Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

252	Лекция 17. Двойные интегралы

Решение:

Ðèñ. 17.10.

Воспользуемся обобщенными полярными координатами вида x = a½cos', y =

= b½sin' jJj = ab½, тогда массу пла-

стинки можно вычислить с помощью двойного интеграла

'2		½2(')
'2		1Z
M = 'Z1	d'	1Z	ab½d½,
		½ (')
x = 4½cos'; y = ½sin'; è¹ =				4cos'	:
x = 4½cos'; y = ½sin'; è¹ =					:
			½4sin5'

Из рис.17.10 видно, что ' è r изменяются в пределах:

6 ' 6

1 6 ½ 6 p3 . Нижнюю границу ' получим из уравнения

x, переходя в ней к новым координатам:

прямой y =

½ cos ' =

= ½ sin ', откуда tg' = 1,a ' =

Тогда получим для нахождения массы двойной интеграл

M = ¼ d'

½4sin5'4½d½ = ¼ (¡sin5' ¢

½2

)d' =

4cos'

8cos'

¼ R4

sin ' 3

¡3 ¢ sin ' ¯

cos'

1)d' = 16

¼ sin¡5'd(sin') = 4

¼2 =

4(1

4) = 4

(åä: массы):

¡3

B1 ¡

Пример 17.10. Найти объем тела, заданного ограничивающими
åãî			z p			поверхностями
	=				2		p
	x = 17 2y , x = 2 2y , z =
		0,	+ y = 1:			Решение:		Äàí-
	íîå		òåëî	является		цилиндроидом,
	ограниченным				сверху		плоскостью
	z + y = 1,			снизу плоскостью				z = 0,
	à ñ		2		прямыми		цилиндрами
			боков

Ðèñ. 17.11.

17.7. Методические указания по решению задач

253

íî íà p

x = 17

2y ,

x = 2 2y , как показа-

ðèñ.17.11.

Тогда искомый объем находим по

формуле:

V =

z(x; y)dxdy =

17p

= R0 dy 2pR2y (2 ¡ y)dx =

R0 (2 ¡ y)(17p

¡ 2p

)dy =

1 êóá

åä

¡ y 2 )dy =

(2y

2 ¡

2 =

( :

Пример 17.11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

	2	25	2,		0
x		+ y2 + 2x = 0, z = 4 ¡ y		z =		:		y =
Решение: В цилиндрических координатах x + 1 = ½ ¢ cos ',								y =
= ½ ¢ sin ', z = z искомый объем находится как
		V = ZZ z ½d½d':
		D
Тело ограничено сверху параболическим цилиндром							z =	25	¡
							z =	4	¡

¡ ½2Sin2', снизу плоскостью z = 0, а с боков прямым цилиндром

r = 1, как показано на рис.17.12. Расставив границы интегрирования, имеем

2¼

V =

2¼ d'

½(25

½2Sin2')d½ =

2¼

2¼ 1

1 2

2¼

( 8 ½

¡ 4 Sin ')

d' =

(

4Sin ')d' =

= 24

2¼ = 6¼

êóá:åä:

R0 d' ¡ R0

( ¡ Cos ')d' = 8

(

' +

2Sin ') ¯0

254	Лекция 17. Двойные интегралы

Ðèñ. 17.12.

Ðèñ. 17.13.

Пример 17.12. Найти площадь поверхности, которую вырезает цилиндр x2+y2 = 4x из полусферы x2 + y2 + z2 = 16, z > 0:

На рис. 17.13 приведен схематичный рисунок. Областью интегрирования D является окружность x2 + y2 = 4x. Задана функция

z = 16 ¡ x2 ¡ y2

Определим частные производные:

= ¡

, zy = ¡

16 ¡ x2 ¡ y2

Тогда площадь поверхности равна

S = ZZ

s1 + µ

dxdy =

4x¡x2

= Z dx

dy:

16 ¡ x2 ¡ y2

Преобразуем интеграл, осуществив переход к цилиндрическим координатам x = ½cos', y = ½sin': Тогда получим

S = d'

4cos'

16 ½2

= d' ¡4 16 ¡ ½2

¼=2

µ q

Z 2

4½d½

4cos'

¼=2

¼=

(¡16sin' + 16) d' = (16' + 16cos')

¡¼=2

= 16¼ (êâ:åä):

¼=2

¡¼=2

17.8. Примеры для самостоятельного решения

255

17.8. Примеры для самостоятельного решения

	1	y
Изменить порядок интегрирования.	1. R0 dy y2R=9 f (x, y) dx +

+ R3 dy R1 f (x, y) dx.

1y2=9

x+2

10=3

x+2

2. ¡R2 dx

f (x, y) dy+

dx p

xR2¡4

f (x, y) dy.

a dx a+p

a2¡x2

f (x, y) dy.

R¡

2ax

y2=2

¡R2

R¡

f (x, y) dx.

5. 7 dx

3 f (x, y) dy + 9 dx

¡x f (x, y) dy.

9=x

Перейдя к полярным координатам, вычислить следующие ин-

тегралы:

a2 x

¡ 2

ex2+y2 dy. 7.

a2 ¡ x2 ¡ y2 dydx. 8.

0 dx

a p

a ¡y2

dx.

a ¡y2

(x2 + y2) dx dy.

10.

0 dy pay ¡y2

a2 ¡ x2 ¡ y2

RR p

+ y

x2 + y2 ¡ 9 dx dy,

где область

G¡ кольцо между двумя

окружностями

9 è

25.

11.

, где область часть круга ра-

диуса

1 1 e¡ (x2+y2) dy dx .

ñ p

О (0, 0), лежащая в первой четверти.

aRR

12.

¡ x

¡ y dx dy

центром в точке

2a p

2ax¡x2

13.

2 R0

2 dy dx., где область

ограничена кривыми

+ y2 = axRR , x2 + y2 = 2ax, y = 0 (y > 0).

x +

14.

(x + y ) dx dy

256

Лекция 17. Двойные интегралы

+ y2 =

RRa y = (x > a > )

15.

dx dy, где область Gограничена кривыми x2 = ay, x2 +

0 .

лемнискатыp

) (x >

)

16.

(x + y

= a (x

¡ y

x2 + y2 dx dy,

где область G ограничена лепестком

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

17. z = x2 + y2;

x + y = 4, x = 0,

y = 0, z = 0.

18. x2 + y2 = 8,

x = 0,

y = 0,

z = 0.

19.

= 1,

= 1

(a > 0).

20.

= 1, x = 0, y = 0, z = 0.

21. y = x2, z = y, z + y = 2.

22. z = 0, x2 + y2 = 1, x + y + z = 3.

23. x2 ¡ y2 = 2az, x2 + y2 = a2, z = 0 (внутри цилиндра; a > > 0).

24. (x ¡ 1)2 + (y ¡ 1)2 = 1, xy = z, z = 0.

25. x2 + y2 ¡ 2z2 = ¡a2, 2(x2 + y2) ¡ z2 = a2 (a > 0).

26. x2 + y2 ¡ 2ax = 0, z = 0, x2 + y2 = z2.

27. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами x2 =ay, z2 =ay, и плоскостью y =2a (a>0).

28.Найти площадь части поверхности конуса x2 + z2 = y2, вырезаемой плоскостями x =0, x y =2a, y =0.

29.Найти площадь части поверхности цилиндра x2 + y2 = =2ax, вырезаемой цилиндром z2 =2a(2a x).

30.Найти площадь части сферы x2 + y2 + z2 =2a2, заклю-

ченной внутри конуса x2 + y2 = z2.

31. Найти площадь части поверхности параболоида z = x2 y2, заключенной между параболоидами z =3x2 + y2 2 è z =3x2 +

+y2 4.

32.Найти площадь части сферы x2 + y2 + z2 = a2, вырезае-

мой цилиндром с образующими, параллельными оси OZ, направляющий которого служит трехлепестковая роза r= asin3'.

	33. Найти площадь			части		винтовой поверхности
z = aarctg(x/y), вырезаемой цилиндром x2 + y2 = a2.
						1	3p
8/3		p4+y2		a¡pa2¡y2				x
			a			R0	R
	17.8.1.		Ответы.		1.	dx			f(x, y) dy. 2.
							x
R0	dy	2yR¡2	f(x, y) dx. 3. R0 dy		R0	f(x, y) dx+

								17.8. Примеры для самостоятельного решения																																																		257
							p
	2a						p				2ay¡y2															1								x
	R0										R				1			f(x, y) dx								1								x
	+	dy																f(x, y) dx
	a											0
											px+									y) dy + R0											p2
	4. ¡R1 p¡pRx+1																			y) dy + R0								10¡pRx+1
					dx												f(x,									dx					¡								f(x, y) dy+
					dx												f(x,									dx													f(x, y) dy+
	1												f(x, y) dy. 5.												3					¡y f(x, y) dx.
	1								x+1				f(x, y) dy. 5.												3					¡y f(x, y) dx.
	+ R0 dx p									R2x								¼/2 a							R1 dy 9R/y
																		0		0 p
	¼/			2		a												0		0 p															¼/					2
				2														R R																						2				¼6 a3. 8. (2/9)a3.
	6. ¼4 (ea2 ¡ 1). 7.																						a2 ¡ ½2 ½ d½ dµ =																					¼6 a3. 8. (2/9)a3.
		R0				R0									¼/2			2a cos µ								3											R0					R0												4
	9.							½3d½ dµ =											¼a4		. 10.					128	¼.				11.											1 e¡½2 ½ d½ dµ =														¼		.
	2).	6														R0				8											2												64									12							¡
	2).	6														R0			R0												2												64									12							¡
	12.	¼a3					. 13.														½ d½ dµ =									¼a2		.			14.									45			¼a4. 15.						a2	(3¼
¡	12.						. 13.														½ d½ dµ =											.			14.												¼a4. 15.							(3¼
	16.		2p																										32p																								abc.					21.
			2p											17. 422. 18. 8																			2										16						2. 20.				abc.

					152 a4.																					¼ ¡									19.																		6
					152 a4.															3						¼ ¡					3				19.										3 ab								6
16/15.																																											p
	22. 3						. 23.										3	2.		24.				.	25.			2			3				3								p			2			. 26. 32 3. 27.
76a2.						¼									a		±					¼						3			¼a			( ¡														)				9 a
3	28.		8		p					a2. 29. 16a2. 30. 4¼a2(2 ¡ p																													). 31.											¼	(27 ¡ 5p						).
								2																												2														¼					5
			3					2																												2													6						5
	32. 2					2								2 . 33.						2			p								1				p						.
	32. 2					2								2 . 33.						2			p		2						1				p			2			.
					a (¼ ¡										)					¼a (						+ ln( +																))

9 Цыкунов А. М.

Ë å ê ö è ÿ 18

ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

18.1. Тройные интегралы

Пусть в трехмерной области V

рис.18.1 задана функция трех переменных u = f(x, y, z). Разобьем эту

область произвольным образом Tn íà n непересекающих областей с объемами ¢vi, i = 1, n. В каждой из полученных областей возьмем произвольные точки с координатами (xi, yi, zi), и составим интегральную сумму

Ðèñ. 18.1.		n
	J(f) =	Xi
	J(f) =	f (xi, yi, zi)¢vi:
		=1

Определение 18.1. Функция f(x, y, z). называется интегрируемой по Риману в области V , если существует такое число

I, такое что для любого разбиения Tn и любого выбора точек (xi, yi, zi) 2 ¢vi выполняется равенство

lim f (xi, yi, zi) ¢vi = I:

4v!0 i=1

Этот предел называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V и обозначается

4v!0 i=1	i i i	i	ZZZ
n			V
X	f (x , y , z ) ¢v	=	V
lim	f (x , y , z ) ¢v	=	f(x, y, z)dv:

Из этого определения ясно, что тройной интеграл является аналогом двойного интеграла в трехмерной области определения функции трех переменных. Поэтому все свойства тройного интеграла, условия его существования полностью соответствуют уже рассмотренными свойствами двойного интеграла с заменой двумерных областей на трехмерные области.

18.1. Тройные интегралы

259

18.1.1. Вычисление тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла осуществляется путем преобразования его к повторным интегралам.

Рассмотрим на рис.18.1 область V , которая ограничена свер-

ху и снизу поверхностями

z = f2(x, y), z = f1(x, y): Сбоку область ограничена цилиндрической поверхностью. Проекцией области V на координатную плоскость xOy является область D, ограниченная функциями y = g1(x), y = g2(x): Если любая прямая параллельная оси z

пересекает границу области V только в двух точках, то справедлива формула

ZZZ	f(x, y, z)dxdydz = ZZ dxdy	f2(x, y)
ZZZ	f(x, y, z)dxdydz = ZZ dxdy	1	Z,	f(x, y, z)dz:
V	D	f	(x	y)

Далее преобразуем двойной интеграл по области D в повторные интегралы, в результате чего , получаем

ZZZ	f(x, y, z)dxdydz =	Za dx	g2(x)	dy	f2(x, y)	f(x, y, z)dz:
ZZZ	f(x, y, z)dxdydz =	Za dx	1Z	dy	1 Z,	f(x, y, z)dz:
		b
V			g (x)		f (x y)

Следует отметить, что мы получили формулу для вычисления тройного интеграла по аналогии с двойным интегралом без доказательства ее справедливости. Доказательство аналогично доказательству теоремы 17.3. (доказать самостоятельно).

Очевидно, что если f(x, y, z) = 1, то троиной интеграл поз-

воляет вычислить объем тела, изображенного на рис. 18.1.

Пример 18.1. Вычислить

ZZZ

xdxdydz, V : z = 2 ¡ x ¡ y, x = 0, y = 0, z = 0:

На рис.18.2 изображена область интегрирования.

ZZZ Z2 2Z¡x 2¡Zx¡y xdxdydz = dx dy xdz =

V		0 0	0
2	2¡x		Ðèñ. 18.2.
= Z dx	Z	dy (x (2 ¡ x ¡ y)) =

260

Лекция 18. Тройные и криволинейные интегралы

2 dx 2x ¡ x2 y ¡ xy22

¯ 2 ¡ x

2x ¡ x + x dx =

8 ¡

3 + x2

¶¯

1 3

2 2 2

2x3

18.1.2. Замена переменных в тройном интеграле. Замена переменных в тройном интеграле осуществляется точно так же, как в двойном интеграле. Приведем без доказательства теорему о замене переменных

Теорема 18.1. Если преобразование x = '(u, v, t), y = = Ã(u, v, t) , z = °(u, v, t) преобразует область V â G, является взаимно однозначным и функции '(u, v, t), Ã(u, v, t), °(u, v, t

в области D имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля якобиан

= ¯

¯,

D(x, y, z)

@Ã @Ã @Ã

D(u, v, t)

@u @v @t

@°

то при условии существования¯

f(x

z)dxdydz

интеграла

справедлива формулаZZZ f(x,

VRRR

z)dxdydz =

= ZZZ f('(u, v, t), Ã(u, v, t), °(u, v, t)) ¯

¯dudvdt:

D(u, v, t)

D(x, y, z)

Для цилиндрических координат имеем x =¯½cos', y =¯

½sin', z =

= z В этом случае

D(x, y, z)

½sin'

cos'

¯ ¡½cos'

¯ = ¡½:

sin'

D(', ½, z)

, ,

¯ = ½:

Тогда ¯D(', ½,

D(x y

18.1. Тройные интегралы

261

Сферические координаты Сферические координаты точки M это три числа ( ', r, µ) (см. рис. 18.3). Связь с декартовой

системой координат осуществляется по формулам:

x = r cos ' sin µ,

D(', r, µ) =

y = r sin ' sin µ,

z = r cos µ,

¯ =

cos ' sin µ

r cos 'cosµ

D(x, y, z)

¡rsin'sinµ

rcos'sinµ

sin'sinµ

rsin'cosµ

D(x

rsinµ

cosµ

= ¡r sinµ =) ¯

D(', r,

µ)

= r sinµ:

Пример 18.2. Вычислить

ZZZ

x2 + y2 + z2

dxdydz,

V : x2 + y2 + z2 = R2:

Область

интегрирования

øàð

радиуса

равным R. Поэтому перейдем к сфери-

Ðèñ. 18.3.

ческим координатам x = r cos ' sin µ, y =

= r sin ' sin µ, z = r cos µ. Тогда получим

x2 + y2 + z2 = r2

ZZZ

x2 + y2 + z2

dxdydz =

2Z¼ d' ZR dr Z¼ r4sinµdµ =

d' = 45 R5:

d' Z r4dr(¡cos¼ + cos0) = 5R

2¼

18.1.3. Механические приложения тройного интеграла.

Обозначим символом ¹(x, y, z) плотность распределения массы

в произвольной точке тела V . Тогда масса тела определяется по формуле ZZZ

m = ¹(x, y, z)dxdydz:

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf