Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

122 Лекция 8. Производные высших порядков

Теперь при достаточно малых ½ величина 0(½2)

½2 есть бесконечно малая и поэтому знак ¢u будет определяться квадратной

формой	F = m	m	@2f(M0)	hihj:

			@xi@xj
	=1 j=1
	Xi	X

Если она положительно-определенная, то ¢u > 0, а значит в точке M0 минимум, а если F отрицательно-определенная, то ¢u < 0, а следовательно в точке M0 максимум. Доказаноа тео-

ðåìà.

Теорема 8.4. Если функция u = f(M), M(x1, ... , xm) 2 G ½

½ Rm дифференцируема в окрестности точки M0 и дважды

дифференцируема в самой точке M0 в которой выполнены необходимые условия экстремума т.е. df(M0) = 0. Тогда, если d2f(M0) > 0 то в точке M0 минимум, а если d2f(M0) < 0, òî

максимум.
По существу при проверке достаточных условий требуется
применить критерий Сильвестра к матрице								3
2		@x12		@x1@x2 ...		@x1@xm		3
6		@2f			@2f		@2f	7
6		.	...			...		7	:
6		@2f			@2f		@2f	7
6								7
6	@xm@x1 @xm@x2 ...					2		7
4								5
6						@xm		7

Очевидно, что если квадратная форма во втором дифференциале знакопеременна, то найдутся точки в окрестности точки M0, ãäå

f(M0) > f(M), à ãäå f(M0) < f(M), но это значит, что в точке M0 нет ни максимума, ни минимума.

Пример 8.5. Найти экстремумы функции u = x4 + y2 ¡ 2x2 ¡

¡4y.

Âсоответствии с необходимыми условиями экстремума

@u@x = 4x3 ¡ 4x = 0, @u@y = 2y ¡ 4 = 0:

Решая систему уравнений, находим три критические точки A1(¡ ¡1, 2), A2(0, 2), A3(1, 2). Вычислим второе производные

@2u	= 12x2 ¡ 4,	@2u	= 0	@2u	= 2:

@x2		@x@y		@y2

Матрица квадратичной формы во втором дифференциале имеет вид:

8.5. Методические указания по решению задач						123
В точках A1, A3		·	0	2	¸, диагональные миноры ¢1 = 8, ¢2 =
			8	0
= 16	= ·	0	2	¸	¢1 = 0, ¢2 = 0.
В точке A2	= ·	0	2	¸	¢1 = 0, ¢2 = 0.
		0	0
Следовательно, в точках A1 è A3 имеем минимум.
В точке A2	экстремума нет.

8.4.1. Контрольные вопросы. 1. Поясните смысл производной по направлению.

2. Дайте определение градиента функции.

3. Что показывает градиент функции?

4. Какая связь между градиентом функции и производной по направлению?

5. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных.

6. Какие необходимые условия экстремума у функции нескольких переменных?

7. Сформулируйте достаточные условия экстремума.

8. Сформулируйте критерий Сильвестра. Для чего он используется?

8.5.Методические указания по решению задач

1.Найти производную функции z = x3 ¡ 3x2y + 3xy2 + 1 в точке M(3; 1) в напрвлении к точке M1(6; 5)

Решение: Находим координаты вектора a = MM1, a = (3; 4). Определяем направляющие косинусы этого вектора по формулам:

cos® =

= 3

, cos¯ =

= 4

Вычисляем частные

32 + 42

jaj

производные и их значения в точке

@x@z = 3x2 ¡ 6xy + 3y2, @y@z = ¡3x2 + 6xy,

@x@z (M) = 27 ¡ 18 + 3 = 12, @y@z (M) = ¡27 + 18 = ¡9: Вычисляем производную по направлению вектора a по формуле

dz @z	@z	3		9		4		0

da = @xcos® +	@y cos¯ = 12 ¢		¡		¢		=		:
		5				5

2. Найти проекции градиента функции z = x2 ¡ 2xy + 3y ¡ 1 в точке (1; 2).

124	Лекция 8. Производные высших порядков

Решение: Определяем градиент функции по формуле

grad z =

i +

ãäå

являются проекциями вектора grad z на координат-

íûå îñè

= 2x ¡ 2y = 2 ¡ 4 = ¡2, ,

= ¡2x + 3 = ¡2 + 3 = 1:

@2z

3. z = x3 + xy2 ¡ 5xy3 + y5. Показать, что

@x@y

@y@x

Решение: В задаче требуется, чтобы на примере проверили

справедливость теоремы 8.1, а именно, что значения смешанных

производных не зависит от порядка дифференцирования.

= 3x2 + y2 ¡ 5y3,

= 2xy ¡ 15xy2 + 5y4,

@y@x = @y ³3x2 + y2 ¡ 5y3

´ = 2y ¡ 15y2,

@2z

@x@y =

@x ¡2xy ¡ 15xy2 + 5y4¢ = 2y ¡ 15y2:

@2z

4. u = xy3 + zx4 + yz5 + zxy. Требуется определить

@3u

@2u

@z3 , @x@y .

Решение: Вычисляем первые частные произврдные

= y3 + 4zx3 + zy,

= 3xy2 + z5 + zx,

= x4 + 5yz4 + xy:

Вычисляем

@2u

@x@y

³@y

= @x ³3xy2 + z5 + zx´ = 3y2 + z:

@x@y

= @x

@2u

Вычисляем

@2u

@z2

Вычисляем

@3u

@2u

@z2

x4 + 5yz4 + xy = 20yz3:

@z3

= @z µ

@z2

= @z ¡20yz3¢

= 60yz2:

@z3

@3u

@2u

8.5. Методические указания по решению задач

125

5. z = x2y3 + x4 + y5, d2z =?

Решение: Формула для вычисления второго дифференциала функции двух переменных имеет вид

d2z = @x@2z2 dx2 + @x@y@2z dydx + @y@x@2z dxdy + @y@2z2 dy2:

Вычисляем первые частные производные

@x@z = 2xy3 + 4x3, @y@z = 3x2y2 + 5y4:

Вычисляем вторые и смешанные частные производные, принимая

во внимание равенство

@2z

@x@y

@y@x,

@2z

2xy3 + 4x3 = 2y3 + 12x2,

@x2

¡3x2y2 + 5y4¢ = 6x2y + 20y3,

@x@y

@y2

= @y@x = @x

³ @y ´

= @x ¡3x2y2 + 5y4¢

= 6xy2:

@2z

Подставляем вычисленные производные в приведенную формулу для второго дифференциала

d2z = ¡2y3 + 12x2¢dx2 + ¡12xy2¢dxdy + ¡6x2y + 20y3¢dy2:

6. Разложить функцию z = x2y3 + x4 + y5 по степеням x ¡ 1, y ¡

¡ 1


Найти члены первого и второго порядка. Остаточный член
записать в форме Пиано.
Решение: Запишем формулы Тейлора в соответствии с тре-
бованиями задачи
f(x, y) = f(1, 1) +						df(1, 1)	+	d2f(1, 1)	+ o(½2),
f(x, y) = f(1, 1) +							+		+ o(½2),
q					1!		2!
q
ãäå ½ = (x ¡ 1)2 + (y ¡ 1)2 :
Второй дифференциал у нас получен в предыдущей задаче.
Запишем первый дифференциал
dz =	@z	dx +	@z	dy =	¡2xy3 + 4x3¢dx + ¡3x2y2 + 5y4¢dy:
dz =	@x	dx +	@y	dy =	¡2xy3 + 4x3¢dx + ¡3x2y2 + 5y4¢dy:

Вспоминаем, что мы условились под дифференциалом независимой переменной принимать его приращение.

126 Лекция 8. Производные высших порядков

Тогда для нашей задачи будем иметь

dz = ¡2xy3 + 4x3¢(x ¡ 1) + ¡3x2y2 + 5y4¢(y ¡ 1) , d2z = ¡2y3 + 12x2¢(x ¡ 1)2 + ¡12xy2¢(x ¡ 1) (y ¡ 1) + + ¡6x2y + 20y3¢(y ¡ 1)2 :

Вычисляем значение функции и частных производных в точке (1, 1)

f(1, 1) = 3, dz(1, 1) = 6 (x ¡ 1) + 8 (y ¡ 1) ,

d2z = 14 (x ¡ 1)2 + 12 (x ¡ 1) (x ¡ 1) + 26 (y ¡ 1)2 :

Подставляем полученные значения в пиведенную формулу, и получаем искомое разложение

f(x, y) = 3 + 6 (x ¡ 1) + 8 (y ¡ 1) + 7 (x ¡ 1)2 + 6 (x ¡ 1) (y ¡ 1) +

+13 (y ¡ 1)2 + o(½2):

7. Исследовать на экстремум функцию z = xpy ¡ x2 ¡ y + 6x +

+ 3. Если экстремум есть, то определить его тип.

Решение: Пользуемся необходимыми условиями экстремума

= 0,

= 0:

Находим частные производные

= p

2x + 6,

Решаем систему уравнений

1 = 0:

(

py¡

2x + 6 = 0,

x = 4, y = 4: Точка с этими координатами может быть точкой

экстремума. Для применения достаточного условия экстремума требуется вычислить вторые и смешанные производные

@2z

= ¡2,

@2z

= ¡

x @2z

@2z

= ¡

2p1

@x2

@y2

@x@y

@y@x

8.5. Методические указания по решению задач

127

В соответствии с достаточным условием необходимо составить

матрицу

@2z

= 2

H(x, y) =

@2z

¡2

2p1

@x2

@y@x

2p1

@x@y

@y2

Вычисляем значение этой матрицы в точке, которая претендует
на точку экстремума							1	3	:
H(		) =	2		1		1	3	:
				¡	2	¡	1
	4, 4		4	¡		¡	4	5		Пользуемся критерием Сильвестра
			4	¡4		¡	8	5

¢1 = ¡2 < 0, ¢2 = 1 ¡ 1 = 1 > 0:

4 8 8

Матрица H(4, 4) отрицательно-определенная. Следовательно, точка (4, 4) является точкой максимума, zmax(4, 4) = 15:

8.5.1. 8.6. Примеры для самостоятельного решения. 1.

Найти производную функции z = arctg (xy) в точке (1, 1) в

направлении биссектрисы первого координатного угла.

2. Найти производную функции z = x2y2 ¡ xy3 ¡ 3y ¡ 1 â

точке (2, 1) от этой точки к точке (0, 0).

3. Найти производную функции u = xy2 + z3 ¡ xyz в напрв-

лении, образующим с осями координат углы 60î, 45î, 60î.

4. Найти производную функции u = xyz в точке (5, 1, 2) от

этой точки к точке (9, 4, 14).

5. Найти производную функции u = x2y2z2 в точке (1, 1, 3)

от этой точки к точке (, 1, 1).

6. Найти направление наибольшего изменения функции u =

= xyz в точке (1, 1, 1).

Найти направление наибольшего изменения функции

u = arctg (xyz) в точке (1, 1, 1).

Найти

направление наибольшего изменения функции

в точке (1,

3 p3

)

u = tg (xyz)

Найти

@2z

@2z @2z

для следующих функций.

@x2 , @x@y , @y2

³x +

arctgzx + y3

= 1

2 + y2)3 .

10.

z =ln

2 + y2

. 11. z =

1 ¡ xy .

x ¡ y

z = ylnx.

12. z=sin2(ax+by). 13.

z=exe

:14. z=

:15.

x + y

26.

2y2.

128 Лекция 8. Производные высших порядков

Найти дифференциал второго порядка для следующих функ-
öèé.		xy2				. 18.		= xy. 19. u		=	xyz.
16. z
20.	=		¡ ¡x2y: 17. z=ln(x 2y)				2 z	e2
	Функцию f(x,y,z)			= x	+ y		+ z		+ 2xy yz 4x 3y
z+4 разложить по
формуле Тейлора в окрестности точки (1;1;1).
21.	Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию f(x,y) = exsiny.
22.	Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1)

до членов 2-го порядка включительно функцию f(x,y) = xy.

Исследовать на экстремум следующие функции:

23. z=(x 1)2+2y2. 24. z=(x 1)2 2y2. 25. z = x2+xy+y2 2x z = x3y2(6 x y); (x>0, y>0). 27. z = x4 + y4 2x2+4xy

28. z = (x2 + y2)e¡(x2+y2). 29. u = x2 + y2 + z2 xy+x 2z.

30. u = x + y2/(4x) + z2/y+2/z; (x>0, y>0, z>0).

8.5.2. Ответы .

2. ¡p5 3. 5.

5. -22. 6. (1, 1,

1).

4¼=3, 4p

=3, 4¼p

@2z

=3).

(1/2,

1/2,

1/2).

@x2

x2 + y2

@2z

x2 + 2y2

@2z

10.

@x@y

+ y

px +x

@2z

+x3 + (x2

y2)

xp2 + y2

@2z

= ¡

y´

= ¡

(x2 + y2)3=2

@y2

3=2

@x@y

+ y

x +

@2z

³@2z

@2z

¡(x2 + y2)3=2 :

(1 + x2)2 ,

@y2 = ¡(1 + y2)2 ,

@x@y =

11. @x2 = ¡

12.

@2z

= 2a2 cos 2(ax + by),

@2z

= 2b2

¢ cos 2(ax +

@x2

@y2

+ by),

@2z

= 2ab cos 2(ax + by):

13.

@2z

= exey+2y,

@2z

@x@y

@x2

@y2

@2z

= x (1 + xey) ¢ exe +y,

= (1 + xey) exe +y:

14.

@x@y

@x2

@2z

2(x ¡ y):

15.

¡(x + y)3 ,

@y2

¡(x + y)3 ,

@x@y

(x + y)3

@2z

ln y(ln y + 1)

yln x,

@2z

ln x(ln x ¡ 1)

yln x,

@2z

@x@y

ln x ln y + 1

yln x:

16.

¡2ydx2

+ 4(y

¡ x)dxdy

+ 2xdy2.

			8.5. Методические указания по решению задач			129
17.	¡		(dx ¡ dy)2	exy((ydx + xdy)2 + 2dxdy):		19.
			(x ¡ y)2 .
				18.
2(zdxdy + ydxdz + xdydz):
	20. f(x, y, z) = (x ¡ 1)2 + (y ¡ 1)2 + (z ¡ 1)2 + 2(x ¡ 1)(y ¡
¡ 1) ¡ (y ¡ 1)(z ¡ 1):
	21.	f(x, y) = y + xy + 3x2y ¡ y3 : 22. f(x, y) = 1 + (y			¡	1) +
+ (x ¡ 1)(y ¡ 1):				3!

	23. zmin =0 ïðè x =1, y =0. 24. экстремумов нет. 25. zmin =

1 ïðè x =1, y =0. 26. zmax =108 ïðè x =3, y =2. 27. zmin = 8

x =

y = = ¡

p2 è ïðè

x = ¡

. 28.

zmin =

ïðè

y =

ïðè x = y =0; нестрогий максимум z =1/e в точках окружности x2 + y2 =1. 29. umin = 4/3 ïðè x = 2/3, y = 1/3, z =1. 30. umin =4 ïðè x =1/2, y =1, z =1.

5 Цыкунов А. М.

Ë å ê ö è ÿ 9

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

9.1. Наибольшие и наименьшие значения функции

Пусть функция u = f(M), M(x1, ... , xm) 2 G ½ Em опреде- лена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Q ½ G

и имеет в этой области конечные частные производные, за исключением может быть отдельных точек. Тогда по теореме Вейерштрасса она имеет sup f(M) è inf f(M). Ïðè ýòîì íàè-

M2Q M½Q

большее и наименьшее значения функция имеет либо в точках экстремума, либо на границе области Q.

Следовательно, для определения этих значений надо определить критические точки во внутренней части области Q, которые

претендуют быть точками экстремума и вычислить в этих точках значение функции. Затем исследовать функцию на границе области Q и определить на ней наибольшее и наименьшее значение.

Сравнив их с ранее вычисленными значениями функции в точках
возможного экстремума, выбираем искомые величины.
Пример 9.1. Требуется найти наибольшее и наименьшее
значение функции u = x3 ¡ 3x + y2 ¡ 2y в области Q, которая
является треугольником, ограниченным прямыми,
M1 (1, 1) xè M2	y = 0, x = 0, x + y = 4:
	¡(¡1,¡1)¢	являются точками¡	возможного экстре-
Имеем u0 = 3	x2 1	= 0, u0 = 2 (u	1) = 0. Две точки
		y

мума, но точка M2 2= Q. Вычисляем значение функции в точке M1, u(M1) = ¡3. Исследуем функцию на границе области Q.

1) x = 0, y 2 [0, 4]. В этом случае u = y2 ¡ 2y. Ищем наиболь-

øåå0 значение, как это делалось для функции одной переменной. uy = 2 (y ¡ 1) = 0. На этом участке точка M3 (0, 1) является точ- кой возможного экстремума и две точки: M4 (0, 0) è M5 (0, 4)

являются краевыми: u (M3) = ¡1, u (M4) = 0, u (M5) = 8.

2) На прямой y = 0, x 2 [0, 4] точка с координатами M4 (0, 0) уже исследована, поэтому ее исключаем. В этом случае u = x3 ¡

		9.2. Неявные функции	131
точки¡	M6 (1,	¡0) è¡M¢7 (4, 0)§, u (M6) = ¡¡2, u (M27) = 52.
3x, u0 = 3		x2 1 , x = 1 точка ( 1, 0) = Q, получаем две
	x
На участке прямой x + y = 4 от точки M5			äî M7, y = 4 ¡

¡ x, u = x3 ¡ 3x + (4 ¡ x)2 ¡ 2 (4 ¡ x) = x3 ¡ x2 ¡ 9x + 8, x 2

2 [1, 4], u0x = 3x2 ¡ 2x ¡ 9 = 0, x1 ¼ 2, 1, x2 ¼ ¡1, 43, x2 2= [1, 4]. Точка M8 (2, 1; 1, 9) может быть точкой экстремум u (M8) ¼ ¡6.

В данном случае краевые точки M5 è M7 не исследуем, т.к.

значения функции в них уже вычислены. Анализируя значение функции в точках M1, M3,...,M8 имеем sup u (M) = u (M7) =

M2Q

= 52, inf u (M) = u (M8) ¼ ¡6.

M2Q

9.2. Неявные функции

Переменная u, которая является функцией аргументов

x1, :::, xm может задаваться в неявном виде с помощью
функционального уравнения
							F (u1, x1, :::, xm) = 0		(9.1)
	Например,						функция
â	p	x	+ y		6		рассматриваемая
u =		1 ¡ x2 ¡ y2 ,					рассматриваемая
	круге 2			2			1 может	áûòü
задана		посредством					функционального
уравнения
	F (u, x, y) = u2 + x2 + y2 ¡ 1 = 0							(9.2)
Возникает вопрос, при каких условиях
функциональное уравнение (9.1) раз-
решимо относительно u â âèäå îäíî-
значной		функции			u = f (x1, :::xm), è				Ðèñ. 9.1.
какими свойствами она обладает, когда она является непрерыв-
ной и дифференцируемой. Так, функция (9.2) разрешима отно										-
u = ¡		1 ¡ x2 ¡ y2				тоже является решением			p

сительно u, но кроме приведенной функции u = 1 ¡ x2 ¡ y2 ,

функционального

уравнения (9.2).

Уравнение (9.2) определяет в R3 сферу. Если взять точку M0 (u1, x1, y1), лежащую на сфере, координаты которой удовлетворяют условию x12 + y12 6 1, то часть сферы, лежащая в достаточно малой окрестности точки M1 однозначно проектируется

на плоскость	xoy и частная производится	@F	= 2u1 6= 0. Ýòî
		@u
означает, что	в окрестности этой точки уравнение (9.2) раз-
5*

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб25L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб53makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб21Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб9marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб15Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб25matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб46matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб20meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб20mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб101MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб10MetodDB.pdf