matanaliz

то окрестность этой точки не может однозначно быть спроецирована на плоскость xoy, так как часть окрестности находится

âверхней полусфере, а другая часть в нижней. Следовательно, уравнение (9.2) не является однозначно разрешимым0 в этой окрестности. При этом частная производная Fu = 0 в точке M1.

Теорема 9.1. Пусть функция F (u, x, y) дифференцируема

âнекоторой окрестности точки M0 (u0, x0, y0) 2 R3 è ÷àñò-

" > 0 найдется окрестность точки N (x0y0) 2 R2 такая, что в

пределах этой окрестности существует единственная непрерывная и дифференцируемая функция u = f (x, y), удовлетво-

ряющая условиям: ju ¡ u0j < ", F (u, x, y) = 0:

нижней гранях параллелепипеда соответственно, но тогда на этих гранях функции F (u0 + ", x0, y0) > 0, F (u0 ¡ ", x0, y0) < 0

при достаточно малых ± в силу непрерывности функции

F (u, x, y) и теоремы о сохранении знака, но тогда получаем неравенства

Теперь возьмем в качестве окрестности точки M (x0y0) проекцию

нижней грани параллелепипеда на плоскость xOy: Тогда будут выполнены условия

Зафиксируем произвольные точки x è y в этом квадрате и рассмотрим снова функцию одного аргумента F (u, x, y) на сегменте

[u0 ¡ ", u0 + "], но на верхней грани F (u0 + ", xy) > 0, à íà

нижней грани F (u0 ¡ ", xy) < 0, à Fu0 в шаре положительна, т.е. функция F (u, x, y) в параллелепипеде возрастает, но тогда внут-

ри сегмента u0 ¡ " 6 u 6 u0 + " найдется единственная точка, где

F (u, x, y) = 0, а такой точкой является M0. Из изложенного вы- текает, что часть поверхности S0, вырезанная параллелепипедом

однозначно проектируется на плоскость xOy в виде квадрата,

определяемого неравенствами (9.4). Следовательно, существует единственная функция u = f(x, y), удовлетворяющая условию

ju ¡ u0j < " при выполнении (9.4) и являющаяся решением уравнения F (u, x, y) =

из (9.4) следует ju ¡ u0j < ". Остается доказать дифференцируемость функции f(x, y).Так как по условию F (u, x, y)- дифферен-

цируема, то выражение для полного дифференциала в точке M0 будет иметь вид

Следовательно, функция u = f(x, y) дифференцируема, кроме

заданные уравнениями F (u, x, y) = 0 F (x, y) = 0 могут иметь

особые точки, где теорема неприменима. К особым точкам относятся точки,0 где все частные производные равны нулю, а также точки, где Fu = 0, что уже было продемонстрировано на примере со сферой, когда не существует окрестность точки, которую можно было бы однозначно спроектировать на плоскость xOy, à

у плоской кривой на ось Ox èëè Oy.¤

функций ui = fi(x1, ... , xm), i = 1, ... , m, которые осуществляют отображение указанной окрестности на некоторое множе-

ñòâî m¡мерного пространства переменных ui, i = 1, ... , m. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 9.3. (о взаимно однозначном отображении). Åñëè функции ui = fi(x1, ... , xm), i = 1, ... , m дифференцируемы в

окрестности точки M0 и все частные производные непре-

1 m

Справедливость утверждения следует из предыдущей теоремы. Действительно, функции ui = fi(x1, ... , xm) можно рассматривать как систему функциональных уравнений относительно xi, i = 1, ... , m, для которых выполнены условия предыдущей

теоремы, а следовательно в некоторой окрестности точки N0

имеется единственное решение xi = 'i(u1, ... , um), i = 1, ... , m. Следует отметить, что в условиях утверждения прямое отображение ui = fi(x1, ... , xm) и обратное xi = 'i(u1, ... , um) ÿâëÿ-

ются непрерывными.

9.3. Условный экстремум

Мы уже познакомились с необходимыми и достаточными условиями наличия экстремумов в области определения функции нескольких переменных. Вместе с тем часто встречается задача об отыскании экстремумов функции при некоторых дополнительных условиях, ограничивающих область изменения аргументов. Например, требуется найти экстремум функции u = x2 + y2

при условии x + y ¡ 1 = 0, т.е. экстремум заданной функции

ищется не на всей области определения функции, а лишь на прямой x + y = 1. Эти дополнительные условия часто называ-

ют уравнениями связи или ограничениями. Для решения сформулированной задачи выразим переменную из уравнения связи y = 1 ¡ x и подставим это значение в уравнение функции

u = (1 ¡ x)2 + x2. Таким образом, задача поиска условного экс-

êå (0;0).

Решение: Заданная область определения является треугольником. Ищем критические точки, решая систему уравнений

8< @x@z = 2x ¡ y + 1 = 0, : @y@z = 2y ¡ x + 1 = 0,

x = ¡1, y = ¡1: Получили точку M1(¡1, ¡1), которая принадлежит заданной области, z(M1) = ¡1. Исследуем функцию на границе, состоящей из трех прямых. 1. x = 0, y 2 [¡3; 0]. Íà

этой прямой z = y2 + y. Получили задачу поиска наибольшего и

наименьшего значений для функции одной переменной, заданной на сегменте. Решаем уранение dydz = 2y + 1 = 0. Получаем точку

M2(0; ¡1=2), которая лежит на границе. Кроме того имеем точки на границе сегмента M3(0; ¡3), M4(0; 0). Вычисляем значения функции в этих точках z(M1) = ¡1=4, z(M3) = 6, z(M4) = 0. 2.

y = 0, x 2 [¡3; 0]. На этой прямой z = x2 + x Решаем уранение

dxdz = 2x + 1 = 0. Получаем точку M5(¡1=2; 0), которая лежит на границе. Кроме того имеем точку на границе сегмента M6( ¡

¡3; 0): Точка (0; 0) уже исследована. z(M5) = ¡1=4, z(M6) = 6. 3. Исследуем функцию на прямой x + y = ¡3. Определив из

этого уравнения

y = ¡x ¡ 3, получим z = 3x2 + 9x + 6: Решаем уравнение

=¡1.

2.Найти призводную dxdy от фунуции, заданной в неявной

форме

x3y ¡ y3x = 16:

Решение: Если функция задана в виде F (x, y) = 0, то производная dxdy определяется по вормуле (9.5)

dy = ¡Fx0 : dx Fy0

3. Найти условный экстремум функции z = x2 ¡ y2 при наличии

ограничений y ¡ 2x = ¡6.

Решение: Решаем задачу путем преобразования, позволяющего получить задачу поиска безусловного экстремума. Из заданного условия имеем y = 2x ¡ 6. В результате получаем фунук-

максимума.

9.5. Примеры для самостоятельного решения

Определите наименьшее и наибольшее значения функций в замкнутой области, ограниченной линиями .

1. z = x2 + 2xy ¡ y2 ¡ 2x + 2y, Q : y = x + 2, y = 0, x = 2.

2. z = x2 + 2xy ¡ 4x + 8y, Q : y = 0, y = 2, x = 0, x = 1.

3. z = x3 + y3 ¡ 3xy, Q : y = ¡1, y = 2, x = 0, x = 2. 4. z = 2x3 + 4x2 + y2 ¡ 2xy, Q : y = x2, y = 4.

Определить условные экстремумы функций.

5. z = xy2, x + y = 4: 6. z = x2 + y, x + y = 4:

7. z = x2 + y2 + x ¡ y, x + y = 4: 8. z = xy, x2 + y = 12:

z = (0; 0) = 0; наибольшее значение z(¡2; 4) = z(2; 4) = 32. 5.

zmin(4; 0) = 0, zmax(4=3; 8=3) = 256=27: 6. zmin(1=2; 7=2) = 29=4 7. zmin(3=2; 5=2) = 15=2 8. zmin(¡2; 8) = ¡16,

zmax(2; 8) = 16:

Это всегда можно сделать, т.к. равенства (10.4) приводят к линейной системе уравнений

à òàê êàê xk+1, ... , xm являются независимыми, то из (10.5)

Дополнив их уравнениями (10.4) получаем утверждение теоремы, т.е. m + k уравнений (10.1) для определения неизвестных

x1, ... , xm, ¸1, ... , ¸k.¤

Достаточные условия условного экстремума проверяются путем определения знака второго дифференциала d2L, íî ïðè ýòîì

следует учесть, что k дифференциалов dx1 ... dxk не являются независимыми, а определяются из системы уравнений (9.17).

Пример 10.1. Требуется определить экстремум функции u =

x + y + z = 4, x ¡ 2y ¡ z = 1.

L= x2 + y2 + z2 + ¸1(x + y + z ¡ 4) + ¸2(x ¡ 2y ¡ z ¡ 1)

èвычислим частные производные

1.@L@x = 2x + ¸1 + ¸2 = 0, 2.@L@y = 2x + ¸1 ¡ 2¸2 = 0,

3.@L@z = 2z + ¸1 ¡ ¸2 = 0, 4.@¸@L1 = x + y + z ¡ 4 = 0,

¡6¸2 + 2¸1 = 2. Решая эту систему уравнений, находим ¸1 = ¡