matanaliz
.pdf72 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции
Тогда, приравняв в формуле (4.5) n = 2m, получим
|
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
1 x2m¡1 |
2 |
|
|
||||||||||||
sin x = x ¡ |
|
+ |
|
|
¡ ¢¢¢ + (¡1)m¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o(x m): |
|||||||||
3! |
5! |
(2m |
¡ |
1)! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
â) f(x) = cos x, f(n)(x) = cos (x + n |
), f(0) = 0, f(2m)(0) = |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
= (¡12) |
m , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
)(0) = 0: Если в формуле (4.5) взять n = 2m |
|
1, òî |
||||||||||||||||||||
f( m¡ |
¡ |
||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos x = 1 |
|
x2 |
+ |
x4 |
|
+ ( 1)m |
x2m |
|
+ o(x2m¡1): |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¡ 2! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4! ¡ ¢¢¢ |
¡ |
(2m)! |
|
|
|
|
|
4.3. Исследование графика функции на наличие
экстремумов
Пусть задана функция y = f(x). Требуется исследовать ее на
наличие экстремумов, и если они есть, то определить их тип. Точки возможного0 экстремума определяются путем решения
уравнения f (x) = 0, так как это уравнение является необходи-
мым условием существования экстремумов у дифференцируемой функции (теорема4.2). Эти точки будем называть стационарными точками.
Для определения типа экстремума необходимо иметь достаточные условия наличия экстремумов.
Теорема 4.8. (первое достаточное условие экстремума)
Пусть точка x = ® является точкой возможного экстремума функции f(x)(x = ® является решением уравнения f0(x) = 0). Тогда, если в окрестности этой точки слева f0(x) > 0, à
справа f0(x) < 0, то эта точка локального максимума. Если в окрестности этой точки слева f0(x) < 0 а справа f0(x) > 0,
то эта точка локального минимума. Если слева и справа производная имеет одинаковые знаки, то экстремума нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем в окрестности точки x = ® сегмент [x; a]. На этом сегменте функция удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа. Тогда имеем
f(a) ¡ f(x) = f0(»)(a ¡ x), » 2 [x; a]: |
(4.6) |
f0(») находится слева от точки a. Пусть f0(») > 0: Òàê êàê a ¡ ¡ x > 0, òî f(a) > f(x) . На сегменте [a; x] имеем
f(x) ¡ f(a) = f0(»)(x ¡ a), » 2 [a; x]: |
(4.7) |
4.3. Исследование графика функции на наличие экстремумов |
73 |
f0(») находится справа от точки a. Пусть f0(») < 0: Òàê |
êàê |
x ¡ a > 0, òî f(a) > f(x) . Следовательно, точка x = ® является
точкой максимума. Аналогично доказывается условие минимума0 . Пусть функция слева и справа имеет один знак f (») > 0.
Тогда, из формулы (4.6) имеем f(a) > f(x), а из формулы (4.7) получаем f(x) > f(a). Следовательно экстремума нет.¤
Теорема 4.9. (второе достаточное условие экстремума)
Пусть функция f(x) имеет в точке возможного экстремума
x = ®
(f0(a) = 0) и конечную вторую производную. Тогда, если f00(a) > 0, то это точка минимума, а если f00(a) < 0, òî ýòî
точка максимума. |
f |
00 |
(a) > 0, тогда |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть |
|
функция f0(x) в этой точке возрастает, а f0(a) = 0. Â ýòîì
случае, в 0соответствии с определением0 4.1, в окрестности этой точки f (x) < 0, когда x < a f (x) > 0 когда x > a. Тогда,
в соответствии с теоремой 4.8 это точка минимума. Аналогично доказывается условие для точки максимума.¤
Однако, следует учесть, что функция может иметь экстремумы в точках, в которых производная не определена.
Теорема 4.10. Пусть функция f(x) дифференцируема в
окрестности точки x = ®, а в точке x = ® производная не
определена, но сама функция является непрерывной0 в этой точке. Тогда, если в окрестности этой точки слева f (x) > 0,
а справа f0(x) < 0, то эта точка локального максимума. Если в окрестности этой точки слева f0(x) < 0, а справа f0(x) > 0,
то эта точка локального минимума. Если слева и справа |
|||||||||||||
производная имеет одинаковые знаки, то экстремума нет. |
|||||||||||||
Доказательство совпадает с доказательством теоремы 4.8, |
|||||||||||||
поэтому оно не приводится. Стационарные точки и точки, где |
|||||||||||||
экстремум есть, а функция не дифференцируема, будем называть |
|||||||||||||
критическими точками. |
|
|
|
|
|||||||||
Примеры 4.3. à) Исследовать на экстремумы функцию |
|||||||||||||
y = |
x2 ¡ 2x + 2 |
: Область определения функции множество ( |
|||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
¡ |
||
; 1 |
|
1;¡ |
|
|
|
Вычислим производную |
|||||||
¡1y0 =S(2x ¡ 21)(x ¡ 1) ¡ (x2 ¡ 2x + 2) |
= x2 ¡ 2x : Решаем уравне- |
||||||||||||
|
) |
|
( |
+ |
): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ 1)2 |
(x ¡ 1)2 |
||||
íèå f0(x) = 0. |
|
x2 ¡ 2x |
= 0. Получаем x1 = 0, x2 = 2: Äëÿ óäîá- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x ¡ 1)2 |
|
|
|
ства построим таблицу интервалов с указанием знака производных на этих интервалах.
74 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции
(¡1; 0) |
(0; 1) |
(1; 2) |
(2; +1) |
f0(x) > 0 |
f0(x) < 0 |
f0(x) < 0 |
f0(x) > 0 |
Используя первое достаточное условие экстремума, получа- ем, что в точке x = 0 имеем максимум, в точке x = 2 имеем
минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
определена |
íà |
всей числовой |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
á) Исследовать на экстремумы функцию y = 3 (x2 ¡ 4x ¡ 5)2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îñè |
|
è |
является |
||||||
непрерывной. Вычисляем производную y0 = |
|
2(2x ¡ 4) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p |
x2 |
¡ |
4x |
¡ |
5 . Â |
|||||||||||||||
точках |
x = |
|
1 è x = 5 |
производная не |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
определена, |
à â |
точке |
||||||||
x = 2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(¡1; ¡1) |
|
(¡1; 2) |
|
(2; 5) |
|
(5; +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f0(x) < 0 |
|
f0(x) > 0 |
|
f0(x) < 0 |
|
f0(x) > 0 |
|
|
|
|
|
В точках x = ¡1 è x = 5 имеем минимум, а в точке x = 2 максимум.
4.3.1. Наибольшее и наименьшее значение функции на сегменте. Пусть задана непрерывная функция y = f(x), x 2
2 [a; b]. Требуется определить наибольшее и наименьшее значе-
ния функции. Так как функция непрерывна, то она принимает |
|||||||||||
наибольшее и наименьшее значения или в точках экстремума |
|||||||||||
или на краях сегмента. Поэтому алгоритм решения этой задачи |
|||||||||||
состоит из следующих этапов. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Определяются критические точки функции на сегменте. |
|||||||||||
2. В критических точках и на краях сегмента вычисляются |
|||||||||||
значения функции, среди которых определяются наибольшее и |
|||||||||||
наименьшее значения. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры 4.4. |
Найти наибольшее и наименьшее значения |
||||||||||
функции f(x) = 1x3 ¡ 3x2 + 5x ¡ 2, x2 [0; 3]. |
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
0 |
(x) = x2 ¡ 6x + 5. Решаем урав- |
|||||
Вычисляем производную f |
|||||||||||
нение |
x2 ¡ 6x + 5 = 0. Определяем |
критические |
точки: x1 = |
||||||||
= 12 [0; 3] |
|
|
|
|
|
|
функции: f(0) = ¡2, |
||||
x2 |
= 5 2= [0; 3]: Вычисляем значения |
||||||||||
1 |
1, |
|
3 |
|
15. Получили: |
|
1, |
|
15 |
||
f( ) = |
3 |
f( |
|
) = ¡ |
|
|
f(x) = 3 |
|
f(x) = ¡ : |
4.4.Контрольные вопросы
1.Сформулируйте необходимые условия экстремумов.
4.5. Методические указания по решению задач |
75 |
2.Сформулируйте достаточные условия экстремумов.
3.Сформулируйте правило Лопиталя.
4.Перечислите виды неопределенностей, которые возникают при вычислении пределов и способы их раскрытия.
5.Сформулируйте теорему Тейлора.
6.Какие формы остаточного члена в формуле Тейлора Вы знаете?
7.Приведите формулу Лагранжа и поясните ее геометриче- ский смысл.
8.Сформулируйте теорему для обобщенных конечных приращений.
4.5. Методические указания по решению задач
Рассмотрим порядок решения некоторых типовых задач.
1. Требуется получить оценку разности двух функций y =
= arctgx è y = arctgz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа arctgx ¡ |
||||||
Решение: Воспользуемся |
|
формулой |
||||||||||||||||
¡ arctgz = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (arctg») |
(x ¡ z) = |
|
|
1 |
|
|
(x ¡ z) |
, |
» 2 [z |
; |
x] |
Принимая во |
||||||
1 + »2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
внимание неравенство |
¯ |
1 |
+1 |
»2 |
¯ |
6 1, получаем следующую оценку |
||||||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
jarctgx ¡ arctgzj 6 jx ¡ zj :
2. Найти предел lim |
x ¡ ln(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
, используя правило Лопиталя. |
|||||||||||||||||||
x!0 |
|
¡ |
x2 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
x!0 |
¡ |
2x |
|
|
= x!0 2(x + 1) |
|
2 |
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
0i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= 1: |
|||||||
3. Найти lim |
|
ln cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln cosx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
! |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
! |
( |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln cos3x |
|
|
h0i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx 3sin3x |
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
x 0 |
ln cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
cosx)¡1 sinx |
|
|
x |
0 cos3x |
sinx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3sin3x |
|
= h |
|
|
|
|
= lim |
9cos3x |
= 9: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= x!0 |
|
0i |
x!0 |
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Введем£ |
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Найти lim xtg x = |
00 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначение |
|
|
tg x и прологарифмируем |
||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это равенство ln y = tg x ln x. Решив это уравнение y = etg x ln x получим xtg x = etg x ln x Принимая во внимание непрерывность
76 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции
экспоненциальной функции, получаем etg x ln x = e(tg x ln x). Âû-
числяем |
предел (tg x ln x): Имеем |
|
неопределенность |
[¡1 ¢ 0]. |
|||||||||||||||||||
Преобразуем выражение под знаком предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim0 |
ln x |
|
= |
¡1 |
= lim0 |
|
³x |
´ |
|
|
= |
|
sin2x |
= |
0 |
|
= |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x! |
|
|
|
h |
1 i |
x! |
lim |
1 |
|
|
1 |
¶ |
|
¡ |
x |
h |
0i |
|
|||||
|
tgx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
³ ´ |
|
|
|
|
µ¡ x!0 tg2x ¢ cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ¡ lim sin2x = 0:
x!0 1
В результате получаем
lim xtg x = e0 = 1:
x!0
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции
y = 2x3 + 3x2 ¡ 12x + 5:
Решение: Воспользуемся результатами теоремы 4.1.
Ðèñ. 4.2.
y0 = 6x2 + 6x ¡ 12: Ищем критические точки, решая уравне- íèå6x2 + 6x ¡ 12 = 0, x1 = ¡2, x2 = 1. Определяем знаки произ-
водной на полученных интервалах рис.4.2.
В результате имеем: интервалы возрастания (¡1; ¡ ¡2) è (1; +1), интервал убывания (¡2; 1). В соответствии с теоремой 4.8, в точке x = ¡2 имеем максимум, а в точке x = 1
минимум функции.
6. Найти экстремумы функции y = x2 (4 ¡ x)2
Решение:0 Ищем критические точки
y = 4x(x2 ¡ 6x + 8): Решаем уравнение 4x(x2 ¡ 6x + 8) = 0:
Получаем: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4: Воспользуемся вторым достаточным условие экстремумы, теорема 4.9. y00 = 4(3x2 ¡ 12x +
+ 4). Вычисляем значения второй производной в критических точках y00(0) = 16, y00(2) = ¡32, y00(4) = 16. Следовательно,
в точках x1 = 0, x3 = 4 имеем минимум, а в точке x2 = 2 максимум.
4.6. Примеры для самостоятельного решения |
77 |
7. Записать формулу Тейлора для функции y = ln x в окрест-
ности точки x = 1. Остаточный член записать в форме Пиано. Решение: В соответствии с теоремой 4.7, имеем
f(x) = f(1) + |
f0(1) |
(x ¡ 1) + |
f00(1) |
(x ¡ 1)2 + ¢¢¢ + |
f(n)(1) |
(x ¡ 1)n + |
|||||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
2! |
|
|
n! |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+o ((x ¡ 1)n) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычисляем две производные: |
f |
0 |
= 1=x, f00 = 1=x2, f(3) = 2=x3, |
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f( |
) = ¡6=x4, ¢¢¢ , f(n) = (¡1) |
¡ |
|
(n ¡ 1)!=xn: Вычисляем зна- |
|||||||||||||||||||||||
чения этих производных и значение функции в точке x = 1, |
|||||||||||||||||||||||||||
f(1) = 0, f0(1) = 1, f00(1) = ¡1, f(3)(1) = 2, f(4)(1) = ¡6, |
|||||||||||||||||||||||||||
f(n)(1) = (¡1)n¡1 (n ¡ 1)! : В результате получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 3 |
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
lnx ¼ (x ¡ |
|
) ¡ 2(x ¡ |
|
) |
|
+ |
3 |
(x ¡ |
) |
¡ |
4(x ¡ |
|
) |
|
+ ¢¢¢ + |
||||||||||||
|
|
|
+ |
(¡1)n¡1 |
|
(x |
¡ |
1)n + o ((x |
¡ |
1)n) : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.6. Примеры для самостоятельного решения |
1. |
Доказать следующие неравенства; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
à) jsin x ¡ sinyj 6 jx ¡ yj : á) jln(x + 1) ¡ ln(y + 1)j 6 jx ¡ yj |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти следующие¯ |
пределы, используя |
¯правило Лопиталя. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x > 0, y > 0: â) |
¯ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
ln(x2 + 1) ¡ ln(y2 + 1) 6 2 jx ¡ yj x > 1, y > 1: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
à) lim |
ln(x + |
|
|
) |
|
|
) lim |
|
|
tgx ¡ x |
|
|
) lim |
|
¡ cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
á |
x!0 x ¡ sinx, |
â |
|
x!0 x2 ¡ sin x2 . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x!1 px + 3 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
à) lim |
1 ¡ cos8x |
|
|
) lim |
x ¡ arctgx |
|
|
) |
lim |
|
|
ln(x2 + 1) |
: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
tg22x |
1, |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
) |
x!0 |
á |
x!0 |
|
|
|
|
|
, |
â |
x!0 cos 3x ¡ e¡x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x!1 |
|
|
|
³ |
|
5x´ |
|
x!1 |
¡ |
x)lnx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
à |
|
lim xsin |
|
|
|
|
|
, |
á) lim (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xlim x (ln(2 + x) ¡ ln(x + 1)) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
1 |
´ |
tgx |
|
|||||
Найти экстремумы функций и определить их тип. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
à) lim (x + 2x)1=x , á) lim (ctgx)sin x , |
â) lim |
|
|
|
|
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
6. |
à) y = x2 (x |
¡ |
1)3 , |
á) y = |
4x¡x2¡4 |
|
|
) |
y = x |
¡ |
2ln(3+x2) : |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
x |
|
|
, |
â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, â y = x1=x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
) y = x ¡ 2, á) y = x+ 1¡x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.
8. à) f(x) = ln(x2 ¡ 2x + 2), x 2 [0; 3], á) y = lnx=x, x 2
2 [1; 4]:
4.6.1. Ответы:. 2. |
à) 0, á) 2, â) |
1: 3. à) 8, á) 1=3, â) 0: |
|||
4. |
à) 1=5, á) 1, â) 1: 5. à) 2, á) 1, â) 1: |
||||
6. |
à)max ïðè x = 0, min ïðè x = 0, 4 , |
||||
á) max ïðè x = 2, min ïðè x = ¡2, |
|
||||
â) |
max ïðè x = 1, min ïðè x = 3: |
|
|||
7. |
à)max ïðè x = 0, min ïðè x = 4 , |
á) max ïðè x = 3=4, |
|||
â) |
max ïðè x = e: |
|
|
|
|
8. |
à) sup f(x) = ln5, |
inf f(x) = 0, |
|||
|
x |
[0;3] |
x2[0;3] |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
á) |
sup |
f(x) = e¡1, |
inf |
f(x) = 0: |
|
|
x2[0;4] |
x2[0;3] |
|
Ë å ê ö è ÿ 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
5.1. Направление выпуклости графика функции
Определение 5.1. График функции y = f(x) имеет на ин-
тервале (a; b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если
график функции на этом интервале лежит выше (ниже) любой касательной проведенной к функции на данном интервале.
Ðèñ. 5.1. |
Ðèñ. 5.2. |
Иллюстрация данного определения приведена на рис. 5.1 и
5.2.Часто, функцию, имеющую направление выпуклости вверх, называют выпуклой, а функцию, имеющую направление выпуклости вниз, называют вогнутой.
Следующее утверждение дает условия, по которым можно определять, куда направлена выпуклость.
Теорема 5.1. Если функция y = f(x) дважды дифферен-
цируема на интервале (a; b) и вторые производные имеют конечные значения, то при f00(x) > 0 8x 2 (a; b) функция вогнута, а при f00(x) < 0 8x 2 (a; b) функция выпуклая
Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.0 Составим уравнение касательной
âточке x = ¯ yk = f(¯) + f (¯)(x ¡ ¯). Разложим функцию в
80 Лекция 5. Исследование функций и их графиков
окрестности токи x = ¯ по формуле Тейлора (4.4) с остаточным членом в форме Лагранжа, положив n = 1
y = f(¯) + |
f0(¯) |
(x ¡ ¯) + |
f00(») |
(x ¡ ¯)2: |
||
1! |
|
2! |
|
Вычитая из этого уравнения уравнение касательной, получим
|
|
y ¡ yk = |
f00(») |
(x ¡ ¯)2: |
|
|
|
||
|
|
2! |
|
|
|
|
|||
Åñëè |
выполнено |
условие f00(x) > 0 8x 2 (a; b), |
òî èç f00(») > |
||||||
> 0 |
=) y > yk 8x |
2 (a; b) =) функция |
вогнута. Если |
âû- |
|||||
полнено условие |
f00 |
(x) < 0 8x 2 (a; b), òî |
èç |
f00(») < 0 |
=) |
y< yk 8x 2 (a; b) =) функция выпуклая.¤
5.1.1.Точки перегиба. Определение 5.2. Точка A(c; f(c))
графика функции y = f(x) называется точкой перегиба, если
в окрестности точки x = c график функции слева и справа
имеет разные направления выпуклости.
Теорема 5.2. (необходимое условие) Если функция y = f(x)
дважды дифференцируема в точке x = c и график функции имеет в этой точке перегиб, то f00(c) = 0:
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ00 т в о. Будем доказывать00 от противного. Пусть в точке x = c f (c) < 0 èëè f (c) > 0. Следовательно, в
соответствии с теоремой 5.1, функция в окрестности этой точке имеет направление выпуклости вверх или вниз. Тогда в этой точке нет перегиба. Противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы.¤
Эта теорема дает только необходимое условие наличия точки перегиба. Например, функция y = x4 имеет в точке x = 0 íóëå-
вую вторую производную. Однако эта точка не является точкой перегиба.
Теорема 5.3. (первое достаточное условие перегиба) Åñëè функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности
точки x = c, f00(c) = 0, а слева и справа вторая производная имеет конечные значения разных знаков, то точка x = c
является точкой перегиба.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнено необходимое условие перегиба. Так как по условиям теоремы производные в окрестности точки x = c слева и справа имеют разные знаки, следует, что
слева и справа разные направления выпуклости. Следовательно, точка x = c является точкой перегиба.¤
5.1. Направление выпуклости графика функции |
81 |
Теорема 5.3. (второе достаточное условие перегиба) |
Åñëè |
|||||
функция y = f(x) имеет в точке x = c, f |
00 |
(c) = 0, f |
000 |
|
||
|
|
(c) 6= 0 |
òî |
|||
график функции имеет в точке x = c перегиб. |
|
|
|
|
||
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê f000(c) 6= 0 функция |
||||||
f00(x) в окрестности точки x = c возрастает или |
убывает, |
íî |
f00(c) = 0. Следовательно, слева и справа функция f00(x) имеет разные знаки, что говорит о том, что точка x = c является точкой
перегиба.¤
Теорема 5.4. (третье достаточное условие наличия экстремума или точки перегиба) Пусть функция y = f(x)n + 1 ðàç
дифференцируема в окрестности точки x = c, и выполнены условия:
f00(c) = ¢¢¢ = f(n)(c) = 0, f(n+1)(c) 6= 0:
Тогда, если n четное, то точка x = c является точкой
перегиба. |
0 |
(c) = 0 , то точка x = c является |
Åñëèn нечетное и f |
точкой экстремума. Кроме того если f(n+1)(c) > 0, то это минимум, если f(n+1)(c) < 0, то это максимум.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n ¡ ¡четное, n > 4. Èç
условий
f(n)(c) = 0, f(n+1)(c) =6 0 следует, что функция f(n)(x) â
точке x = c возрастает или убывает и слева и справа имеет разные знаки. Разложим функцию f00(x) по формуле Тейлора
f00 |
(x) = f00(ñ) + |
f(3)(ñ) |
|
|
|
|
|
f(n¡1)(ñ) |
|
3 |
|
||||||||
|
|
(x ¡ c) + ¢¢¢ + |
|
|
|
|
(x ¡ c)n¡ |
+ |
|||||||||||
|
1! |
(n |
¡ |
3)! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n)(») |
|
|
2 |
|
f(n)(») |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
+ |
|
|
|
(x ¡ c)n¡ |
|
= |
|
|
|
(x ¡ c)n¡ |
|
|
||||||
|
(n |
¡ |
3)! |
|
(n |
¡ |
3)! |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точка |
x = » |
лежит |
между точками x è c. Поэтому функция |
f(n)(»), а следовательно и функция f00(x) будут иметь разные знаки слева и справа от точки x = c. Следовательно, это точка
перегиба. |
|
|
|
|
0 |
(c) = |
|
|
> |
Пусть |
теперь |
нечетное и |
f |
0, |
n |
||||
|
n ¡ ¡(n+1) |
(c) > 0. |
|
|
|||||
> 3:Предположим, |
÷òî f |
Тогда, принимая |
âî |
||||||
внимание условие |
f(n)(c) = 0, |
получаем, |
что функция |
f(n)(x) |
в окрестности точки x = c возрастает, причем слева она отрицательна, а справа положительна.