matanaliz

142 Лекция 10. Приложение дифференциального исчисления

лим дифференциал второго порядка d2L = 2(d2x + d2y + d2z).

Легко видеть, что d2L > 0. Следовательно, в точке M0(37; 2; 15) 14 7 14 имеем условный минимум. Очевидно, что при отсутствии огра-

ничений функция u имеет минимум в точке (0; 0; 0).

10.2. Приложение дифференциального исчисления в геометрии

Поверхности и кривые в пространстве. Будем считать, что все рассматриваемые функции непрерывны и дифференцируемы по своим аргументам. Поверхность в пространстве R3 может

быть задана одним из уравнений z = f(x, y) èëè F (x, y, z) = 0.

Простейшим способом задания кривой в пространстве состоит в том, что две любые текущие координаты задаются в виде функций от третьей

y = '1(x), z = '2(x)

Более общий способ задания пространственной кривой состоит в том, чтобы ее рассматривать как пересечение двух поверхностей

рывными вместе со своими производными.

Одним из самых распространенных способов задания поверхностей и кривых в пространстве является параметрический способ. Аналогично тому, как это делалось на плоскости, координаты переменной точки пространственной кривой можно задать в виде функций от некоторой вспомогательной переменной

x = f(t), y = '(t), z = Ã(t):

Если хотя бы одна из производных x0, y0, z0, в этом случае от-

лична от нуля в выбранной точке, то легко можно перейти к другой форме задания кривой, как это делалось на плоскости. Исключение составляют особые точки, где все производные рав-

144 Лекция 10. Приложение дифференциального исчисления

предельное положение прямой, соединяющей точки M è M1, которая и будет касательной, а уравнения примут вид

Рассмотрим теперь поверхность, заданную уравнениями (10.6), которые можно привести к виду (10.7).

Определение 10.1. Поверхность, проходящая через точку M0 поверхности (10.7) называется касательной плоскостью

в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку M0 и любую точку M1 поверхности

(10.7) стремится к нулю, когда точка M1 стремится к точке

M0:

Существование касательной плоскости к поверхности (10.7) следует из дифференцируемости функции Ô(x, y) в точке

M0(x0, y0, z0). Действительно, если эта функция дифференцируема, то приращение

ãäå A, B, ¡1 координаты вектора нормали n. Принимая во внимание, что уравнение прямой, соединяющей точки M0 è M

когда секущая становится касательной, угол между ней и векто- ром нормали равен 2 , а т.к. точки M0 è M произвольные, то этот факт справедлив для любой секущей, а значит в соответствии с определением уравнение (10.10) есть уравнение касательной плоскости. Из условия (10.9) имеем A = @x@z , B = @y@z , ò.å. óðàâ-

нение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид

Воспользуемся формулой (10.12). В данном случае F (x, y, z) =

Окончательно получаем уравнение касательной плоскости в точ- ке M0(x0, y0, z0)

x0x + y0y + z0z = 1: a2 b2 c2

2. Составить уравнение касательной к кривой

x2 + y2 + z2 = R,2 x2 + y2 = Rx в точке M0(x0, y0, z0).

По аналогии с предыдущим примером составим уравнения касательных плоскостей в точке M0, пересечение которых и даст

касательную

x0x + y0y + z0z = R2, (2x0 ¡ r)x + 2y0y = Rx0

Эти уравнения не являются прямой в особой точке (R; 0; 0). Â

этой точке оба уравнения описывают одну и ту же плоскость

x = R.

10.2.1. Контрольные вопросы. 1. Сформулируйте правило множителей Лагранжа.

2. В чем отличие в достаточных условиях условного экстремума от безусловного?

3. Как задаются уравнения поверхностей и кривых в пространстве?

4. Как получит уравнения касательной плоскости и нормальной плоскости к пространственной кривой?

5. Как получит уравнения касательной плоскости и нормальной плоскости к поверхности?

10.3. Методические указания по решению задач

1. Найти условный экстремум функции z = xy, при наличии ограниченийx2 + y2 = 8, используя правило множителей Лагран-

æà.Решение: Составляем лагранжиан

L = xy + ¸ ¡x2 + y2 ¡ 8 ¢:

Воспользуемся теоремой 10.1, которая дает необходимые условия условного экстремума

L0x = y + 2¸x = 0, L0y = x + 2¸y = 0, x2 + y2 ¡ 8 = 0:

Определим y из первого уравнения y = ¡2¸x и подставим это значение во второе уравнение x ¡1 ¡ 4¸2¢ = 0, откуда имеем x =

= 0 èëè ¸ = §1. Решение x = 0 не подходит ,так как в это случае y = 0, а точка2(0; 0) не удовлетворяет заданным ограничениям.

Требыется определить знак ыражения, которое стоит в квадратных скобках в точках, претендующих на экстремум.

Возьмем ¸ = 1, и точки M1(2; ¡2), M2(¡2; 2). В этих точках 2

d2L = 6. Следовательно в этих точках минимум. Возьмем ¸ =

= ¡1, и точки M3(2; 2), M4(¡2; ¡2). В этих точках имеем 2

d2L = ¡6. Следовательно, в этих точках максимум. В результате имеем zmin = z(M1) = z(M2) = ¡4,

zmax = z(M3) = z(M4) = 4:

2. Составить уранения касательной и нормальной плоскости для данной линии x2 + y + z = 2, x2 + y2 = 5 в точке M(1; -2; 3).

Решение: Уранение пространственной кривой задано уранениями двух поверхностей в виде (10.13). F (x, y, z) = x2 + y +

+ z ¡ 2,

K(x, y, z) = x2 + y2 ¡ 5: Касательной к пространственной

кривой в данной точке является линия пересечения косательных плоскостей в указанной точке. Уравнения поверхностей заданы в неявном виде. Поэтому уранеия касательных плоскостей берем в виде

Fx0 = 2x, Fy0 = 1, Fz0 = 1, Kx0 = 2x, Ky0 = 2y, Kz0 = 0, Fx0 (M) = 2,

Kx0 (M) = 2, Ky0 (M) = ¡4:

Это уравнение касательной, которая задана пересечением двух плоскостей. Перейдем к канонической форме записи. Веторы n 1(2; 1 1),

Раскрыв скобки, получим

2x + y ¡ 5z + 15 = 0:

3. Составить уравнение касательной полоскости к поверхности z = 2x2 + 3y2 в точке M(1; ¡1; 5) и уравнение нормали.

Решение: Уранение поверхности задано в явном виде. Поэтому пользуемся уравнением

z ¡ z0 = fx0 (M)(x ¡ x0) + fy0 (M)(y ¡ y0):

Вычисляем частные производные в точке M и подстовляем их в

Раскрыв скобки, получим уранение касательной плоскости 4x ¡ 6y ¡ z ¡ 5 = 0:

Вектор нормали (4; -6 -1) касательной плоскости является направляющим вектором для нормали. Тогда получим уравнение нормали в точке M

x ¡ 1 = y + 1 = z ¡ 5:

4 ¡6 ¡1