Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

112	Лекция 7. Непрерывность функций и производные

7.5. Примеры для самостоятельного решения

Найти частные производные следующих функций

1. z = xln (xy + 1). 2. z = x2y3 + xy. 3.

z = 3 x2y + y2 :

z =

z = xytg (xy).

6. u = sin xp2 + y2 + z2 .

x + y

u = xz .

z = x/

x2 ¡ y2 .

x2 + y2

10.

2 + y2

= ln

x +

x p

Найти полные дифференциалы следующих функций.

x2 ¡ y2

z =sin2x+cos2y: 14. z=yxy.

11. z=x2y3. 12. z =

x2 + y2 . 13.

15. z =ln(x2

+ y2).

16. z =lntg(y/x). 17. u =xyz. 18. u =

=arctg

z2 .

Найти производные сложных функцèé.

19.

lnsin

p 2

1 ,

20.

xyz,

u =

,x = t

y = t

u =

x =

= t2+1,y =lnt;

z =tgt;

=? 21. u =

,x = Rcost;y = Rsint; z = H,

px2 + y2

22. z =arctg

y = x

=? 23. z =arctg

x = usinv, y =

y ,

= ucosv,

=? 24.

z = x2lny,x =

y =3u 2v,

v ,

7.5.1.

Ответы.

xy + 1

= 2xy3 + y,

= 3x3y2 + x:

x2 + 2y

2xy

@z =

(x2y + y2)2

3q x2

(x + y)

2 ,

(x + y)

xy2

yx2

= ytg (xy) +

= xtg (xy) +

cos2 (xy)

7.5. Примеры для самостоятельного решения

113

= 2xcos

x2 + y2 + z2

= 2ycos

x2 + y2 + z2

@u @x

1¡, @u

= 2zcos

x2 + y2 + z2

: 7.

= 1xz lnx,

¡y

= ¡

xz lnx:8.

= ¡

¡ y

x ¡ y

= ¡

(x2 ¡ y2)2

10.

³x + p

x2 + y2

11. dz = 2xy3dx + 3x2y2dy. 12. dz =

4xy

¢ (ydx ¡ xdy):

(x2 + y2)2

13.

dz = sin2xdx ¡ sin2ydy:

14.

dz = y2xy¡1dx + xy(1 +

+ ylnx)dy:

(xdx + ydy)

15. dz = = 2

16. dz =

(xdy ¡ ydx):

x2 + y2

x2 sin 2x

17. du = yzdx + zxdy + xydz:18. du =

z(yzdx + xzdy ¡ 2xydz)

x2y2 + z4

19.

ctg

9t2

µ2 ¡

¶.

t2 + 1

)

2 + 1) ln t

20.

= 2pt ln ttgt +

(pt

=0.

cos2 t

¡ x2

. 21. dt

22.

= 2

=0;

=1.

2 . 23. @u

+ x

3u2

24.

= 2

ln(3u ¡ 2v) +

2 3

v (

u ¡

= ¡2

3 ln(3u ¡ 2v) ¡

(

u ¡

Ë å ê ö è ÿ 8

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

8.1. Производная по направлению. Градиент.

Частные производные функции f(M) = f(x, y, z) ïî x, y, z

выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Однако во многих практических задачах возникает вопрос о вычислении скорости в данном направлении.

Пусть задана дифференцируемая функция трех переменных u = f(x, y, z) в некоторой окрестности точки M0(x0, y0, z0) Ðàñ-

смотрим некоторое направление, которое определяется единич- ным вектором с координатами cos®, cos¯, cos°. Проведем через

точку M0 ось, направление которой совпадает с направлением единичного вектора ¡!

a . Обозначим через e величину направленного отрезка M0M. Тогда координаты точки M будут определяться равенствами: x = x0 + ecos®, y = y0 + ecos¯, z = = z0 + ecos°: На данной прямой функция u = f(x, y, z) является сложной функцией одной переменной e

	u = f(x0 + +ecos®, y0 + cos¯, z0 + +ecos°),
тогда		du	=	@f	cos® +	@f	cos¯ +	@f	cos°:
		de
				@x		@y		@z

Мы получим формулу вычисления производной от функции трех

переменных в точке

0 по направлению вектора

¡!

, который

имеет направляющие косинусы coa®, cos¯, cos°:

в направлении вектора

!¡

Пример 8.1.

Вычислить

производную функции

x + y2 + z2

2; p3 ; 3

)

в точке

0 3; 4; 2

)

b (

M (

Вычисляем производные в точке M0

1 , @u

8 ,

3 3 (x + y2 + z2)2

= 9:

3q3

(x + y2 + z2)2

8.1. Производная по направлению. Градиент.

115

Определим направляющие

косинусы

cos® = 1,

cos¯

, cos° = 3, тогда значение производной по направлению

+ 4

в точке

0 будет равно

@e =

вектора ¡!

¢ 3 =

19 +

Определение 8.1. Градиентом функции

f(M), M 2 G ½ E

в точке M(x1, ... , xm) называется вектор (gradu), имеющий

координаты, равные частным производным

@x1 , ... , @xm â

точке M.

Рассмотрим дифференцируемую функция трех переменных

u = f(x, y, z), тогда производную по направлению единичного

вектора

a(cos ®

cos ¯

cos °)

, можно записать в виде

= a

¡! ¢

¢ gradu, т.е. она равна скалярному произведению двух векторов

è gradu, а по определению скалярного произведения имеем

¡!

gradu cos ' =

gradu cos ',

òàê êàê

j¡!j j

= 1. Из последней формулы следует, что максималь-

j¡!j

ное значение

max

будет тогда, когда угол между векторами

gradu

cos ' =

¡!

öèè f(M) в точке M характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке M.

Пример 8.2. Определить направление и величину макси-

мального роста функции u = arctgr y

в точке M(1, 1, 1).

Вычислим частные производные

¢ r

@x =

1 + xz ¢

¢ y =

2(y + xz)

2r y

	xz			1
				1
¢	y2 = ¡			2(y + xz) ¢
	x			1	r
	x

¢		y =	2(y + xz)		¢

rxz y ,

z ,

116	Лекция 8. Производные высших порядков

											1p
в точке		1, 1, 1		имеем	1	1		1	,		1p		3 .
	M(		)		gradu = 4i ¡	4j +		4k		jgraduj =14p			3 .
Следовательно, величина максимального роста равна												3		â
Следовательно, величина максимального роста равна											4	3		â
направлении вектора с координатами ³						4	, 4, 4´.				4
						1	1	1

8.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Если функция u = f(M), M 2 G ½ Em имеет дифференциру-

емые частные производные по аргументам xi, i = 1, ... m в точке M, то их можно еще раз продифференцировать, т. е. вычислить частные производные от частных производных первого порядка

@	³	@f	´ =	@2f	:

@xj		@xi		@xj@xi

Åñëè i = j, то эти производные называются частными производ-

ными второго порядка. Их условные обозначения @@x2f2 èëè fx00ixi .

В случае, когда i =6 j, производные называются смешанными.

По аналогии можно ввести понятия частных производных более

высокого порядка.

ные второго порядка и

Пример 8.3. u = arctg

. Требуется вычислить производ-

смешанные производные.

@2u

= ¡

x2 + y2

@x2

@2u

x¡2x

+ y

2 :

@y2

¡x2 + y2

@x@y

@y@x

¡x2 + y2¢

В рассмотренном примере смешанные производные оказались равными. Такое равенство получается не для любой функции, а только для тех, которые удовлетворяют условиям следующего утверждения.

Теорема 8.1. Если функция u = f(x1, ... , xm) имеет в обла-

ñòè G ½ Em частные производные @2f , @2f

@xj@xi @xi@xj , то в любой точке M 2 G, в которой эти производные непрерывны, их

значения совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M 2 G является точкой, в

которой обе функции fij00 (M) è fji00 (M) непрерывны. Принимая во внимание, что изменятся будут только xiè xj обозначим их x è y,

8.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков

117

и будем по существу рассматривать функцию двух переменных f(x, y). Требуется доказать, что при выполнении условий теоре-

мы, справедливо равенство fxy00 = fyx00 , т.е. значения смешанной производной не зависят от порядка дифференцирования.

Рассмотрим вспомогательную функцию

F = f(x + h, y + h) ¡ f(x + h, y) ¡ (f(x, y + h) ¡ f(x, y)), ãäå

h малое приращение. В первой разности фиксируем x + h, а во второй x тогда имеем две функции одного аргумента y. Â ñèëó èõ

дифференцируемости воспользуемся формулой Лагранжа, тогда
получим	(x + h, y + µh)h		f0	(x, y + µh)h), ãäå µ		[0, 1]:
F = (f0		¡			2
y			y

Зафиксируем y + µh и применим формулу Лагранжа к разности, стоящей в скобках

F= fyx00 (x + »h, y + µh)h2, » 2 [0, 1]:

Ñдругой стороны функцию F можно записать в виде

F = f(x + h, y + h) ¡ f(x, y + h) ¡ (f(x + h, y) ¡ f(x, y)):

По аналогии с предыдущим случаем последовательно применяем два раза формулу Лагранжа, в результате чего получаем

F = f00	(x + ¹h, y + ®h)h2 ¹, ®	2	[0, 1]:
xy		2

Приравнивая правые части функции F и сокращая на h2 получим

fyx00 (x + »h, y + µh) = fxy00 (x + ¹h, y + ®h): Принимая во внимание непрерывность смешанных производных в области G, устре-

ìèì h к нулю, в результате чего получаем интересующее нас

равенство	f00	(xy) = f00	(xy):
	xy	yx	¤

Замечание. Условие непрерывности в теореме можно заменить требованием чтобы функция u = f(M) была дважды дифферен-

цируема в точке M.

8.2.1. Дифференциалы высших порядков. Пусть задана функция u = f(x1, ... , xm) в области G ½ Rm. Тогда если

функция f(M) дифференцируема в точкеmM 2 G, то полный
перь рассматривать дифференциал как		P	@f	m
дифференциал в точке M равен du =		i=1	@xi	dxi. Будем те-
	функцию переменных

du(x1, ... , xm). Если эта функция дифференцируема, то от нее снова берется дифференциал. Здесь следует выделить два слу- чая: 1. Если x1, ... , xm являются независимыми, 2: x1, ... , xm являются дифференцируемыми функциями некоторых переменных t1, ... , tn.

118 Лекция 8. Производные высших порядков

В первом случае вычислим		дифференциал от функции
du(x1, ... , xm)	@xj		Ã =1	@xi dxi!dxj:
d(du(x1, ... , xm) = j=1	@xj		Ã =1	@xi dxi!dxj:
m	@		m	@f
X			Xi

В этом случае можно считать, что dxi (i = 1, ... , m) не зависят от xj(j = 1, ... , m), тогда получим формулу для дифференциала

По аналогии вводится понятие jPдифференциаловP							более высо-
		m		m	@2f
второго порядка d2u(x1, ... , xm) =					@xj@xi	dxidxj.
		=1 i=1			@xj@xi
		=1 i=1
ких порядков
m	m m
XXX		@3f				dnu = d(dn¡1u):
d3u = d(d2u) =		@xk@xj@xi	dxidxjdxk,			dnu = d(dn¡1u):
k=1 j=1 i=1

Рассмотрим второй случай. Уже было показано, что первый
дифференциал инвариантен по отношению к аргументам, т.е.
du =	k ( m	@u	@xj	)dti =	k	@u	dti =	m	@u	dxj:
								X
	X X	@xj @ti			Xi				@xj
	i=1 j=1				=1			j=1

Для дифференциала второго порядка в этом случае это свойство не сохраняется

Pm @u

d(du) = d(j=1 @xj dxj) =

Pm Pm @2u

= j=1 i=1 @xi@xj dxjdxi +


m	(d(		@u		)dxj +	@u	d(dxj)) =


j=1			@xj			@xj
m
P		@u		d2xj:

	@xi

j=1

Для данного случая dxj зависят от xi, i = 1, ... , m, поэтому появляется еще одно слагаемое, так как

dxj =	n	@xj	dti	d2xj =	k n	@2xj	dtidtr:

	=1	@ti				@tr@ti
					r=1 i=1
	Xi				XX
8.3. Формула Тейлора для функции нескольких

переменных

Теорема 8.2. Если функция u = f(x1, ... , xm) дифференци-

руема n + 1 раз в окрестности	точки	0	0	, ... ,	0	0
руема n + 1 раз в окрестности		M	(x1		xm)	M 2

8.4. Экстремумы функций нескольких переменных			119
2 G ½ Rm, то имеет место равенство
f(x1 + ¢x1, ... , xm + ¢xm) = f(M0)+
iP	1
+ n		d(i)f(M0) + rn+1(M0, M),	(8.1)
=1	i!
=1

где точка M(x1 + ¢x1, ... , xm + ¢xm).
		Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вспомогательную функцию
		'(t) = f(x1 + t¢x1, ... , xm + t¢xm), ãäå t 2 [0, 1]. Åñëè çà-
фиксировать x1, ... , xm è ¢x1, ... , ¢xm, òî '(t) функция од-
ной переменной, для которой справедлива формула Тейлора для
t 2 [0, 1]			'(t) = '(0) + n
					1	'(i)(0)si¡1 + rn+1(t):
						'(i)(0)si¡1 + rn+1(t):
				Xi
				=1	i!
				=1
Полагая t = 1, получим
			'(1) = '(0) + m				1	'(i)(0) + rn+1,	(8.2)
			'(1) = '(0) + m					'(i)(0) + rn+1,	(8.2)
				Xi
						i!
		iP		=1
		iP
@'		m	@'i
@'		=	@'i	¢xi, в точке t = 0 получаем
	@t	=	@(xi + t¢xi)	¢xi, в точке t = 0 получаем
	@t	=1	@(xi + t¢xi)
		=1
		'0(0) = df(M0), '00(0) = d2f(M0), ... , '(n)(0) = dnf(M0),
		'(1) = f(x1 + h, x2 + h, ... , xm + h):

Подставляя эти значения в (8.2), получаем равенство (8.1), где

rn+1

(M0, M) остаточный член, который в форме Лагранжа

имеет вид

M) =

n+1

1, ... ,

xmµ¢xm)

µ 2 [

0, 1

]:¤

(n + 1)!d

rn+

f(x + µ¢x

8.4. Экстремумы функций нескольких переменных

Определение 8.2. Функция u = f(M), M 2 G ½ Em имеет во внутренней точке M0 2 G локальный экстремум если существует окрестность точки M0 такая, что f(M0) > f(M) èëè f(M0) < f(M)), ãäå M принадлежит окрестности точки

M0:

Теорема 8.3. (о необходимых условиях экстремума). Åñëè функция u = f(M), M 2 G ½ Em имеет в окрестности точки

M0 2 G частные производные по каждой переменной и имеет

Pm Pm aijxixj

120	Лекция 8. Производные высших порядков


локальный экстремум в точке M0(x0, ... , x0					) òî â ýòîé òî÷-
ке выполнены следующие условия			1	m,
ке выполнены следующие условия
	@f	= 0, i = 1, ... , m:
		= 0, i = 1, ... , m:
	@xi

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

u = f(x1, x2, ... , xi, ... , xm), которая имеет экстремум в точке

M0(x0, ... , x0 ). Зафиксируем переменные x2, ... , xi, ... , xm. Òî-

1 m

гда функция будет функцией одной переменной x1. Производная

этой функции в точке x1 = x01 совпадает с частной производ-

íîé @x@f1 (M0). Так как функция имеет экстремум в точке M0, то функция одной переменной будет иметь экстремум в точке x1 = x10. Тогда, в соответствии с теоремой 4.2 о необходимых

условиях экстремума функции одной переменной имеем @x@f1 = 0. Далее, освобождаем переменную x2, а все остальные переменные

фиксируем. Повторяя приведенные рассуждения, выполненные для x1, получим @x@f2 = 0. Выполнив аналогичные процедуры для x3 ¢¢¢ xm, получаем утверждение теоремы.¤

Замечание. Необходимые условия0 экстремума можно записать еще так df(M0) = 0, ò.ê. fxi (M0) = 0. Кроме того следует отметить, что точки, где функция определена, а ее частные производные неопределенны, тоже могут быть точками экстремума.

Для доказательства и выполнения достаточных условий экстремума функции нескольких переменных понадобится некоторые сведения из теории квадратных форм.

Определение 8.3. Квадратная форма F =

i=1 j=1

называется положительно-определенной (отрицательноопределенной), если для любых значений x1, ... , xm, одновре-

менно не равных нулю F > 0 (F < 0):

Если квадратная форма F является положительно-

определенной или отрицательно-определенной, то ее называют
еще знакопостоянной. Матрица A = 2 a.1	......	a1m	3	называет-
ся матрицей квадратичной формы F .4 am	...	amm	5

Критерий Сильвестра. 1.Для того чтобы квадратичная форма F с симметрической матрицей A была положительно-

определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы A были строго больше нуля.

@xi@xj

8.4. Экстремумы функций нескольких переменных

121

2.Для того чтобы квадратичная форма F áûëà

отрицательно-определенной необходимо и достаточно,

чтобы знаки главных диагональных миноров

÷ередовались,

причем первый минор должен быть отрицательным.

Пример 8.4. A1 = "

#; A2 = "

¡2

¡0

Диагональные миноры для матрицы A1

¯ = 3:

¢1 = 2, ¢2 =

= 1, ¢3 =

1 1

01 01 30

Все миноры положительные,¯

следовательно,¯

квадратичная форма

с этой матрицей будет положительно-определенной.

Для матрицы A2

¢1 =

2, ¢2 =

¡2

= 3,

¢3 = ¯

¡2

= ¡3: Знаки диагональных¯ ¯

миноров чере-

матрица A2

и квадратичная форма с

дуются и¯

¢1 < 0, значит¯

этой матрицей¯

отрицательно¯

-определенная.

Следует отметить, что критерий Сильвестра является крите-

рием для определения положительной или отрицательной опре-

деленности симметрических матриц.

Обратимся теперь к рассмотрению достаточных условий экс-

тремума функции многих переменных

1, ... ,

xm) 2

2 G ½ Rm.

u = f(M) M(x

Пусть в точке M0 2 G выполнены необходимые условия экс-

тремума, т.е. df(M0) = 0, тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пиано

m @2f(M0)

¢u = f(M) ¡ f(M

) = 2 =1 j=1 @xi@xj

¢xi¢xj + 0(½2),

имеем

ãäå ½ =

¢x2 + ... + ¢x2 .

Пусть в

минимум, тогда достаточно по-

точке

казать, что всех достаточно малых

¢u > 0. Для этого

введем

новые

переменные

hi =

¢xi

i = 1, ... , m. Очевидно,

½ ,

jhij 6

÷òî

ò.ê.

...

Тогда получим

¢u =

+ hm

= ½2

Ã2 i=1 j=1 @2f(M0)hihj + 0(½½22)

P P

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf