matanaliz

202 Лекция 14. Определенный интеграл

sT1 6 ST2 , sT2 6 ST1 :

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть разбиение T > T1, T > T2. Тогда по свойству 2 имеем

JT (f) приняла наименьшее значение при даннîì ðазбиении. Это условие будет выполнено, если f(zi) = mi, i = 1, n, а это значит,

возможное число при всевозможных выборах z1, i = 1, n. Оно будет наибольшим, если f(zi) = Mi. Тогда sup JT (f) = ST . Èç

zi

условия sT 6 JT (f) 6 ST следует справедливость утверждения

.¤

4. Множество верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений отрезка [a, b] ограничено снизу, а

ìножество нижних сумм огрàничено сверху. Кроме того если

I = inf ST , I = sup sT (Числа I è I называются соответственно

T T

2, следует ограниченность множеств верхних и нижних сумм соответственно снизу и сверху и справедливость неравенства

I 6 I: ¤

14.3. Необходимые и достаточные условия интегрируемости

Теорема 14.2. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) была интегрируема необходимо и доста-

точно чтобы выполнялось условие

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (14.3) имеем 8" >

Необходимость. Пусть ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) интегрируема, следовательно

lim JT (f) = I:

4!0

Тогда для 8" > 0 9±(") > 0 такое, что, если ¢ < ±("), òî

jJT (f) ¡ Ij < " , I ¡ " < JT (f) < I + ":

Åñëè ¢ < ±, то в соответствием со свойством 3 интегральных

сумм, получим I ¡ " 6 sT 6 ST 6 I + ": Из правого неравенства

имеем ST ¡ I 6 " , а из левого I ¡ sT 6 ": Складывая эти неравенства, получаем

0 < ST ¡ sT 6 2",

Из неравенств sT 6 I 6 I 6 ST имеем sT 6 J 6 ST . Поэтому

204 Лекция 14. Определенный интеграл

lim JT (f) = J = I, что означает интегрируемость функции. ¤

4!0

В дальнейшем нам понадобиться иная форма записи условия (14.3). Обозначим символом !i = Mi ¡ mi. Неотрицатель-

ное число !i называется колебанием функции f(x) на сегменте [xi¡1, xi]. Тогда условие (14.3) запишется в виде

14.4. Классы интегрируемых функций

Теорема 14.3. Непрерывная на сегменте [a, b] функция

f(x) интегрируема на этом сегменте.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция непрерывна на сегменте [a, b] , то она, в соответствии с теоремой 2.8 равномерно

непрерывна. Тогда для любого положительного числа "=(b ¡ a)

существует число ±(") > 0, что при разбиении Tn частичного сегмента [xi¡1, xi], на каждом из которых будет выполнено неравенства !i < "=(b ¡ a). Тогда будем иметь

Теорема 14.4. Если на сегменте [a, b] функция f(x) определена и ограничена, а для 8" > 0 существует конечное число

интервалов, общая длина которых меньше " , и эти интерва-

лы покрывают все точки разрыва первого рода, то функция интегрируема на сегменте [a, b] :

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция имеет k точек разрыва первого рода. Покроим точки разрыва функции

конечным числом интервалов сумма длин которых не превосходи числа "=2(M ¡ m), ãäå

M¡ m = sup f(x) ¡ inf f(x), x 2 [a, b]:

x x

Принимая во внимание равномерную непрерывность функции на n ¡ k отрезках, получим

В результате имеем

14.5. Основные свойства определенного интеграла

1. Будем считать, что

Za

f(x)dx = 0:

a

В этом случае сегмент имеет нулевую длину и все ¢xi = 0. Поэтому интегральная сумма равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Пусть функция f(x) является интегрируемой. Следовательно,

существует конечный предел

Рассмотрим функцию cf(x): Тогда, получим следующие соотношения для ее интегральной суммы

3. Если функции f(x) è g(x) интегрируемы, то функция f(x) § § g(x) тоже интегрируема.

По условию, слева существуют пределы. Тогда и справа существуют предел. Следовательно, функция f(x) § g(x) является

интегрируемой.

4. Åñëè a < b, то будем считать, что на сегменте [a, b] справедливо равенство

Zb Za

f(x)dx = ¡ f(x)dx:

ab

5.Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a, b], то она интегрируема на сегменте

[c, d] ½ [a, b]:

Так как функция f(x) интегрируема на сегменте [a, b], то существует разбиение T , такое, что для лютого числа " > 0 выполнено

!i¢xi < ":

i=1

Представим левую часть неравенства в виде суммы

i=1 j=k+1

где первая сумма относится к частичным сегментам отрезка [c, d], а вторая к оставшейся части отрезка [a, b]. Тогда справед-

при данном разбиении T . Следовательно, функция f(x) интегрируема на сегменте [c, d]:

b

X

JT (f) = ¢xi = b ¡ a:

i=1

14.6.Контрольные вопросы

1.Дайте определение определенного интеграла.

2.Что такое верхняя и нижняя интегральные суммы?

3.Перечислите и докажите свойства верхних и нижних интегральных сумм.

4.Можно ли интегрировать неограниченную функцию? Ответ обоснуйте.

5.Сформулируйте необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.

6.Какими свойствами должна обладать функция, чтобы она была интегрируемой?

7.Перечислите основные свойства определенного интеграла.

Ë å ê ö è ÿ 15

ОСНВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ

15.1. Оценки интегралов

1. Если функция f(x) интегрируема и f(x) > 0 на сегменте

[a, b], òî Rb f(x)dx > 0.

a

В данном случае интегральная сумма

Xn

JT (f) = f(z1)¢xi

i=1

является суммой положительных составляющих. Поэтому предел этой суммы тоже будет неотрицательным.

2. Если функции f(x)èg(x) интегрируемы и f(x) > g(x) на сегменте [a, b], òî

Воспользуемся формулой (15.4).

x+¢Z x

f(t)dt = f(c)¢x, c 2 (x, x + ¢x):

òàê êàê c 2 (x, x + ¢x): ¤

Таким образом, доказано, что функция F (x) является первообразной, дифференцируемой, а следовательно, непрерывной.

15.2.1. Основная формула интегрального исчисления.

Мы доказали (теорема11.1), что две первообразные отличаются на друг от друга постоянной величиной. Тогда, согласно теореме 15.5 и теореме 11.1, любая первообразная непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) имеет вид

Zx

©(x) = f(t)dt + C,

a

где С константа. Пусть x = a тогда ©(a) = C. Åñëè x = b, òî

Zb

©(b) = f(t)dt + C,

a

откуда получаем основную формулу интегрального исчисления

Zb

f(t)dt = ©(b) ¡ ©(a),

a