matanaliz

грирования по частям

откуда получаем формулу (15.8). Формула (15.7) получается из (15.8) путем замены

dv(x) = v0(x)dx, du(x) = u0(x)dx:

Пример 15.3. Вычислить R¼ xcosxds:

0

=¼sn¼ ¡ sin0 + cos¼ ¡ cos0 = ¡2:

15.5.Геометрические приложения определенного

интеграла.

214Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

функции и осью абсцисс. Для определения

искомой площади необходимо из интеграла от функции y = f1(x)

вычисть интеграл от функции y = f2(x). Учитывая свойства интеграла, получим следующую формулу для вычисления площади

= f1(x), y = f2(x) должны быть заданы в виде одной функции.

В этом случае область, площадь которой необходимо вычислить называют правильной. Если, например, график кривой, лежащий снизу на рис.15.1 будет задана в виде двух функций

Zb Z¯

f(x)dx = Ã(t)'0(t)dt:

a ®

15.5.1. Полярная система координат.. В декартовой системе координат положение точки на плоскости определяется координатами проекции этой точки на оси координат. Однако положение точки можно задать другим способом.

Возьмем на плоскости ( рис.15.2) точ- ку O, которую назовем полюсом, и про- Ðèñ. 15.2. ведем из нее направленную полупрямую Ox, которую назовем полярной осью. То-

гда положение точки M может быть задана с помощью двух

переменных угла ' и длины отрезка ½. Координаты (', ½) íà-

зываются полярными координатами. Тогда функция в полярных координатах задается в виде ½ = f(') Если совместить поляр-

ную систему координат, изображенную на рис.15.2 с декартовой системой координат, то получим следующие формулы, связывающие их координаты

q

x = ½cos', y = ½sin', % = x2 + y2: (15.10)

Площадь криволинейного сектора. Требуется вывести формулу вычисления площади криволинейного сектора, который заключен между прямыми с углами наклона 'a, 'b и кривой,

½ = ½(') .

Разобьем данный сектор произвольным образом на n частных

секторов. В каждом их них возьмем на кривой произвольную точку с радиусом вектором длиной ½(Ãi), i = 1, n. Будем счи-

òàòü, ÷òî ½(Ãi), является радиусом окружности. Тогда площадь сектора окружности с радиусом ½(Ãi) равна

= 1½2(Ãi)¢'i, ¢'i =

= '2i ¡ 'i¡1

Обозначим через ¢ =

= maxf¢'1, ¢¢¢ , ¢'ng

, и составим интегральную сумму

с определением определенного интеграла, если существует конечный предел

Xn

lim 1½2(Ãi)¢'i,

4!0 i=1 2

то этот предел является интегралом. Принимая во внимание то, что интегральная сумма равна сумме Si, получаем формулу для

216Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

вычисления площади криволинейного сектора

'b

Если теперь кривую MN на рис.15.4 разбить на n частей и составить интегральную сумму J(f) = Pn ¢li, то вычислив предел

i=1

lim Pn ¢li, ãäå ¢ = maxf¢l1, ¢¢¢ , ¢lng, получим формулу для

4!0 i=1

Если кривая задана в параметрической форме

½x = '(t), y = Ã(t),

15.7. Вычисление объемов тел.

Предположим, что известна площадь любого поперечного сече- ния тела, перпендикулярного оси Ox изображенного на рис. 15.5.

Разобьем отрезок [a, b] íà n отрез-

ков, в каждом из которых произвольно выберем точки zi, и соста- вим интегральную сумму

Переходя к пределу, получим

Zb Zb q

S = 2¼ ydl = 2¼ y 1 + (y0)2 dx:

S = 2¼ ½sin' (½0)2 + (½)2 d':

'1

Решение. Графиком функции x = 4 ¡ (y ¡ 1)2 является парабола

с вершиной в точке x = 4, y = 1. Найдем точки пересечения параболы с осью OY:

4 ¡ (y ¡ 1)2 = 0, (y ¡ 1)2 = 4, y ¡ 1 = §2, y1 = 3, y2 = ¡1:

Графиком функции x = y2 ¡ ¡ 4y + 3 является парабола

220Лекция 15. Оснвные свойства определенного интеграла и его приложение

Построим фигуру, ограниченную данными параболами. Закрашеная область D является правильной в направлении

îñè RbOX, поэтому площадь фигуры найдем по формуле

S = (x1(y) ¡ x2(y)) dy.

a

Пример 15.6. Вычислит площадь фигуры ограниченной кривыми ½ = 4cos', ½ = 2cos'. Графики этих функций изображены на

ðèñ. 15.9.

Решение.