Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

162		Лекция 11. Неопределенный интеграл
Решение.		Åñëè sin x = t, òî d t = cos x d x.
Z	cos x	d t	= Z t¡5d t = ¡4 t4 + C = ¡	(sin x)4 + C:
	sin5 x d x = Z t5
			1	1

Rex

Пример 11.23. Вычислить

d x.

Решение. Если 7 ¡ e

= t,

¡ d t = ¡e

d x e d x = ¡d t

d x = Z

d t

= ¡ ln j t j + C = ¡ ln j 7 ¡ exj + C:

7 ¡ ex

Пример 11.24. Вычислить

d x.

1 + x

Решение. Введем новуюR

переменную t = p

, x = t2, d x =

= 2 t d t.

d x = Z

¢ 2 t d t = 2 Z

d t = 2 Z

(t2 + 1)

d t =

1 + x

1 + t2

t2 + 1

= 2 Z d t ¡ 2 Z

d t

= 2 t ¡ 2 arctg t + C = 2 p

¡ 2 arctg p

+ C:

t2 +

Интегрирование по частям.

Вычислить

(x + 3)

e6 xd x.

Пример 11.25.

) ¢ e

6 x

x +¢

3 = u,

d u = d x,

# =

Решение.

(x +

d x = "

e6 x = d º,

º = 1e6 x

Z e

6 x

6(x +

) e

¡ 6

d x =

6(x +

) e

+ C :

Пример 11.26. Вычислить

2) ln (x

4) d x.

Решение.

(x ¡ 2) ¢ ln (xR¡ 4¡) d x ¢=

= 2

ln (x R

4) = u,

d u =

d x

3 =

x ¡x (x

4 (x ¡ 2) d x = d º, º =

¡ 2 x =

x (x

¢ ln (x ¡ 4) ¡ Z

x (x

d x

x (x

ln (x

x ¡ 4

Z x d x =

x (x 4) ln (x 4)

+ C:

Пример 11.27.

Вычислить R

x2 cos 2 x d x.

Решение.

11.4. Методические указания по решению задач.

163

x2 cos 2 x d x =

" cos 2x d x = d º,

º = 1 sin 2 x

x2 = u,

d u = 2x d x

x ¡ Z x sin

¢ sin

x d x =

" sin 2x d x = d º,

º = 2x

º =

x = u,

d u = d x

2 cos

= 2x

2x cos

Z cos

sin

x +

x ¡

x d x =

x ¡

= 2x sin

x +

2x cos

4 sin

x + C:

Пример 11.28 Вычислить

d x.

Решение.

x d x

" p4 ¡ x2 =,u, d u =

# =

d x =

4 ¡ x2

d x = d º

º p

¢ p

= x

4 ¡ x2

¡ Z ¡4 ¡ x2

¡ Z

= x

x2d x

= x 4

4 ¡ x2 ¡ 4

d x =

x ¢ 4 ¡ x2 ¡ Z

4 ¡ x2 d x + 4 Z

¡ x

= x ¢

¡ Z

+ 4 arcsin

4 ¡ x2

Таким образом, получим уравнения относительно исходного ин-

теграла

4 ¡ x2

d x = x ¢

4 ¡ x2 ¡ Z

4 ¡ x2 d x + 4 arcsin xa ,

2 Z p

d x = x¢p

+ 4 arcsin

4 ¡ x2

Z p

¡ x

d x =

³x ¢ p

¡ x

arcsin a ´ + C:

Решение.

1 + cos x.

Пример 11.29. Вычислить

x d x

d v =

d x

v =

d x

= tg

1 + cos x

cos

2 cos2

u = x

, d u = d x

x d x

164

= x tg 2 ¡

Лекция 11. Неопределенный интеграл

¡ Z

sin

tg 2 d x = x

d x = x

cos

= x tg

+ 2 ln

¯cos

+ C:

Z	d	³cos			´	=
	d	³cos		2	´
			x
		cos 2
			x

11.5. Примеры для самостоятельного решения

3. R

¡8 px 6 x5 d¢x.

4. R

px .

3 x2 ¡ 4 x3 + 5 d x.

2. (3 p

+ 2 x) d x.

¡3 d x

d x

6 d x

7. R

(3 x ¡ px )2 d x.

8. R

5 x2 x2 ¡ 3 d x:

x4 .

x p

d x.

10.R

x2¡

d x. ¢

7 x3 ¡ 4x + 3

9. R

x3px

14.

R x + 2

11.

R x4¡ 2

3 5

d x

d x.

12.

(x + 8)7 d x.

13.

( x

) d x

R (1 ¡d xx)

2 .

15.

d x.

16.

x ¡ 3

2 x + 3

17.

R x p

d x.

18.

x d x .

x2 + 1

19.

d x

d x¡

5 x + 1

20.

8 x.

R d (sin x)

3x¡

23.

24.

R e3 x d x.

3xsin5x d x.

21.

x .

22.

d x

25.

R e¡ x¢

d x

26.

R ecos x sin x d x.

27.

R sin 5 x d x.

28.

R cos

d x.

29.

R tg 4 x d x.

30.

R ctg

d x.

						11.5. Примеры для самостоятельного решения																								165

31.				d x					:							32.					d x
31.			cos2 2 x						:							32.			sin2 6 x.
33.	R ctg2 x d x:															34.	R				d x
33.	R ctg2 x d x:															34.	R		4 + x2 .
	R																R		4 + x2 .
	R				d x												R					d x
35.	R																R											.
			16 + 9 x2 .													36.
			16 + 9 x2 .													36.						4			2
							d x													d x¡ x
																			p
37.														.		38.
																				2			1.
					25				16				2							2			1.
	R pd x¡												x				R x					¡d x
39.	R																R											.
			4 x2					9.								40.
			4 x2					9.								40.			p			2	+		3
					d¡x																	x	+
					d¡x																	d x
41.											.					42.
																		25					x2 .
					2				4									25					x2 .
	R				x												R x2					¡
	R			d x ¡																			3
				d x ¡																			3
43.	R		p														R					¡		d x:
							x2 .												x2 + 1					d x:
		3		¡			x2 .									44.			x2 + 1
				¡			d x
45.	R
45.			sin2 x						cos2 x.
46.		(x + 1¢) exd x.														47.		arcsin x d x.
48.	R arctg x d x.															49.	R x sin x d x.
50.	R x3 ln x d x.															51.	R x2exd x.
52.	R ex sin x d x.															53.	R		x d x
52.	R ex sin x d x.															53.	R		cos2 x.
54.	R x arcsin x d x														.	55.	R ln x								.
																							d x
																			x2
						1						2							x2
	R									x							R (x2 + 2x + 1) sin 3x d x.
56.	R		2 arcsin¡										x d x			57.
			2 arcsin¡										x d x			57.
		x p
58.	R x2 ln x d x.															59.	R arctg p									x			d x.
60.	R x cos 3 x d x.															61.	R x arctg x d x.
62.	R ln2 x d x:															63.	R	(arcsin x)2d x.
64.	R			x													R p										d x.
				x				d x.								65.					5 + x2
				2				d x.								65.					5 + x2
	R sin					x											R

Ответы

166	Лекция 11. Неопределенный интеграл

1.			3								4	+					5		x +						Ñ.								2. 2 p																	2				+			Ñ.
1.			3		¡ x						4						5								Ñ.								2. 2 p							3										2							Ñ.
		x			¡ x																																	x					+ x
				3

																																	4. 12 px + Ñ.
3. 6 px4 ¡ x6 + C.																																	4. 12 px + Ñ.
3. 6 px4 ¡ x6 + C.
5.				x¡3 + C.																													6.				2					+ C.

		¡																																¡px
		¡																																¡px
7.			3						12						5		+				2		x + C					.					8. 5							5						3				+				Ñ.
7.		x	3		¡				12						2						2							.					8. 5							5			x			3								Ñ.
		x			¡					5 x																								x ¡									x
9. 2			p												8p												p									x2
			p				7								8p						3					6						Ñ.	10.			x2									2												4				2
							x ¡								3					x +										x	+									¡									x +										ln jx +			j +
							x ¡								3					x +										x	+		+ C.				2			¡									x +										ln jx +			j +
																																	+ C.
11.																																	12.		1(x + 8)8 + C.
x3		+ x2 + 4x + 8 ln jx ¡ 2j + C.																																	8
	3	+ x2 + 4x + 8 ln jx ¡ 2j + C.
13.				1				(4x ¡ 3)6 + C.																									14.								1												+ C.
13.			24					(4x ¡ 3)6 + C.																									14.			3 (1				¡					3x)								+ C.

15.				2 q(x ¡ 3)3																		+ C.											16.		p																+ Ñ.

																																						2x + 3
17.			1								3																								p
											2			+				1 3					+			Ñ.							18.							2			¡				5					+				Ñ.
			2								2							1 3								Ñ.							18.							2							5									Ñ.
			2						(x										)																				x
19.				1p								5		x +							1		j + C				.						20.					1			ln j								1			¡					8		x j + C		.
			5					ln j						x +									j + C												¡8						ln j											¡							x j + C
																																			x
21.			ln j sin x j + C																					.									22.			3				+ C										.
21.																								.									22.		ln 3															.
																																			ln 3
23.				15x							+ C.																						24.		1e3 x + C.

				ln 15
				ln 15																															3
25.			¡e¡x + C.																														26.		¡ecos x + C.
27.						1							5												.								28.		2								x												.
			¡			5 cos											x + C																				sin						2				+ C
29.			¡			1			ln j sin												4	x j + C							.				30.		3				ln ¯sin													x				¯	+ C			.
29.			¡			4			ln j sin													x j + C																	ln ¯sin													3				¯	+ C
31.				1tg 2 x + C.																													32.		¡			1ctg¯									6 x +¯										C.
			2																																¡			6				¯														¯
33.						ctg																													1arctgx																							.
			¡ x ¡ x + C																														34.		2																+ C
			¡ x ¡ x + C																														34.		2												2				+ C
35.				1				arctg								3 x					+ C.												36.		arcsin									x				.
35.			12					arctg									4				+ C.												36.		arcsin													.
			12														4																												2

11.5. Примеры для самостоятельного решения

167

4 x

38.

x ¡ 1

+ C.

37.

4arsin

x + 1

39.

40.

+ C

ln x + x +

+ C

x + 3

+ x

41.

x +¯

px2

+ C

42.

+ C.

¡¯

+ x

43.

44.

4 arctg¯

ln¯

+¯C

x + C

x ¯

45.

tg x

¯ ctg x¡+ C¯ .

¡¯

46.

47.

x arcsin x +

¡ x

x e

+ C

48.

arctg

x ¡

49.

2 ln (

+ x ) +

x cos x + sin x + C

+ C.

50.

x4 ln x

+ C.

51.

(x2 ¡ 2x + 2) ex + C.

52.

(sin x ¡ cos x) ¢

+ C.

53.

x tg x + ln j cos x j + C.

ln x

54.

arcsin x + x +

55.

¡ x

¡ x + C

+ C.

56.

57.

3x arcsin x +

¡ x ¡

cos

x +

(x +

1 2

x2)3

+ C:

3(x +

)

¡ 9p

+ 1) sin 3x +

cos 3x + C.

58.

ln x ¡

+ C.

59.

x arctg p

¡ p

+ arctg px + C:

60.

61.

x2 + 1 arctg

(

x sin

x + cos

x) + C

x ¡

+ C

62. x ln2 x ¡ 2 x (ln x ¡ 1) + C.

63.

(arcsin x)2

arcsin x ¡

x +

¡ x

+ C.

64.

ctg

65.

¡x

x + ln j sin x j + C

+ x

x +

5 + x2¯

+ C.

Теорема 12.1.

ся на двучлен (z

является корнем

Д о к а з а т е будет иметь вид

Ë å ê ö è ÿ 12

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

12.1. Алгебраические многочлены

Определение 12.1. Алгебраическим многочленом (полиномом) n-й степени называется выражение вида

An(z) = a0zn + a1zn¡1 + ¢¢¢ + an

ãäå z = x + iy комплексное число, ai, i = 0, n - действительные или комплексные числа, n - порядок многочлена.

Если имеется два полинома An(z), Bm(z), m < n, то много-

÷ëåí An(z) можно поделить столбиком на многочлен Bm(z). В этом случае справедливо равенство

An(z) = Bm(z)Cn¡m(z) + Mk(z):

(12.1)

В (12.1) индексы обозначают порядки полиномов, k < m, An(z) -

делимое, Bm(z) - делитель, Cn¡m(z) - частное, Mk(z) - остаток.

Определение 12.2. Комплексное или действительное число ® называется корнем многочлена An(z), åñëè An(®) = 0

Многочлен не нулевой степени An(z) делит- ¡ ®) тогда и только тогда, когда число ®

многочлена An(z)

л ь с т в о. Формула (12.1) для данного случая

An(z) = Cn¡1(z)(z ¡ ®) + M0(z):

M0(z) = M0 = const Åñëè z = ®, òî An(®) = M0. Но число ® является корнем уравнения. Следовательно, An(®) = 0 =) M0 = = 0, ò. å.

An(z) = Cn¡1(z)(z ¡ ®):¤

(12.2)

Теорема 12.2. Многочлен An(z) n-й степени имеет ровно n корней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно основной теоремы алгебры, многочлен An(z) имеет хотя бы один корень ®1. Тогда

из (12.2) следует An(z) = Cn¡1(z)(z ¡ ®1): Многочлен Cn¡1(z)

12.2. Многочлены с действительными коэффициентами.

169

степени n ¡ 1 тоже должен иметь хотя бы один корень ®2. Тогда

будет справедливо равенство
Cn¡1(z) = Cn¡2(z ¡ ®2): Продолжая подобные рассуждения,
получим	n
An(z) = b			(z ¡ ®i), ãäå b = const Принимая во внимание,
	=	1
что многочленiQAn(z) имеет коэффициент при сòàðшей степени

a0, а деление многочленов An(z), Cn¡i(z) , i = 0, n производи-
лось на двучлены (z ¡ ®i), получаем, что b = a0. ¤
Таким образом получили формулу разложения многочлена на
множители	n
An(z) = a0	Y(z ¡ ®i):	(12.3)
	i=1

Из этой теоремы следует следствие. Если число ® является корнем кратности r, то справедлива формула

An(z) = (z ¡ ®)r Dn¡r(z):

(12.4)

Формула (12.4) примет вид

An(z) = a0 (z ¡ ®)r nY¡r (z ¡ ®i):

i=1

12.2. Многочлены с действительными коэффициентами.

Многочлены с действительными коэффициентами обладают рядом свойств, которые понадобятся при вычислении интегралов.

Теорема 12.3. Если в многочлене с действительными коэффициентами

An(z) = a0zn + a1zn¡1 + ¢¢¢ + an

комплексное число z заменить на сопряженное число z, òî

значение многочлена тоже замениться на сопряженное.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвîльное слагаемое многочлена amzn¡m. Заменим в нем z íà z amzn¡m Воспользу- емся следующими свойсòвами сопряженíûõ êîмплексных чисел

1: zr = zr, 2:z1 § z2 = z1 § z2

Из первого свойства следует amzn¡m = amzn¡m. Применив эту процедуру к каждому слагаемому полинома An(z) из второго

условия получим An(z) = An(z). ¤

правильная дробно-рациональная

Bm(x)

170 Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций

Теорема 12.4. Если многочлен с действительными коэффициентами

An(z) = a0zn + a1zn¡1 + ¢¢¢ + an

имеет комплексный корень z0, то комплексно сопряженное

число z0 также будет корнем этого многочлена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой 12.3 имеем An(z0) = An(z0). По условию теоремы An(z0) = 0, тогда

An(z0) = 0 è An(z0) = 0. Следовательно, z0 является корнем многочлена. ¤

Условия тождественности двух многочленов. Два много- члена An(z) è Bn(z) тождественно равны An(z) = Bn(z) , если у них коэффициенты при одинаковых степенях одинаковые.

Пример 12.1. При каких значениях A, B, C справедливо равенство

Az(z ¡ 1) + Bz(z ¡ 2) + C(z ¡ 1)(z ¡ 2) = z2 + 2?

Преобразуем многочлен слева

(A + B + C)z2 + (¡A ¡ 2B ¡ 3C)z + 2C = z2 + 2:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим
систему уравнений для определения искомых коэффициентов
A, B, C	( ¡A ¡2C =¡	2

	A + B + C = 1
	2B	3C = 0

Решив эту систему уравнений, получаем : A = 3, B = ¡3, C = 1

12.3. Разложение рациональных дробей

Определение 12.3. Функция называется рациональной, если любое ее значение можно получить, выполняя конечное число арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление).

Многочлены являются рациональными функциями.

Определение 12.4. Дробно рациональная функция An(x) называется правильной, если m < n,т. е. порядок многочлена

An(x) больше порядка полинома Bm(x)

Лемма 12.1. (о разложении правильной дробно рациональной функции) ПустьBm(x)

An(x)

12.3. Разложение рациональных дробей

171

функция и действительное число ® является корнем уравнения An(x) = 0 кратности r:

An(x) = (x ¡ ®)r Dn¡r(x):

(12.5)

Тогда существует число A и многочлен ¯(x) с вещественными коэффициентами такие, что

Bm(x)

¯(x)

An(x)

®)r

r¡1

Dn¡r(x)

(12.6)

¯(x)

(x ¡ ®)

где дробь

(x ¡ ®)r¡1

Dn¡r(x)

является правильной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Принимая во внимание (12.5),

можно записать

Bm(x)

An(x)

(x ¡ ®)r Dn¡r(x)

Прибавим и вычтем выражение

в правой части данного

(x ¡ ®)

равенства

Bm(x)

+ µ

¶ =

An(x)

(x ¡ ®)r

(x ¡ ®)r Dn¡r(x)

(x ¡ ®)r

Bm(x) ¡rADn¡r(x)

(x ¡ ®)

(x ¡ ®) Dn¡r(x)

Учитывая то, что индексы соответствуют порядкам многочленов, делаем вывод о том, что дробь

Bm(x) ¡ ADn¡r(x) (x ¡ ®)r Dn¡r(x)

является правильной.

Выберем A так, чтобы число ® было корнем уравнения

Bm(x) ¡ ADn¡r(x) = 0: Тогда из равенства Bm(®) ¡ ADn¡r(®) =

= 0 получаем A = Bm(®)=Dn¡r(®). Так как число ® является корнем, то можно записать

Bm(x) ¡ ADn¡r(x) =

(x ¡ ®) ¯(x)

¯(x)

(x ¡ ®)r Dn¡r(x)

(x ¡ ®)r¡1 Dn¡r(x)

Лемма

12.2. Пусть

Bm(x)

An(x)

правильная дробно

рацио-

нальная

функция

комплексное число

z = ® + i¯

ÿâ-

ляется

корнем

уравнения

An(x) = 0

кратности r, ò:å:

+ q = (x¡¡ z)(x ¡ z)¢

Тогда

существуют

числа6 N

è M è

An(x) =

x2 + px + q

(x), ãäå

(z) = 0, x2 + px +

n¡

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf