matanaliz

Инвариантность формы первого дифференциала. Покажем, что приведенная формула является справедливой и для сложной функции.

y = f(Ã(t)), ãäå x = Ã(t). В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции имеем y0 = f0(x)Ã0(t) Запишем

эту формулу в другом виде dydt = f0(x)dxdt . Умножив это равенство íà dt, получим

dy = f0(x)dx Таким образом, независимо от того какой яв-

ляется функция сложной или простой, дифференциал ее равен произведению производной на дифференциал аргумента. Другими словами форма дифференциала не зависит от того, каким является аргумент зависимой или независимой переменной.

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть задана функция y = f(x), x 2 (a; b), которая имеет дифференцируемую производную y0 = f0(x) в точке

Если производная f0(x) является дифференцируемой функцией, то можно вычислить ее производную ¡y0¢0 = ¡f0(x)¢0. Ýòà ïðî- изводная является второй производной для функции y = f(x),

которая имеет следующие обозначения: y00, yÄ, d2y

dx2 . Если вторая

производная является дифференцируемой функцией, то можно вычислить производнуюµ ¶ этой функции, которая будет третьей производной y000 d3y , для исходной функции y = f(x) Ïî-

dx3

56 Лекция 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

вторяя эти процедуры, при условии, что полученные производные являются дифференцируемыми функциями, можно получить производные любого порядка. Условно будем пользоваться следующими обозначениями для производной n-ого порядка y(n) èëè

dny dxn :

Определение 3.4. Дифференциал от дифференциала

d (dy) = d (df(x)) функции y = f(x) называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y

Найдем формулу для вычисления дифференциала второго прядка ³ ´ ³ ´

d2y = d f0(x)dx = d f0(x) dx + f0(x)d (dx) =

Принимая во внимание то, что x является независимой переменной, получаем равенство d (dx) = 0. В результате имеем

³ ´

d2y = d f0(x) dx = f00(x)dx2=

Аналогичным образом получается формула для дифференциала n-ого порядка

Следует отметить, что дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности. Иными словами, если переменная x не является независимой, то формула для вычисления

принимает другой вид.

Для дифференциала второго порядка имеем

d2y = f00(x)dx2 + f0(x)d2x:

3.4. Производные функций, заданных в параметрической форме

Пусть функция y îò x задана в параметрической форме

y = Ã(t), x = '(t), t 2 [t0; T ]: Предположим, что эти функции дифференцируемы в точке t 2 [t0; T ], '0(t) 6= 0, функция '(t)

в окрестности точки t имеет обратную функцию t = ©(x): Òðå-

буется найти формулу для вычисления производной dxdy . Будем рассматривать функцию

y = Ã(t) как сложную функцию y = Ã(©(x)). Используя

Будем считать,0 что в параметрической форме задана функция dy = Ãt0 = Â(t), x = '(t) : Тогда, пользуясь полученной фор-

dx 't

мулой для первой производной, получим формулу для вычисления второй производной

d2y = Â0t = dx t : dx2 '0t '0t

Аналогичным образом получаем формулу для вычисления производной любого порядка, предполагая, что они существуют и выполнены предположения, сделанные вначале

µdn¡1y ¶0

3.4.1. Контрольные вопросы. 1. Сформулируйте определение производной и поясните ее геометрический и физический смысл.