âñÿ

числовая ось является областью сходимости.

Ряд (22.8) называется рядом Тейлора, а при ® = 0, îí íàçû-

вается рядом Маклорена.

Если выполнить все вычисления при ® = 0 для функций: ex, sinx, cosx, ln(1 + x), то получим следующие разложения

ex = 1 +

1 xn

sinx =

1 (¡1)n x2n+1

n=1

(2n + 1)!

1 n 2n

1 n+1 n

(¡ ) x

cosx = 1 +

ln(1 + x) =

n=1

(2n)!

n=1

Определим радиус сходимости для последнего ряда

lim

n + 1

= 1:

n!1

На границах интервала (¡1, 1) имеем следующие ряды

(¡1)n+2

(¡1)n+1 :

n=1

, n=1

Оба ряда являются знакочередующимися, и как уже было исследовано, они сходятся условно. Однако, при x ! ¡1, функция

ln(1 + x) ! ¡1. Поэтому областью сходимости является полусегмент (¡1, 1]:

		22.3. Ряды Фурье
Ðÿä âèäà	a0	1
	a0	1
		X
	2	+ ancosnx + bnsinnx:
		n=1

называется тригонометрическим рядом Фурье. Числа a0, an, bn называются коэффициентами тригонометрического ряда.

320	Лекция 22. Функциональные ряды

22.3.1. Определение коэффициентов по методу ЭйлераФурье. Будем предполагать, что функция f(x) интегрируема на

отрезке [¡¼; ¼] и имеет место разложение

	0		1
	a		X
f(x) =	2	+	ancosnx + bnsinnx:	(22.9)
			n=1

Требуется определить формулы для вычисления коэффициентов a0, an, bn:

Принимая во внимание равенства

cosnxdx =

¡¼ = 0,

sinnxdx = ¡ n

¡¼ = 0,

sinnx

cosnx

проинтегрировав разложение (22.9) почленно, получим

f(x)dx:

(22.10)

a0 = ¼

¡¼

Умножим равенство (22.9) на sin kx и полученное выражение

проинтегрируем

Z¼ f(x)sinkxdx =

¡¼

sinkxdx + n=1 an

cosnxsinkxdx + bn

sinnxsinkxdx:

¡¼

Åñëè n 6= k, то правая часть равна нулю, так как

cosnxsinkxdx =

(sin(k ¡ n) + sin(k + n)) dx =

¡¼

sinnxsinkxdx =

(cos(n ¡ k) ¡ cos(n + k)) dx =

¡¼

Åñëè n = k, то получим

f(x)sinnxdx = bn

sin2nxdx =

(1 ¡ cos2nx) dx =

¡¼

f(x)è åå

условия

		22.3. Ряды Фурье						321
= 2		³x ¡ 2n				´¯	¡¼ = bn¼,
bn				sin2nx		¯	¼
						¯
откуда получаем						¯
			¼
	bn =		1		f(x)sinnxdx:			(22.11)
	bn =		¼ Z		f(x)sinnxdx:

¡¼

Умножив (22.9) на

логичные тем, которые (22.11), получим

coskx и выполнив преобразования, анабыли использованы при выводе формулы

=	1	Z	f(x)cosnxdx:	(22.12)
	¼

¡¼

Из приведенных формул следует, что при четной функции коэффициенты bn = 0, а для нечетных функций коэффициенты a0, an будут нулевыми. Кроме того следует отметить еще одну особенность интегралов от периодических функций. Если интервал интегрирования равен периоду, то значение интеграла не зависит от того, где на числовой оси взят этот интервал.

Приведем без доказательства теорему, которая дает сходимости ряда Фурье.

Теорема 22.6. (теорема Дирихле) . Пусть функция

производные на сегменте [¡¼, ¼] является непрерывными за

исключением конечного числа точек разрыва 1 рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится, а в каждой точке сегмента [¡¼, ¼] сумма S(x) этого ряда равна:

1. S(x) = f(x) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри сегмента [¡¼, ¼] ;

2.S(x0) = 2 ãäå x0 точка разрыва 1 рода функции f(x);

3.S(x) = 1 [f(¡¼ + 0) + f (¼ ¡ 0)] на концах промежутка,

2x = §¼:¡ 0) + f (x0 + 0)] ,ò.å. ïðè1 [f(x0

22.3.2. Разложение функции с произвольным периодом.

Пусть функция f(x) имеет период равный 2l. Сделаем замену переменной x = lz=¼ Тогда функция '(z) = f(lz=¼) = f(x) ïî

переменной z будет иметь период равный 2¼. Поэтому можно пользоваться результатами, полученными для таких функций.

11 Цыкунов А. М.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб25L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб53makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб21Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб101MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб10MetodDB.pdf